利用函數(shù)的對(duì)稱性巧解題

王 鹿 鄭海寧

(山東省淄博市臨淄中學(xué))

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),在平時(shí)解題時(shí)我們使用最多的就是函數(shù)的單調(diào)性,但有時(shí)利用函數(shù)的對(duì)稱性往往可獲得問(wèn)題的巧思妙解.為順利解題,學(xué)生需要先理解、掌握以下常用的一般性結(jié)論.

1)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱?f(a＋x)＝f(b－x)對(duì)任意x∈R恒成立.

函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱?f(a＋x)＋f(b－x)＝2m對(duì)任意x∈R恒成立.

2)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于兩點(diǎn)(a,m)和(b,m)均對(duì)稱,或者關(guān)于兩條直線x＝a和x＝b均對(duì)稱,則f(x)是以2|a－b|為周期的函數(shù);若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,m)和直線x＝b均對(duì)稱,則f(x)是以4|a－b|為周期的函數(shù).

3)若函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱?f′(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)(其中b∈R)對(duì)稱?f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.

1 已知含參函數(shù)的解析式，求值

例1已知函數(shù)f(x)＝(x2＋2x)(x2＋ax＋b),若對(duì)一切實(shí)數(shù)x,均有f(x)＝f(2－x),則f(3)＝_______.

解析

方法1因?yàn)閒(x)＝f(2－x),所以令x＝0,可得f(0)＝f(2),即4＋2a＋b＝0;令x＝4,可得f(4)＝f(－2),即16＋4a＋b＝0.

方法2由f(x)＝f(2－x)恒成立,可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱,所以f′(1)＝0.對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝(2x＋2)(x2＋ax＋b)＋(x2＋2x)(2x＋a),所以4(1＋a＋b)＋3(2＋a)＝0,即7a＋4b＋10＝0.又由f(x)＝f(2－x)恒成立,可知f(0)＝f(2),即4＋2a＋b＝0.

方法3由f(x)＝f(2－x)恒成立,可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.

又由函數(shù)f(x)的解析式易知0 和－2 是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),所以根據(jù)f(x)圖像的對(duì)稱性可得2和4也是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),從而可知方程x2＋ax＋b＝0的根為2 和4,所以2＋4＝－a,2×4＝b,即a＝－6,b＝8,故f(3)＝15[9＋3×(－6)＋8]＝－15.

點(diǎn)評(píng)

方法1側(cè)重考慮了x取值的任意性,通過(guò)賦值構(gòu)建方程組求解;方法2的創(chuàng)新在于由函數(shù)圖像的對(duì)稱性,獲得導(dǎo)函數(shù)在x＝1處的函數(shù)值為零;方法3充分利用函數(shù)圖像的對(duì)稱性,發(fā)現(xiàn)函數(shù)的另外兩個(gè)零點(diǎn),從而由根與系數(shù)的關(guān)系求得參數(shù)a,b的取值.

例2已 知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn),則a＝( ).

解析

方法1求導(dǎo)得f′(x)＝2x－2＋a(ex－1－e－x＋1),所以將f′(x)的圖像向左平移一個(gè)單位可得f′(x＋1)＝2x＋a(ex－e－x).易知f′(x＋1)是奇函數(shù),所以f′(x)的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),又f′(x＋1)在R上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＜1時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)x＞1時(shí),f′(x)＞0,則函數(shù)f(x)在(－∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.于是,結(jié)合函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn),可得f(1)＝0,解得a＝故選C.

方法2注意到函數(shù)y＝x2－2x的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱,于是想到分析函數(shù)g(x)＝ex－1＋e－x＋1的對(duì)稱性,以便靈活運(yùn)用函數(shù)圖像的對(duì)稱巧妙地求解目標(biāo)問(wèn)題.因?yàn)間(1＋x)＝ex＋e－x＝g(1－x),所以函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于直線x＝1 對(duì)稱,從而函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.結(jié)合函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn),可得f(1)＝0,解得a＝故選C.

點(diǎn)評(píng)

上述方法1 求解的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)以及平移技巧,巧妙分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性,具有一定的難度;方法2求解的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用了函數(shù)的對(duì)稱性,解題思維比較自然、流暢,極具參考價(jià)值.此外,函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱性,也可通過(guò)證明f(1＋x)＝f(1－x)直接獲得.

2 處理有關(guān)抽象函數(shù)問(wèn)題

綜上,選BC.

點(diǎn)評(píng)

本題具有較強(qiáng)的抽象性,側(cè)重考查抽象函數(shù)圖像的對(duì)稱性以及周期性在解題中的綜合運(yùn)用,同時(shí)還側(cè)重考查了函數(shù)的對(duì)稱性與其導(dǎo)數(shù)的對(duì)稱性之間的內(nèi)在關(guān)系在解題中的靈活運(yùn)用.

綜上,選ACD.

點(diǎn)評(píng)

本題屬于例3的變式,解題關(guān)鍵是靈活應(yīng)用函數(shù)圖像的對(duì)稱性以及周期性,同時(shí)需要關(guān)注函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的對(duì)稱性的靈活運(yùn)用.

(完)