類比方程學(xué)不等式

王金坤

方程與不等式是初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。第11章“一元一次不等式”為我們介紹了生活中數(shù)量之間的不等關(guān)系可以用不等式來表示；不等式是刻畫這種數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的重要工具。結(jié)合實(shí)際問題建立不等式模型，進(jìn)而分析和解決問題，始終是學(xué)習(xí)不等式的核心。在七年級(jí)上學(xué)期，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“一元一次方程”，知道數(shù)量之間的相等關(guān)系可以用方程來表示，學(xué)會(huì)了解一元一次方程和用一元一次方程解決問題。在本章的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，我們可以將一元一次不等式與一元一次方程進(jìn)行比較，類比方程學(xué)習(xí)不等式。

一、類比“從問題到方程”，發(fā)現(xiàn)“生活中的不等式”

生活中的許多問題常常有已知量和未知量，這些量之間有相等的關(guān)系，也有不等的關(guān)系。讓我們一起思考一個(gè)問題：

例1 一只紙箱的質(zhì)量為1kg，裝入每個(gè)質(zhì)量為0.3kg的蘋果后，紙箱和蘋果的總質(zhì)量為8.2kg。這只紙箱內(nèi)裝了多少個(gè)蘋果？

在上述問題中，我們發(fā)現(xiàn)有相等關(guān)系：紙箱的質(zhì)量+蘋果的質(zhì)量=8.2kg。如果設(shè)這只紙箱內(nèi)裝了x個(gè)蘋果，那么依據(jù)相等關(guān)系，可列方程1+0.3x=8.2。這就是用方程來描述數(shù)量中的相等關(guān)系。

現(xiàn)在，將上述問題改編一下：

例2 一只紙箱的質(zhì)量為1kg，裝入每個(gè)質(zhì)量為0.3kg的蘋果后，紙箱和蘋果的總質(zhì)量不超過8.2kg。這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個(gè)蘋果？

在這個(gè)問題中，將例1的條件“紙箱和蘋果的總質(zhì)量為8.2kg”變?yōu)椤凹埾浜吞O果的總質(zhì)量不超過8.2kg”，關(guān)鍵詞“不超過”揭示了數(shù)量之間的不等關(guān)系：紙箱的質(zhì)量+蘋果的質(zhì)量≤8.2kg。于是，我們可以設(shè)這只紙箱內(nèi)裝了x個(gè)蘋果，依據(jù)不等關(guān)系，可列不等式1+0.3x≤8.2。

在生活中，類似“紙箱裝蘋果”的問題有很多，我們可以用不等式來描述問題中數(shù)量之間的不等關(guān)系。

三、類比“用一元一次方程解決問題”，學(xué)會(huì)“用一元一次不等式解決問題”

用一元一次方程解決問題的關(guān)鍵，是尋找實(shí)際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系，從而依據(jù)相等關(guān)系列出方程。用一元一次不等式解決問題，要尋找不等關(guān)系，通過分析，從實(shí)際問題中抽象出一元一次不等式模型。

例5 為慶祝偉大的中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，發(fā)揚(yáng)紅色傳統(tǒng)，傳承紅色精神，某學(xué)校舉行了主題為“學(xué)史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行”的黨史知識(shí)競(jìng)賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對(duì)得4分，答錯(cuò)扣1分，不答得0分。

（1）若某參賽同學(xué)只有一道題沒有作答，最后他的總得分為86分，則該參賽同學(xué)一共答對(duì)了多少道題？

（2）若規(guī)定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于90分才可以被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”，則參賽者至少需答對(duì)多少道題才能被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”？

這個(gè)問題中，第（1）題是一元一次方程的應(yīng)用，第（2）題是一元一次不等式的應(yīng)用。第（1）題，設(shè)該參賽同學(xué)一共答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)了（25-1-x）道題，根據(jù)相等關(guān)系：答對(duì)題目的得分-答錯(cuò)題目的分?jǐn)?shù)＝總得分，即可得出關(guān)于x的一元一次方程4x-（25-1-x）＝86。第（2）題，設(shè)參賽者至少需答對(duì)y道題才能被評(píng)為“學(xué)黨史小達(dá)人”，那么答錯(cuò)了（25-y）道題，根據(jù)不等關(guān)系：總得分≥90分，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式4y-（25-y）≥90。

請(qǐng)同學(xué)們用類似的方法解決下面問題：

例6 2022年2月4日至20日，冬季奧運(yùn)會(huì)在北京舉行。某商店特購進(jìn)冬奧會(huì)紀(jì)念品“冰墩墩”擺件和掛件共180個(gè)進(jìn)行銷售。已知“冰墩墩”擺件的進(jìn)價(jià)為80元/個(gè)，“冰墩墩”掛件的進(jìn)價(jià)為50元/個(gè)。

（1）若購進(jìn)“冰墩墩”擺件和掛件共花費(fèi)了11400元，請(qǐng)分別求出購進(jìn)“冰墩墩”擺件和掛件的數(shù)量。

（2）該商店計(jì)劃將“冰墩墩”擺件售價(jià)定為100元/個(gè)，“冰墩墩”掛件售價(jià)定為60元/個(gè)，若購進(jìn)的180個(gè)“冰墩墩”擺件和掛件全部售完且至少盈利2900元，那么購進(jìn)的“冰墩墩”掛件不能超過多少個(gè)？

在解決實(shí)際問題時(shí)，不少同學(xué)常常有這樣的困惑：到底是用方程，還是用不等式解決呢？這就要求我們認(rèn)真審讀問題中的條件，獲取問題中的有關(guān)信息，抓住關(guān)鍵語句和關(guān)鍵詞，弄清問題中數(shù)量之間是相等關(guān)系，還是不等關(guān)系。如果是相等關(guān)系，就依據(jù)相等關(guān)系列方程；如果是不等關(guān)系，就依據(jù)不等關(guān)系列不等式。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常采用類比的思想方法研究問題，探索新知?；趯W(xué)習(xí)一元一次方程已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)一元一次不等式，可以類比的地方還有很多，例如，不等式和方程的意義、不等式和等式的性質(zhì)、不等式的解集與一元一次方程的解等。同學(xué)們一定要關(guān)注它們的相同點(diǎn)，明確它們的不同點(diǎn)，在比較中學(xué)會(huì)思考，在類比的過程中進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)不等式有關(guān)知識(shí)的特點(diǎn)與本質(zhì)，真正做到融會(huì)貫通，學(xué)以致用。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）