基于改進差分進化的Hammerstein系統辨識

劉夢茹 李俊紅 徐珊玲

(南通大學電氣工程學院 江蘇 南通 226019)

0 引 言

系統辨識是研究建立系統數學模型的理論與方法。近幾十年來,系統辨識已經成為控制理論的一個十分活躍而又重要的分支[1]。在非線性系統辨識方面,一些智能辨識算法如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法和神經網絡算法取得了較好的結果[2]。

大部分非線性系統可以用Hammerstein或者Wiener模型來描述。Narendra等[3]最早于1966年提出關于此類模型的辨識方法,他們將Hammerstein模型分成線性的動態(tài)子系統和非線性的靜態(tài)子系統。目前為止,許多研究人員已經提出一些算法用于辨識Hammerstein非線性系統,比如最小二乘算法、隨機梯度算法等[4]。由于傳統辨識算法對于Hammerstein系統辨識往往存在辨識精度不夠高、收斂速度較慢等問題,尤其是針對含有有色噪聲的Hammerstein模型。近年來,啟發(fā)式群智能優(yōu)化算法成為解決復雜問題的熱門選擇,受到廣泛關注。其中,DE算法是一種典型的啟發(fā)式算法,最早由Storn等[5]提出,目的是求解切比雪夫多項式問題。DE算法自提出以來,因其控制參數少、魯棒性強等優(yōu)點,已經成為進化計算領域的研究熱點之一。

然而,基本DE算法存在局部最優(yōu)的問題。針對這一現象,許多研究者對DE算法進行了改進。Fan等[6]提出了ZEPDE算法,用于控制參數且分區(qū)自適應變異策略。Tvrdik等[7]提出將DE算法和K均值算法結合的新算法,通過聚類中心加快搜索速度。Wang等[8]提出一種基于搜索數據分析的自適應差分進化算法用于解決多目標優(yōu)化問題,采用多個子種群協同進化。盧峰等[9]為解決DE算法中存在的過早收斂和搜索停滯的問題,根據個體適應度值的大小將種群分成三個不同的子種群,采取不同的變異策略,加快了算法的收斂速度。Biswas等[10]為減少選擇階段的計算提出了LoINDE算法。

針對Hammerstein受控自回歸滑動平均(CARMA)模型,本文利用改進DE算法對該模型進行參數辨識,為了證明改進算法的有效性和可行性,本文還推導了遞推最小二乘(Recursive Least Squares,RLS)算法,在仿真實驗中將改進DE算法與RLS算法、基本DE算法和粒子群(PSO)算法對比,驗證了改進DE算法的有效性。

1 系統描述

Hammerstein CARMA模型如圖1所示。其中:u(t)是模型輸入信號;y(t)是模型輸出信號;v(t)是白噪聲;w(t)是有色噪聲。

圖1 Hammerstein CARMA模型

假設y(t)=0,u(t)=0,m(t)=0且v(t)=0(t≤0)。非線性部分方程為:

m(t)=f(u(t))=γ1f1(u(t))+γ2f2(u(t))+

…+γmfm(u(t))=f(u(t))γ

(1)

f(u(t))=[f1(u(t)),f2(u(t)),…,fm(u(t))]∈R1×m

(2)

式(2)是基函數構成的行向量。而非線性部分的參數向量γ可以表示為:

γ=[γ1,γ2,…,γm]T∈Rm

(3)

線性部分的方程為:

A(z-1)y(t)=B(z-1)m(t)+D(z-1)v(t)

(4)

其中:

噪聲部分為:

式中:z-1是單位后移算子。

z-1y(t)=y(t-1)

(7)

式中:A(z-1)、B(z-1)和D(z-1)是z-1的常數系數時不變多項式,可以定義為:

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+…+anz-na=

B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bnz-nb=

D(z-1)=1+d1z-1+d2z-2+…+dnz-nd=

式中:aj、bj、dj和γj是要估計模型的未知參數,并且階數na、nb、nd和m是已知的[11]。我們假定多項式B(z-1)的首項b0=1,定義參數向量η和信息向量φ(t)如下:

η=[a1,a2,…,ana,b1,b2,…,bnb,γ1,γ2,…,

γm,d1,d2,…,dnd]T∈Rn

(11)

n=na+nb+nd+m

φ(t)=[-y(t-1),-y(t-2),…,-y(t-na),

m(t-1),m(t-2),…,m(t-nb),

f1(u(t)),f2(u(t)),…,fm(u(t)),

v(t-1),v(t-2),…,v(t-nd)]T∈Rn

(12)

則Hammerstein CARMA系統可以表示為:

通過式(11)-式(13),可以得到如下辨識模型:

y(t)=φT(t)η+v(t)

(14)

定義目標函數:

(15)

式中:l是數據的長度;J1(k)表示DE算法適應度函數。下面用改進DE算法和RLS算法分別對Hammerstein CARMA模型進行辨識。

2 差分進化算法

2.1 基本差分進化算法

DE算法是基于群體智能理論的優(yōu)化算法,通過種群內個體間的合作競爭產生的群體智能指導優(yōu)化搜索[12]。DE算法的核心步驟是變異操作、交叉操作和選擇操作。

2.1.1生成初始群體

在初始化階段,需要在n維空間里確定算法的基本參數,包括種群大小M、變異因子F、交叉因子ω和最大迭代次數G,具體措施設置如下:

i=1,2,3,…,M

(16)

j=1,2,3,…,n

2.1.2變異操作

變異操作是種群中隨機選擇3個個體,任取兩個個體的向量差加權后按一定的規(guī)則與第三個個體求和而產生變異個體[13]?；镜淖儺惒僮骺杀硎緸?

2.1.3交叉操作

交叉操作是為了增加群體的多樣性[14]。變異個體與某個預先決定的目標個體進行比較,生成實驗個體,將交叉因子定義為ω,具體操作如下:

2.1.4選擇操作

(19)

2.2 改進差分進化算法

相比傳統算法,基本DE算法具有收斂速度快和魯棒性強的特點,但算法中仍然存在許多值得進一步研究的問題。種群的大小將影響計算的復雜性,而變異因子F和交叉因子ω是控制種群多樣性和收斂性的重要參數[16]。

變異操作和交叉操作兩個過程是相輔相成,互相影響的,因此對DE算法的變異過程和交叉過程進行改變,將變異因子F和交叉因子ω從固定值變成自適應動態(tài)值,以提高算法的精度和有效性。

2.2.1改進的變異操作

變異因子F在算法中起調節(jié)作用[17],為了使算法最有效地逼近最優(yōu)解,在變異操作中引入了自適應算子α,具體改進策略如下:

F=F0×2α

(21)

式中:F0是初始變異系數;自適應算子α為周期函數;G為最大迭代次數;k為當前迭代次數(1≤k≤T)。在基本DE算法中,變異因子F取常數值,難以確定最優(yōu)值,而引入具有周期性質的自適應算子,以動態(tài)值來代替基本算法的靜態(tài)固定值,讓變異因子的搜索范圍始終處在一個合理的范圍內,隨著迭代次數不斷地增加,變異因子F也在不斷改變尋找最優(yōu)值,在初期可以保持多樣性,防止過早收斂。

2.2.2改進的交叉操作

為了提高算法的優(yōu)化性能,交叉運算自適應調整策略可以更好地平衡全局和局部搜索能力,算法可以更快地搜索最優(yōu)解。具體的改進策略為:

ω=0.6×(1+rand())

(23)

式中:rand()是[0,1]之間的隨機數。

改進DE算法用于估計參數向量η的公式總結如下:

(24)

F=F0×2α

(27)

ω=0.6×(1+rand())

(29)

(31)

改進DE算法估計參數η的步驟如下:

1) 初始化種群,設置初始參數,包括種群大小M、參數個數D、最大迭代次數G和初始變異因子F0。

2) 設置當前種群的最優(yōu)個體,通過式(25)進行初始化。

3) 根據式(24)計算群體中每個個體的適應值。

4) 根據式(26)-式(28)執(zhí)行變異操作。

5) 根據式(29)-式(30)執(zhí)行交叉操作。

7) 確定是否滿足終止條件k>G,如果滿足此條件,則產生最優(yōu)個體,否則返回步驟3)。

改進DE算法的流程如圖2所示。

圖2 改進DE算法流程

3 遞推最小二乘算法

L(t)=P(t-1)φ(t)[1+φT(t)P(t-1)φ(t)]-1

(33)

P(t)=[I-L(t)φT(t)]P(t-1),P(0)=p0I

(34)

式中:L(t)為增益向量,P(t)為協方差矩陣。

L(t)=P(t)φ(t)∈Rn×n

(35)

4 仿真分析與結果

考慮以下Hammerstein CARMA系統:

A(z-1)y(t)=B(z-1)m(t)+D(z-1)v(t)

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2=1-1.132z-1+1.1z-2

B(z-1)=1+b1z-1+b2z-2=1+z-1-1.14z-2

m(t)=f(u(t))=γ1f1(u(t))+γ2f2(u(t))=

0.091u(t)-0.148u2(t)

D(z-1)=1+d1z-1+d2z-2=1+0.98z-1-1.5z-2

表3 DE算法參數估計與誤差

表4 PSO參數估計與誤差

圖3 改進DE算法估計誤差曲線

圖4 改進DE算法適應度演化曲線

圖6 DE算法估計誤差曲線

圖7 PSO估計誤差曲線

可以看出,在噪聲方差為σ2=0.102的情況下,改進DE算法和RLS算法的估計誤差越來越小,改進DE算法比RLS算法、基本DE算法和PSO具有更高的辨識精度和更快的收斂速度。

5 應用實例

控制反應器的反應物濃度一直以來都是化工過程控制領域的研究熱點,連續(xù)攪拌反應釜是工業(yè)過程中廣泛應用的一類反應器[20],如圖8所示,反應釜工作時,攪拌器快速攪拌,容積內部濃度相等。反應釜夾套冷卻水帶走反應產生的熱量,保持釜器內各處溫度相等和穩(wěn)定[21]。

連續(xù)攪拌反應釜可以建模為Hammerstein模型結構[22]。在圖8展示的連續(xù)攪拌反應釜中,非線性部分為多項式函數,線性部分為CARMA結構,模型為:

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2=1-0.918z-1+0.286z-2

B(z-1)=1+b1z-1+b2z-2=1+z-1-1.5z-2

m(t)=f(u(t))=γ1f1(u(t))+γ2f2(u(t))=

-0.07u(t)+0.383u2(t)

D(z-1)=1+d1z-1+d2z-2+d3z-3=

1+0.56z-1-0.925z-2+0.46z-3

模型的線性部分參數為:

a=[-0.918,0.286],b=[1,-1.5],d=[0.56,-0.925,0.46]

多項式函數的系數為:

γ=[-0.07,0.383]

將改進DE算法用于連續(xù)攪拌反應釜的辨識,辨識誤差曲線結果如圖9所示,適應度演化曲線如圖10所示。

圖9 連續(xù)攪拌反應釜辨識誤差曲線

圖10 連續(xù)攪拌反應釜辨識適應度演化曲線

可以看出,隨著迭代次數的增加,連續(xù)攪拌反應釜辨識的參數估計誤差越來越小,而且適應度演化曲線趨于0,說明辨識算法是有效的。

6 結 語

本文提出改進DE算法來辨識Hammerstein CARMA系統,并且與RLS算法、基本DE算法和PSO進行對比。仿真結果表明,改進DE算法相對于RLS算法、基本DE算法和PSO可以更有效地辨識Hammerstein CARMA系統的參數,其參數估計精度更高,收斂速度更快。將改進DE算法應用在連續(xù)攪拌反應釜中,取得了較好的應用效果。