計(jì)算思維的形狀

陳凱

摘要：由于具體問題的解決常常需要綜合運(yùn)用到多種思維能力，于是存在這樣的問題：判定問題解決過程中計(jì)算思維得到運(yùn)用的依據(jù)是什么？本文提出，為了作出判定，一方面要觀察對于某個(gè)問題的解決過程中確實(shí)運(yùn)用了構(gòu)造性和機(jī)械化的方法來對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，在此基礎(chǔ)上，同時(shí)也要觀察，存在將計(jì)算裝置的行為分解成更底層的功能組件的行為，這是因?yàn)橛?jì)算裝置的整體功能，是在其包含的實(shí)體的或虛擬的功能組件在相互觸發(fā)和影響的過程中，由依附于功能組件的數(shù)據(jù)按規(guī)則變化的過程中被表征出來的。

關(guān)鍵詞：計(jì)算思維；構(gòu)造性；機(jī)械化；加一倍法

中圖分類號：G434? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 論文編號：1674-2117（2023）15-0024-04

當(dāng)學(xué)生運(yùn)用某種方法解決了某個(gè)特定問題時(shí)，教師常常能從學(xué)生的行為判斷出其解決問題過程中究竟運(yùn)用了何種思維方式。雖然說，具體問題的解決需要綜合運(yùn)用多種思維能力，但假設(shè)旁觀者的確能看出問題解決過程中計(jì)算思維得到了運(yùn)用，那么就值得進(jìn)一步追問，這個(gè)判定的依據(jù)是什么？換一種不甚嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯柗?，?jì)算思維具有怎樣的形狀，使得其在被運(yùn)用時(shí)能夠被識別出來？

邵雍的加一倍法

本文的探索源自千年前的北宋時(shí)期，當(dāng)時(shí)的易學(xué)大師邵雍創(chuàng)造了一種名為“加一倍法”的計(jì)算方法，用來有規(guī)律地生成八卦乃至六十四卦圖樣。所謂“加一倍”，邵雍這樣說：“一變而二，二變而四，三變而八卦成矣。四變而十有六，五變而三十有二，六變而六十四卦備矣。”后來的《易裨傳》解釋得更清楚：“陰陽各分陰陽……再變則二陰二陽，三變則四陰四陽?！庇矛F(xiàn)在人們更容易理解的方式來解釋（列表如圖1）：以0為陰，以1為陽，則第一行01交錯(cuò)，第二行數(shù)字加倍0011交錯(cuò)，第三行再加倍00001111交錯(cuò)。如按此規(guī)則列三行數(shù)字，縱向看就得到8種不同的排列組合方式。按此規(guī)則每多列出一行數(shù)字，縱向排列組合方式則加倍。將0作為陰爻用虛線描繪，將1作為陽爻用實(shí)線描繪，則三行數(shù)字得到縱向8種排列組合就對應(yīng)如圖2所示八卦中所有卦圖。

邵雍說：“圖雖無文，吾終日言而未當(dāng)離乎是，蓋天地萬物之理盡在其中矣?！笨梢姡塾哼\(yùn)用加一倍法生成卦圖，其目的是想說明根據(jù)易理是能夠推究宇宙起源、自然演化和社會發(fā)展的。邵雍這種象數(shù)相生的宇宙觀，有學(xué)者認(rèn)為其是現(xiàn)代數(shù)字技術(shù)的思想發(fā)端。[1]有興趣的讀者可查閱邵雍進(jìn)一步運(yùn)用加一倍法所推演出的“六十四卦圓方圖”，限于篇幅這里就不作展示了。關(guān)于邵雍是否真正有使用二進(jìn)制數(shù)的意識和自覺而不僅僅是巧合，學(xué)者們意見不一，但無論是持肯定還是否定的觀點(diǎn)，不可否認(rèn)的是，邵雍事實(shí)上創(chuàng)設(shè)出一種按特定算法自動化生成二進(jìn)制數(shù)的模型。而在加一倍法的運(yùn)用中，邵雍進(jìn)一步將傳統(tǒng)易學(xué)中的象生數(shù)和數(shù)生象，豐富為象生數(shù)、數(shù)生數(shù)、數(shù)生象的思想方法。大家不妨自問這樣一個(gè)問題，邵雍在解決自動生成卦圖這個(gè)問題時(shí)，是不是運(yùn)用了計(jì)算思維？或者換個(gè)問法，假設(shè)有學(xué)生說自己發(fā)現(xiàn)了一種方法，可以有規(guī)律地生成指定位數(shù)的所有二進(jìn)制數(shù)，教師是否能認(rèn)可該學(xué)生是運(yùn)用了計(jì)算思維在解決問題？

著名的數(shù)學(xué)家吳文俊指出：中國古算具有兩大特色，一是構(gòu)造性，二是機(jī)械化。[2]針對易學(xué)，傅海倫指出：對易圖的數(shù)理研究……向人們顯示了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家對構(gòu)造性問題的關(guān)心……構(gòu)造性特別強(qiáng)調(diào)運(yùn)算可操作程度，其首要特征就是要從問題包括的信息出發(fā)通過一系列有限的運(yùn)算求出解來，因而構(gòu)造性往往是與算法的機(jī)械化特色聯(lián)系在一起。[3]這種構(gòu)造性和機(jī)械化的問題解決方法，無疑體現(xiàn)了算法思維的運(yùn)用。但這是不是也體現(xiàn)了計(jì)算思維的運(yùn)用呢？有學(xué)者就認(rèn)為這種構(gòu)造性和機(jī)械化的問題解決方法是一種中國古代的計(jì)算思維。[4]然而這就出現(xiàn)了一個(gè)問題，周以真在2006年提出“計(jì)算思維”的概念，她認(rèn)為計(jì)算思維指的是一種運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)基本概念求解問題、設(shè)計(jì)系統(tǒng)和理解人類行為的方式?？紤]到計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的目的就是利用機(jī)械化的運(yùn)動方式以特定算法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理并輸出結(jié)果，那么“計(jì)算思維”這個(gè)概念和構(gòu)造性和機(jī)械化的思維方法到底有怎樣的不同？從樸素的直覺生出的判斷是：“計(jì)算思維”概念的提出，似乎不應(yīng)該是一種已被認(rèn)可的思維方式概念的重命名。如果說加一倍法能充分體現(xiàn)出構(gòu)造性和機(jī)械化的問題解決方法，那么為何說這種方法還不能充分地體現(xiàn)出計(jì)算思維的運(yùn)用？

將機(jī)械化的算法轉(zhuǎn)化為機(jī)械的構(gòu)造和運(yùn)動過程

使用加一倍法可以生成所有按從小到大順序排列的n位二進(jìn)制數(shù)，這個(gè)時(shí)候可以將加一倍法的描述視作算法，而根據(jù)描述生成的二進(jìn)制數(shù)可以看成是算法處理后輸出的字符串。雖然人的頭腦很容易理解如何實(shí)施加一倍法，但問題是，應(yīng)當(dāng)如何真正地創(chuàng)造出一種可行的或至少在思想中可行的機(jī)器，能夠讓其按加一倍法生成二進(jìn)制數(shù)？當(dāng)今的人們能借助計(jì)算機(jī)程序或數(shù)字電路輕松地做到這些，圖3就是一種簡單的用加一倍法生成所有3位二進(jìn)制數(shù)的數(shù)字電路。

邵雍所處的時(shí)代當(dāng)然沒有計(jì)算機(jī)或數(shù)字電路，不過可以假想存在某個(gè)有感知功能的讀寫機(jī)，當(dāng)該機(jī)器讀取到數(shù)據(jù)“0”，則在新的一行中寫下兩個(gè)“0”，當(dāng)讀取到數(shù)據(jù)“1”，則在新的一行中寫下兩個(gè)“1”，為了能生成所有3位二進(jìn)制數(shù)，需要A、B兩個(gè)讀寫機(jī)根據(jù)初始的“01010101”數(shù)據(jù)開始一系列的動作。其實(shí)，這個(gè)初始的數(shù)據(jù)也可以用更為初始的數(shù)據(jù)“0”以及一個(gè)從左讀取數(shù)據(jù)并向右寫數(shù)據(jù)的另一種讀寫機(jī)來生成，這里就不進(jìn)一步展開了。實(shí)際上，A、B兩個(gè)讀寫機(jī)的運(yùn)行規(guī)則是完全一致的。圖4展示的是這兩個(gè)讀寫機(jī)工作的第一步和第二步。還需要注意的問題是，讀寫機(jī)讀數(shù)據(jù)只需要移動一格位置，而寫數(shù)據(jù)需要移動兩格位置。解決的方法可以是這樣的，為每個(gè)讀寫機(jī)設(shè)定一個(gè)分身，如A負(fù)責(zé)讀，A負(fù)責(zé)寫，而A需要能夠接受到A發(fā)出的信息并轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的動作。

相信即便是在不存在計(jì)算機(jī)或數(shù)字電路的時(shí)代，人們也能夠僅僅借助頭腦中的想象來理解這個(gè)讀寫機(jī)的工作原理和過程。所以存在這樣一個(gè)假設(shè)，在沒有計(jì)算機(jī)或數(shù)字電路硬件存在的情況下，人們也能按加一倍法的原理，構(gòu)造出一種能合理運(yùn)行的自動化機(jī)械裝置。古人為解決特定問題創(chuàng)造出很多精妙的算法，不過從計(jì)算思維的角度看，的確還缺少這樣的思考：算法中的每一步是否有可能離開人自動化地實(shí)施。雖然說這種自動化實(shí)施的構(gòu)想并不一定真正能在技術(shù)上加以實(shí)現(xiàn)，但即便是構(gòu)想一個(gè)現(xiàn)實(shí)中難以實(shí)現(xiàn)但在行為和邏輯上合理的虛擬機(jī)器，對于用機(jī)械化思想解決問題還是有重要的意義的。圖靈機(jī)的創(chuàng)設(shè)就是一個(gè)典型的例子，圖靈在論文中完整描述的圖靈機(jī)在當(dāng)時(shí)并沒有被真正制造出來，但圖靈機(jī)的機(jī)械化計(jì)算過程將一些本來用語言文字難以描述的問題進(jìn)行了清晰的界定，不僅解決了數(shù)學(xué)上的判定問題，還經(jīng)由元圖靈機(jī)的概念證明了通用計(jì)算機(jī)器是存在的。

功能組件的行為

考慮如圖5所示的這樣一種奇特裝置，由于單擺做簡諧運(yùn)動的周期跟擺長的平方根成正比，所以可以調(diào)整擺長將單擺周期設(shè)置成2倍關(guān)系，這樣，僅僅觀察單擺運(yùn)動時(shí)擺動的方向，并人為將單擺不同的運(yùn)動方向分別編碼為“0”和“1”，就能夠簡單地模擬出按加一倍法原理實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的自動生成過程，這里暫且將其簡稱為單擺機(jī)。設(shè)計(jì)并搭建出這種裝置的人不僅理解加一倍法的原理，還真正利用簡單機(jī)械的運(yùn)動將二進(jìn)制數(shù)生成過程展現(xiàn)了出來，那么是否可以認(rèn)為，單擺機(jī)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)過程中運(yùn)用了計(jì)算思維？

前文提到的讀寫機(jī)和單擺機(jī)有一處很大的不同：讀寫機(jī)是可以拆解出功能組件的，功能組件具有數(shù)據(jù)輸入的接口、數(shù)據(jù)輸出的接口、存儲的數(shù)據(jù)以及特定的行動方式，功能組件之間通過某種條件下的觸發(fā)，實(shí)現(xiàn)功能組件自身數(shù)據(jù)的變化及功能組件行為的變化，諸多功能組件的行為只有在宏觀的層面上，才涌現(xiàn)出整體的功能。并且，功能組件的行為有著被重新定義的潛力。而一個(gè)單擺機(jī)只是單純的物理現(xiàn)象的反映，無法對其進(jìn)行拆解，這就好像是侯世達(dá)所說的鏡子：“能反映宇宙但看不到范疇……不具有自主結(jié)構(gòu)，完全依賴于外在世界。”[5]

利用功能組件的行為以及相應(yīng)行為所觸發(fā)的事件（包括數(shù)據(jù)的變化和后續(xù)行為的變化），可以有多種不同的生成二進(jìn)制數(shù)或生成其他某種特定字符串的方法。例如，可以這樣描述生成從小到大順序排列的n位二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算裝置：有某個(gè)能在平面上游走的讀寫裝置U，該裝置和其附近的四個(gè)默認(rèn)存儲了“0”的存儲裝置按某種特定規(guī)則交換信息，規(guī)則是，每一輪交換過程中，默認(rèn)存儲了“0”的裝置U首先觸碰A存儲裝置，其觸發(fā)的事件是裝置U自身的數(shù)據(jù)由“0”變?yōu)椤?”，然后，裝置U依次按順序觸碰存儲裝置a1，a2，a3，a4，當(dāng)裝置U觸碰a1，a2，a3，a4中任意一個(gè)時(shí)，如果裝置U為“1”，且存儲裝置也為“1”，則將存儲裝置數(shù)據(jù)設(shè)置為“0”；如果裝置U為“1”，存儲裝置為“0”，則將裝置U設(shè)為“0”，存儲裝置數(shù)據(jù)設(shè)為“1”。后續(xù)則反復(fù)實(shí)施如上動作。這個(gè)裝置的運(yùn)行過程如圖6所示，顯然，如果試圖純粹用語言來描述其完整的工作過程，還需要設(shè)置一個(gè)平面坐標(biāo)系，為所有部件規(guī)定好位置，還要說清楚裝置U的運(yùn)動軌跡。這個(gè)裝置可以稱為觸碰迭代機(jī)，而以上的諸多語言文字描述則可以當(dāng)作觸碰迭代機(jī)的算法。

那么，為了生成所有n位二進(jìn)制數(shù)的字符串，哪一種描述方法更為簡潔？（一個(gè)值得探索的有趣問題是，是否存在一種算法，能夠判定某個(gè)生成特定字符串的最為簡潔的算法的長度。這個(gè)問題和柯氏復(fù)雜度有關(guān)，而柯氏復(fù)雜度已被證明為是一個(gè)不可計(jì)算的問題）從上文所舉的例子看，似乎加一倍法的描述遠(yuǎn)比觸碰迭代機(jī)簡潔。不過深究之下，這個(gè)判斷其實(shí)大有問題，當(dāng)人們讀到“陰陽各分陰陽……再變則二陰二陽，三變則四陰四陽”時(shí)，已有的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軒椭藢⑦@些簡潔的語言解析還原成現(xiàn)象。例如，當(dāng)人們見到“三顧茅廬”這個(gè)詞時(shí)，得到的信息是絕對不止于三次拜訪茅廬的，類似地，當(dāng)人們看見泰山石刻“蟲二”兩字時(shí)，聯(lián)系周圍風(fēng)景，才可解讀出“風(fēng)月無邊”。所以，對于怎樣地生成某特定字符串的描述才是更簡潔的描述這一問題，需要放置在一個(gè)特定的機(jī)械化的系統(tǒng)中加以判斷。例如，只使用C語言的編輯器編寫代碼生成某特定字符串，或者只使用圖靈機(jī)生成某特定字符串。圖7所示的是利用圖靈機(jī)將上述觸碰迭代機(jī)的各個(gè)組件編碼成為一維的數(shù)據(jù)，并仍然按迭代法生成4位二進(jìn)制數(shù)的方法。

可以看出，在一個(gè)特定的機(jī)械化的系統(tǒng)中，是可以分辨出哪一種解決問題的描述也就是算法是簡單的，哪一種是復(fù)雜的。這樣也就避免了討論問題時(shí)自然語言模糊不清造成的影響。某些結(jié)構(gòu)不同的機(jī)械化系統(tǒng)，雖然說它們執(zhí)行計(jì)算的功能集是相同的，但它們的結(jié)構(gòu)卻會影響計(jì)算實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性。

結(jié)論

到這里，就可以對“計(jì)算思維的形狀”這一問題給出初步的結(jié)論。為了判斷某人解決問題是否運(yùn)用了計(jì)算思維，可以觀察以下兩點(diǎn)：首先，作為必要條件，此人對于某個(gè)問題的解決，運(yùn)用了構(gòu)造性和機(jī)械化的方法來對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理；其次，數(shù)據(jù)的處理過程能夠被分解成更底層的功能組件的行為，這些功能組件可能是現(xiàn)實(shí)存在的物質(zhì)實(shí)體或虛擬的裝置，但都包含對數(shù)據(jù)進(jìn)行通信的接口、可根據(jù)特定條件改變自身數(shù)據(jù)或行為的規(guī)則，計(jì)算裝置的整體功能，是由這些功能組件在相互觸發(fā)與數(shù)據(jù)按規(guī)則變化的過程中被表征出來的。

參考文獻(xiàn)：

[1]丘亮輝，郭彧.古代象數(shù)觀和現(xiàn)代數(shù)字化技術(shù)思想[J].自然辯證法研究，2004（10）：8-10.

[2]吳文俊.從《數(shù)書九章》看中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)構(gòu)造性和機(jī)械化的特色[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1987．

[3]傅海倫.構(gòu)造性的思維方式與數(shù)學(xué)機(jī)械化[J].大自然探索，1998（01）：120-123.

[4]管會生，楊建磊.從中國“古算”到“圖靈機(jī)”—看不同歷史時(shí)期“計(jì)算思維”的演變[J].計(jì)算機(jī)教育，2012，167（11）：120-125.

[5][美]侯世達(dá)，[美]丹尼爾·丹尼特.我是誰，或什么：一部心與自我的辯證奇想集[M].舒文，馬健，譯.上海：上海三聯(lián)書店，2020： 197-198.