分子黏性對(duì)解析湍流壁面函數(shù)的影響

王新光, 陳琦, 萬(wàn)釗, 高曉成, 燕振國(guó)

(1.空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川 綿陽(yáng) 621010; 2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 計(jì)算所, 四川 綿陽(yáng) 621000)

0 引言

高超聲速湍流邊界層模擬時(shí),如需精確模擬壁面摩阻和熱流,要求壁面網(wǎng)格足夠密,通常無(wú)量綱壁面距離y+≈1,導(dǎo)致壁面附近網(wǎng)格驟增,使得計(jì)算收斂速度變慢,同時(shí)還會(huì)影響數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性。因此,主流商業(yè)軟件例如Fluent和CFD++,對(duì)工程外形進(jìn)行湍流模擬時(shí)通常使用壁面函數(shù),大幅放寬壁面網(wǎng)格尺度,以提高計(jì)算效率。

壁面函數(shù)最初基于Prandtl混合長(zhǎng)度理論和若干假設(shè),得到不可壓縮湍流邊界層內(nèi)的相似解[1],在湍流計(jì)算中通過(guò)引入壁面函數(shù)達(dá)到提高粗網(wǎng)格氣動(dòng)力預(yù)測(cè)精度的目的[2]。在標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[3]通過(guò)對(duì)摩擦速度構(gòu)造局部迭代實(shí)現(xiàn)壁面函數(shù)在超聲速流動(dòng)中的應(yīng)用,其中在復(fù)雜外形氣動(dòng)力預(yù)測(cè)中可有效提高粗網(wǎng)格的預(yù)測(cè)精度。此外,通過(guò)添加壓力梯度[4]、旋轉(zhuǎn)修正[5]、可壓縮性和壁面?zhèn)鳠嵝?yīng)[5]等影響,進(jìn)一步擴(kuò)展了壁面函數(shù)在可壓縮湍流邊界層中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]通過(guò)使用Crocco-Busemann溫度方程,添加可壓縮性對(duì)壁面函數(shù)的影響,并將速度和溫度壁面函數(shù)耦合求解,發(fā)展了適用于可壓縮湍流邊界層的壁面函數(shù)。國(guó)內(nèi)學(xué)者[7-8]將這種壁面函數(shù)耦合到了k-ω(k表示湍動(dòng)能,ω為比耗散率)兩方程模型中,對(duì)于無(wú)量綱壁面距離y+<100范圍,取得滿(mǎn)意的結(jié)果。文獻(xiàn)[9]比較了兩方程k-ωSST、線性Launder-Sharmak-ε(ε表示湍動(dòng)能耗散率)模型(LS)k-ε和非線性k-ε模型在超聲速和高超聲速流動(dòng)中的應(yīng)用,比較發(fā)現(xiàn)上述k-ω和k-ε模型的結(jié)果是類(lèi)似的。文獻(xiàn)[10-11]基于文獻(xiàn)[6]中的壁面函數(shù),使用數(shù)值實(shí)驗(yàn)和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)開(kāi)展了修正研究,通過(guò)對(duì)速度、溫度的壁面函數(shù)修正來(lái)提高其預(yù)測(cè)精度。目前大多壁面函數(shù)研究的適用性?xún)H針對(duì)湍流邊界層,對(duì)于存在分離和再附等逆壓梯度的復(fù)雜流動(dòng),適用性仍無(wú)法確定[12-14]。

近年來(lái)發(fā)展的解析壁面函數(shù)[15]對(duì)于存在分離的流動(dòng)表現(xiàn)良好[16-18]。文獻(xiàn)[19]考慮壁面網(wǎng)格內(nèi)對(duì)流項(xiàng)變化和能量方程中黏性耗散項(xiàng)的影響,發(fā)展了適用于可壓縮流動(dòng)解析壁面函數(shù)(MAWF),通過(guò)二維超聲速激波邊界層干擾算例進(jìn)行驗(yàn)證,數(shù)值結(jié)果表明發(fā)展的可壓縮修正解析壁面函數(shù)消除了原始解析壁面函數(shù)的非物理振蕩,且大幅提升了壁面函數(shù)壁面熱流的預(yù)測(cè)精度,接近密網(wǎng)格低雷諾數(shù)模型結(jié)果,且可節(jié)約大量計(jì)算時(shí)間,文中馬赫數(shù)為5的算例其計(jì)算時(shí)間僅為密網(wǎng)格的5%。

可壓縮湍流邊界層直接數(shù)值模擬(DNS)結(jié)果[20]和標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)相比,當(dāng)來(lái)流馬赫數(shù)較小時(shí)標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)依然適用,與DNS結(jié)果吻合,但隨著馬赫數(shù)的逐漸增大,標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)和DNS之間的偏差逐漸增大,表明低雷諾數(shù)超聲速槽道湍流存在顯著的可壓縮性。對(duì)于Ma為2.48的槽道流動(dòng),在黏性底層邊緣附近y+≈10,相較于壁面參數(shù),密度減小50%,溫度增高60%。通常黏性底層內(nèi)溫度的快速變化必然導(dǎo)致流體黏性系數(shù)的變化,這一點(diǎn)對(duì)于壁面函數(shù)尤為重要。

本文基于發(fā)展的可壓縮解析壁面函數(shù),通過(guò)構(gòu)造不同的黏性系數(shù)方程,考慮密度、黏性系數(shù)等可壓縮流動(dòng)參數(shù)對(duì)無(wú)量綱壁面距離的影響,構(gòu)造了兩種不同黏性系數(shù)分布,發(fā)展了兩種適應(yīng)于高超聲速流動(dòng)的解析壁面函數(shù),以達(dá)到提高解析壁面函數(shù)粗網(wǎng)格壁面熱流預(yù)測(cè)精度的研究目的,并通過(guò)高超聲速激波邊界層干擾算例,比較不同黏性系數(shù)方程對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響,為解析壁面函數(shù)的工程化應(yīng)用起到拋磚引玉的作用。

1 可壓縮流動(dòng)無(wú)量綱壁面距離

解析壁面函數(shù)[15,19]理論中,無(wú)量綱壁面距離的定義對(duì)于解析壁面函數(shù)至關(guān)重要。原始的解析壁面函數(shù)中無(wú)量綱壁面距離的定義為

(1)

式中:ρw表示壁面密度;y為壁面距離;kP為湍動(dòng)能,下標(biāo)P表示壁面第1層網(wǎng)格點(diǎn);μw表示壁面黏性系數(shù)。

隨著馬赫數(shù)的增加,黏性底層內(nèi)溫度、密度等參數(shù)發(fā)生很大變化,文獻(xiàn)[20]中通過(guò)對(duì)可壓縮湍流邊界層的DNS結(jié)果分析,認(rèn)為可壓縮流動(dòng)中無(wú)量綱壁面距離采用當(dāng)?shù)刂迪噍^于壁面值更合適。但是壁面函數(shù)使用粗網(wǎng)格,壁面第1層網(wǎng)格內(nèi)通常包含黏性底層和全湍流層,因此一種方式是使用主網(wǎng)格計(jì)算得到的當(dāng)?shù)豍點(diǎn)的值定義無(wú)量綱壁面距離:

(2)

式中:ρP表示壁面第1層網(wǎng)格點(diǎn)密度;μP表示壁面第1層網(wǎng)格點(diǎn)黏性系數(shù)。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,這種定義方式在計(jì)算激波邊界層干擾算例時(shí)穩(wěn)定性較差,為避免類(lèi)似的問(wèn)題出現(xiàn),本文采用黏性底層邊緣處的值定義,即

(3)

式中:ρv表示黏性底層位置的邊緣密度;μv表示黏性底層位置的黏性系數(shù)。

黏性底層處的密度和黏性系數(shù)使用上一時(shí)間步的解析溫度Tv計(jì)算,即后文式(9)在黏性底層邊緣處的值計(jì)算。使用這種方式定義的無(wú)量綱壁面距離避免了數(shù)值不穩(wěn)定性,同時(shí)考慮了壁面網(wǎng)格內(nèi)流動(dòng)參數(shù)變化的影響。

2 分子黏性系數(shù)建模

隨著來(lái)流馬赫數(shù)的增加,可壓縮湍流邊界層內(nèi)溫度梯度增加(見(jiàn)圖1),圖1中δ為邊界層厚度,T為溫度,Tw為壁面溫度,Ma為來(lái)流馬赫數(shù),T∞為來(lái)流溫度,湍流邊界層來(lái)流條件可參考文獻(xiàn)[21-23]。而發(fā)展的可壓縮壁面函數(shù)[19],僅考慮壁面網(wǎng)格內(nèi)湍流黏性系數(shù)的變化,可能導(dǎo)致解析壁面函數(shù)對(duì)于高超聲速流動(dòng)的預(yù)測(cè)精度降低。

圖1 可壓縮平板湍流邊界層溫度分布

對(duì)于完全氣體,黏性系數(shù)僅是溫度的函數(shù),但直接將溫度解析表達(dá)式和黏性系數(shù)通過(guò)Sutherland公式連接后,很難得到解析的速度和溫度表達(dá)式。本文通過(guò)解析壁面函數(shù)得到黏性底層的溫度Tv,通過(guò)Sutherland公式得到黏性底層位置的黏性系數(shù)μv,并與壁面黏性系數(shù)關(guān)聯(lián),構(gòu)造黏性底層內(nèi)的黏性系數(shù)表達(dá)式。其中一種簡(jiǎn)單的思路是與壁面處μw線性連接,如圖2(a)所示。圖2中,N為壁面第2個(gè)點(diǎn),P為壁面第1個(gè)點(diǎn),S為壁面中心,μN(yùn)為N點(diǎn)的黏性系數(shù),yv為黏性底層的距離。

圖2 分子黏性系數(shù)分布示意圖

則黏性底層內(nèi)的黏性系數(shù)為

(4)

當(dāng)使用式(4)代入解析壁面函數(shù)中時(shí),會(huì)使得解析溫度的表達(dá)式更加復(fù)雜,并使得解析壁面函數(shù)的穩(wěn)定性變差[24]?？紤]到上述問(wèn)題,文獻(xiàn)[24]對(duì)不同類(lèi)型的黏性系數(shù)表達(dá)式進(jìn)行了探索研究,其中兩種方式的黏性系數(shù)表達(dá)式在數(shù)學(xué)上接近于線性表達(dá)式(見(jiàn)式(1)),但不存在線性表達(dá)式的穩(wěn)定性問(wèn)題,如圖2(b)和圖2(c)所示。

圖2(b)表示雙曲型分布:

(5)

圖2(c)表示拋物型分布:

(6)

在全湍流區(qū)使用μv,如圖2所示。在實(shí)際程序中僅需保存上一時(shí)間步的解析溫度Tv。

圖3給出了用式(5)和式(6)構(gòu)造的解析壁面函數(shù)模擬Ma=8.18的激波邊界層算例(來(lái)流條件見(jiàn)表1,其中β為激波產(chǎn)生器角度,θ0為動(dòng)量邊界層厚度,p∞為來(lái)流壓力)。干擾區(qū)前后壁面網(wǎng)格內(nèi)溫度和分子黏性系數(shù)分布,并與密網(wǎng)格LS結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,其中粗網(wǎng)格第1層網(wǎng)格高度為1.2 mm。由圖3可知,激波邊界層干擾區(qū)后黏性底層法向距離變小,且黏性底層內(nèi)溫度變化梯度更大,而全湍流區(qū)的溫度變化較小,對(duì)應(yīng)的分子黏性系數(shù),在黏性底層邊緣大約較壁面值增加了30%,其中采用式(5)的雙曲型分布時(shí),分子黏性系數(shù)呈上凸形式,采用式(6)的拋物型分布時(shí),呈下凹形式,且更接近于密網(wǎng)格低雷諾數(shù)模型結(jié)果,而壁面網(wǎng)格內(nèi)兩種分布形式解析溫度分布差異很小,幾乎可以忽略,溫度分布結(jié)果接近于密網(wǎng)格結(jié)果,而文獻(xiàn)[19]中發(fā)展的MAWF其溫度分布和密網(wǎng)格有明顯差異。

表1 Ma=8.18時(shí)2D斜激波邊界層干擾來(lái)流條件

圖3 Ma=8.18算例粗網(wǎng)格解析溫度(左)和分子黏性系數(shù)(右)分布與密網(wǎng)格低雷諾數(shù)模型結(jié)果對(duì)比

3 雙曲型分布可壓縮解析壁面函數(shù)

解析壁面函數(shù)通過(guò)對(duì)邊界層內(nèi)簡(jiǎn)化的動(dòng)量方程和能量方程進(jìn)行積分,分別得到邊界層內(nèi)速度和溫度表達(dá)式[17-19],當(dāng)黏性系數(shù)采用雙曲型分布(見(jiàn)式(5))時(shí),通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)化的動(dòng)量方程進(jìn)行兩次積分,可得到速度的解析表達(dá)式如下:

(7)

(8)

式中:常數(shù)α=0.229 5;下標(biāo)1表示黏性底層(即y

vp為第1層網(wǎng)格點(diǎn)y方向的速度,p表示壓力;系數(shù)A1、A2、B2分別為

注意到本文發(fā)展的解析壁面函數(shù)公式中bμ=0時(shí),將不考慮黏性系數(shù)的分布,使用黏性底層的μv值來(lái)代替壁面值μw,其公式與可壓縮解析壁面函數(shù)[18]相同。

對(duì)簡(jiǎn)化的能量方程進(jìn)行類(lèi)似的積分,可得到解析溫度表達(dá)式為

(9)

(10)

式中:Pr為普朗特?cái)?shù);cp為定壓比熱,cp=1 004.06 J/(kg·K);αt為常數(shù)0.193 6;Dth1、Dth2為能量方程的對(duì)流項(xiàng)系數(shù),

注意到解析溫度表達(dá)式(式(9)和式(10))和解析速度表達(dá)式(式(7)和式(8))耦合在一起,因此在程序中使用數(shù)值積分計(jì)算。這里僅給出雙曲型分布的最終表達(dá)式,拋物型的最終解析表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[25]。

4 數(shù)值結(jié)果與分析

本文使用不同來(lái)流馬赫數(shù)的激波/湍流邊界層干擾算例來(lái)驗(yàn)證考慮可壓縮流體邊界層參數(shù)變化的解析壁面函數(shù)、MAWF,與本文發(fā)展的雙曲型(hyper-MAWF)或拋物型(para-MAWF)分布解析壁面函數(shù)進(jìn)行對(duì)比。

數(shù)值計(jì)算中無(wú)黏通量使用Roe-Pike格式,黏性通量采用2階中心差分格式。粗網(wǎng)格第1層網(wǎng)格y+大約為30,湍流模型使用標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型,壁面模型采用上文描述的3種壁面函數(shù)。密網(wǎng)格第1層網(wǎng)格的y+≈1,湍流模型采用添加Yap修正[26]的LSk-ε模型。來(lái)流入口給定充分發(fā)展的湍流邊界層,具有1.5%的湍流度和黏性系數(shù)比率μT/μ=10。本文算例網(wǎng)格無(wú)關(guān)性研究表明計(jì)算結(jié)果與網(wǎng)格無(wú)關(guān),詳情可參考文獻(xiàn)[25],其中Ma=8.18算例密網(wǎng)格和粗網(wǎng)格網(wǎng)格無(wú)關(guān)性結(jié)果如圖4所示,其中Q表示熱流,Qw表示平板壁面熱流。

圖4 Ma=8.18算例網(wǎng)格無(wú)關(guān)性研究

4.1 Ma=8.18斜激波邊界層干擾

斜激波邊界層干擾作為超聲速飛行器唇口處的簡(jiǎn)化模型,斜激波以不同角度入射平板,會(huì)產(chǎn)生激波反射、分離和再附等復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象。Ma=8.18斜激波邊界層干擾[23],在激波邊界層干擾區(qū)域前局部來(lái)流條件如表1所示。由于激波產(chǎn)生器產(chǎn)生的斜激波和拐角的膨脹波對(duì)壁面均有干擾,在計(jì)算中上邊界給定激波產(chǎn)生器的壁面邊界模擬入射激波和激波產(chǎn)生器拐角的膨脹波,計(jì)算網(wǎng)格如圖5所示。

圖5 Ma=8.18算例網(wǎng)格示意圖

圖6給出了密網(wǎng)格480×210使用LS模型與粗網(wǎng)格160×60壁面函數(shù)方法湍流邊界層內(nèi)的速度和溫度分布,可見(jiàn)數(shù)值解和實(shí)驗(yàn)值基本吻合,其中密網(wǎng)格結(jié)果和實(shí)驗(yàn)值吻合較好,在湍流邊界層內(nèi)無(wú)量綱溫度呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì),粗網(wǎng)格在邊界層內(nèi)網(wǎng)格點(diǎn)較少,僅有10個(gè)點(diǎn),大致可以刻畫(huà)出邊界層內(nèi)的溫度變化。

圖6 Ma=8.18算例邊界層厚度0.94 mm位置邊界層內(nèi)速度和溫度分布

圖7給出了β=10°時(shí)算例不同位置近壁面解析溫度與密網(wǎng)格LS模型的對(duì)比,其中x分別取值25 cm和55 cm時(shí),截面位置位于激波邊界層干擾區(qū)前后,為全湍流邊界層。從圖7中可知,MAWF溫度梯度明顯較大,表明MAWF計(jì)算得到的壁面熱流值相對(duì)較大,在圖9壁面熱流分布中可對(duì)照觀察到。當(dāng)x分別取值35 cm和45 cm時(shí),即激波邊界層干擾區(qū)內(nèi),此時(shí)近壁面溫度梯度較大,本文設(shè)計(jì)的兩種壁面函數(shù)即hyper-MAWF和para-MAWF,溫度梯度相對(duì)其他兩種方法較小,對(duì)應(yīng)圖9壁面熱流在分離區(qū)內(nèi)較小。

圖7 Ma=8.18,β=10°算例解析溫度分布

圖8給出了β=10°算例不同位置近壁面解析速度分布,其中在激波干擾前后位置x=25 cm和x=55 cm處,完全湍流區(qū)處速度分布有較明顯的差異,其中MAWF解析速度梯度明顯較其他數(shù)值結(jié)果大,雖然圖6中邊界層4種數(shù)值方法計(jì)算得到的速度分布大致與實(shí)驗(yàn)相同,但由于解析速度在壁面處的梯度決定了摩阻的數(shù)值,即MAWF計(jì)算得到更大的摩阻,而本文設(shè)計(jì)的兩種壁面函數(shù)其解析速度分布幾乎重合在一起,整體速度梯度較LS和MAWF較小。

圖8 Ma=8.18,β=10°算例解析速度分布

圖9比較了Ma=8.18算例不同激波產(chǎn)生器壁面壓力、摩擦阻力Cf和熱流結(jié)果(其中Q∞表示來(lái)流熱流),相較于MAWF,考慮流體性質(zhì)的解析壁面函數(shù)得到的壁面壓力在分離區(qū)略有下降,壁面熱流在分離區(qū)顯著降低,更接近于實(shí)驗(yàn)值,兩種不同分布形式黏性系數(shù)對(duì)應(yīng)的壁面函數(shù)也出現(xiàn)差異,其中使用雙曲型分布得到的結(jié)果更低一些,相較于拋物型分布低約4%,而相較于MAWF降低了約35%。密網(wǎng)格LS結(jié)果出現(xiàn)高估壁面熱流現(xiàn)象,與文獻(xiàn)[27]中密網(wǎng)格低雷諾數(shù)模型結(jié)論一致。壁面摩阻和壁面熱流有相似的分布,除MAWF外,其他數(shù)值計(jì)算出現(xiàn)一個(gè)較小的分離區(qū)(摩阻為負(fù)),且在整個(gè)干擾區(qū)內(nèi)本文設(shè)計(jì)的兩種壁面函數(shù)計(jì)算得到的最大摩阻比LS結(jié)果小約30%,有較大差異,但本文實(shí)驗(yàn)沒(méi)有對(duì)應(yīng)的摩阻試驗(yàn)結(jié)果,暫時(shí)還無(wú)法確定壁面摩阻數(shù)值計(jì)算的精度。

圖9 Ma=8.18算例激波產(chǎn)生器5°壁面壓力(上)、摩阻(中)和熱流(下)分布

4.2 Ma=9.22壓縮拐角

壓縮拐角流動(dòng)常見(jiàn)于高超聲速飛行器控制舵面、翼面和飛行器表面之間,本文選取Ma=9.22壓縮拐角[28],計(jì)算網(wǎng)格較為簡(jiǎn)單,入口給定充分發(fā)展的湍流邊界層,來(lái)流參數(shù)如表2所示,其中Re表示雷諾數(shù)。其中低雷諾數(shù)模型使用的密網(wǎng)格為240×150,壁面函數(shù)使用的粗網(wǎng)格為180×80。其中密網(wǎng)格壓縮拐角角度β分別取值15°和32°時(shí)的馬赫數(shù)云圖如圖10所示,從中可知隨著馬赫數(shù)的增大,壓縮拐角產(chǎn)生的斜激波逐漸增強(qiáng),與來(lái)流湍流邊界層之間的干擾加劇。

表2 Ma=9.22壓縮拐角來(lái)流條件

圖10 Ma=9.22算例馬赫數(shù)云圖

圖11比較了壓縮拐角分別為15°、32°、34°和38°時(shí)不同模型的壁面熱流分布,其中橫坐標(biāo)S表示距離拐角處的位置(cm),低雷諾數(shù)LSk-ε模型高估了壁面熱流,當(dāng)壓縮拐角38°時(shí)最大熱流幾乎是實(shí)驗(yàn)值的3倍。文獻(xiàn)[29]使用LSk-ε模型和Wilcoxk-ω模型,文獻(xiàn)[30]使用Rodik-ε模型模擬了34°壓縮拐角。這3種低雷諾數(shù)模型均嚴(yán)重高估了壁面熱流值。MAWF也返回較高熱流值,在壓縮拐角上接近于LS模型結(jié)果,均高于實(shí)驗(yàn)值,而本文發(fā)展的兩種壁面函數(shù)均給出合理的壁面熱流值,更接近于試驗(yàn)結(jié)果,兩種黏性系數(shù)數(shù)值結(jié)果差異較小,在5%之內(nèi),且雙曲型分布更接近于實(shí)驗(yàn)值。

圖11 Ma=9.22壓縮拐角壁面熱流

5 結(jié)論

本文基于高超聲速湍流邊界層特征,使用解析溫度計(jì)算黏性底層邊緣密度和黏性系數(shù),重新定義了無(wú)量綱壁面距離,并構(gòu)造了雙曲型和拋物型兩種黏性系數(shù)方程,將黏性底層內(nèi)快速的速度梯度變化考慮到解析壁面函數(shù)中,構(gòu)造了拋物型解析壁面函數(shù)para-MAWF和雙曲型解析壁面函數(shù)hyper-MAWF,通過(guò)高超聲速邊界層干擾算例對(duì)構(gòu)造的壁面函數(shù)進(jìn)行了測(cè)試,并與低雷諾數(shù)LS和MAWF數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。得出主要結(jié)論如下:

1)對(duì)于高超聲速算例,本文構(gòu)造的解析壁面函數(shù)預(yù)測(cè)的壁面熱流結(jié)果更接近試驗(yàn)結(jié)果,密網(wǎng)格LS模型和MAWF數(shù)值結(jié)果在激波邊界層干擾區(qū)均出現(xiàn)高估熱流現(xiàn)象。

2)本文構(gòu)造的兩種不同黏性系數(shù)表達(dá)式,數(shù)值模擬結(jié)果差異較小,在5%之內(nèi),其中雙曲型分布預(yù)測(cè)的壁面熱流更接近于實(shí)驗(yàn)值。

3)本文構(gòu)造的解析壁面函數(shù)預(yù)測(cè)的速度、溫度和黏性系數(shù)分布更接近于密網(wǎng)格結(jié)果,而MAWF未考慮黏性系數(shù)分布,因此黏性系數(shù)和密網(wǎng)格之間差異較大。

整體來(lái)看,本文構(gòu)造的解析壁面函數(shù)相較于MAWF壁面熱流的預(yù)測(cè)結(jié)果更加精確,在干擾區(qū)甚至顯示出優(yōu)于密網(wǎng)格LS模型的預(yù)測(cè)結(jié)果,且壁面函數(shù)采用粗網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值模擬,可顯著節(jié)約計(jì)算時(shí)間[19]。由于兩種壁面函數(shù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果差異較小,且形式上雙曲型更為簡(jiǎn)單,對(duì)于高超聲速算例更推薦使用雙曲型分布的解析壁面函數(shù)。