高速鐵路0.01～120 m波段軌道不平順功率譜密度函數(shù)的構建

陳憲麥 ，董春敏，魏子龍，李賽，楊飛，孫憲夫

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410075；2.高速鐵路建造技術國家工程研究中心，湖南 長沙，410075；3.中國鐵道科學研究院集團有限公司 基礎設施檢測研究所，北京，100081)

軌道不平順是輪軌系統(tǒng)的激擾源，是引起機車車輛產生振動和輪軌動作用力的關鍵因素，對列車的行車安全性、平穩(wěn)性、車輛和軌道部件的壽命、養(yǎng)護維修以及周邊環(huán)境品質等都產生不利影響。軌道不平順的隨機性特征決定了只能用隨機振動理論相關統(tǒng)計函數(shù)來描述軌道不平順的特征。功率譜密度函數(shù)為最常用的隨機振動理論相關統(tǒng)計函數(shù)之一。各項不平順的功率譜密度(PSD)函數(shù)也稱為軌道譜，它可以反映出線路的隨機特性和周期性成分。國外學者對軌道譜的研究起步較早，英國在1964 年便開展了對軌道不平順的測試研究，得到各項軌道譜。之后，法國、日本、美國、德國等也提出適用于自己國家的軌道譜。但軌檢車所測得的軌道譜波長范圍為幾米到百余米，一般只能滿足低頻振動分析。列車在高速行駛條件下，短波不平順作為輪軌力的主要影響因素，是產生噪聲的根源之一[1]，為此，研究者對短波不平順進行了研究。SATO[2]在研究高頻振動時，將計算輪軌表面實測短波不平順數(shù)據(jù)所得不平順譜進行簡化，提出了與輪軌表面粗糙度系數(shù)相關聯(lián)的短波譜。我國軌道譜的研究從20世紀60年代開始，目前已測量并公布多個典型軌道譜。長沙鐵道學院隨機振動研究室[3]分析了京廣線三次測定結果，提出了Ⅰ級鐵路干線軌道不平順特征函數(shù)的表達式。王瀾[4]對我國石太線的軌道垂向短波不平順進行了實測，提出了我國50 kg/m鋼軌線路垂向短波不平順譜。羅林等[5]對我國干線軌道不平順功率譜進行了分析，提出了我國主要干線和不同軌道結構、質量狀態(tài)以及曲線、橋梁、焊縫等特殊地段的軌道譜。楊文忠等[6]采用文獻[5]中干線7參數(shù)擬合公式對滬杭線實測不平順進行了擬合，并與長沙鐵道學院軌道譜[3]進行了對比。陳憲麥等[7-8]分析了秦沈客運專線軌道不平順檢測結果，提出了秦沈客運專線軌道譜及其評判方法。陳憲麥等[9]計算分析了京廣、京哈、京滬等共12 條線路的軌道譜，提出了用于表征我國干線鐵路軌道不平順特征的軌道譜。田國英等[10]利用聯(lián)調聯(lián)試期間0 號綜合檢測列車和GJ-5 型軌檢車的大量軌道不平順檢測結果，提出了武廣高速鐵路無砟軌道譜。徐磊等[11-12]分析了滬寧線和朔黃重載鐵路軌道不平順實測結果，分別提出了時速350 km 滬寧客運專線軌道不平順譜和朔黃重載鐵路軌道不平順譜?；诰┙颉⑽鋸V、鄭西、滬杭、滬寧、京滬等高速鐵路軌道不平順檢測數(shù)據(jù)，我國于2014年提出了高速鐵路無砟軌道不平順譜[13]。陳憲麥等[14]分析了青藏鐵路軌道不平順實測結果，采用Levenberg—Marquardt法及文獻[5]中干線譜公式統(tǒng)計平均值譜并進行擬合。余翠英等[15]計算分析了京滬和哈大高速鐵路軌道不平順譜，并采用高速鐵路無砟軌道不平順譜進行擬合。高望翰等[16]分析了某高速鐵路高低不平順實測數(shù)據(jù)，提出了功率譜密度的7階多項式擬合譜模型。郝曉莉等[17]計算并分析了大秦和朔黃重載鐵路2～70 m 波長范圍內的軌道不平順譜特征，提出了重載鐵路軌道不平順譜。但不同的不平順譜有各自的速度或線路等級，對應不同的波長范圍，如中國高速鐵路無砟軌道高低、軌向譜的檢測波長范圍為1.5～120.0 m。從目前已知的軌道譜可以看出，即使速度等級相同，其軌道譜表達形式也不同，且已知的軌道譜對其他線路的適用性較差?，F(xiàn)有軌道譜形式差異性大，且多以某一頻段(如短波、中波或中長波)為主，對更寬頻帶(如包含短、中、長波段的波段可以簡單稱為“全波段”)軌道譜研究較少，在高速行車條件下，短波激擾不容忽視，對全波段軌道譜的研究非常必要。為此，本文作者基于波磨小車與綜合檢測列車測得的高速鐵路軌道(面)不平順結果，對數(shù)據(jù)進行預處理，分別計算并分析線路的功率譜密度，并對周期成分進行分析；對所計算的軌道譜進行統(tǒng)計分析，求得中位譜；對中位譜進行擬合，提出短波、中長波頻段和全波段的軌道譜表達式；將本文提出的擬合譜與既有譜進行對比，對線路狀態(tài)進行評判。

1 軌道不平順數(shù)據(jù)及預處理

1.1 短波不平順數(shù)據(jù)

本文所分析的高鐵短波不平順數(shù)據(jù)的有效檢測波長范圍為10～1 000 mm，測試區(qū)段設計速度為250 km/h，基礎結構為路基與橋梁(無隧道)的有砟軌道結構。采樣頻率為2 mm/點，檢測數(shù)據(jù)包含左、右軌面高低不平順，濾波波長分段為[10，30)、[30，100)、[100，300)和[300，1 000] mm。

1.2 中長波不平順數(shù)據(jù)

中長波不平順數(shù)據(jù)為2019 年某高鐵線路實測數(shù)據(jù)，該線路基礎結構為無砟軌道，時速為300 km。每個季度檢測2次，全年上、下行共有16次檢測數(shù)據(jù)。檢測數(shù)據(jù)主要為軌道幾何形位數(shù)據(jù)，采樣頻率為0.25 m/點。

1.3 數(shù)據(jù)預處理

軌道不平順的測量設備受自身和外界因素的影響，在某些區(qū)段有異?；蚴д娴默F(xiàn)象，因此，需要對軌道不平順數(shù)據(jù)進行預處理，剔除異常數(shù)據(jù)。目前，軌道不平順數(shù)據(jù)預處理主要包含剔除異常值、消除趨勢項和檢驗平穩(wěn)性等。此外，對于短波不平順數(shù)據(jù)，需要處理程序中出現(xiàn)的“NAN”問題。

對于異常值，按文獻[18]中規(guī)則進行剔除。以高低不平順為例(見圖1)，采用該方法可有效剔除異常值。

圖1 軌道高低不平順異常值Fig.1 Abnormal data of track longitudinal irregularity

此外，在分析軌道不平順的數(shù)據(jù)時，通常要消除軌距和水平2項不平順的趨勢項。本文僅對高低和軌向不平順進行分析，不需要消除趨勢項。

在進行譜分析前，對數(shù)據(jù)按照文獻[19]提出的輪次法進行平穩(wěn)性檢驗。首先，將軌道不平順序列平均分布，并計算各等份的均值；其次，計算數(shù)據(jù)整體的均值；第三，按文獻[19]中的方法計算輪次數(shù)r；最后，根據(jù)不同情況判斷數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。以左高低不平順為例，將其分為26 等份，并計算各等份均值，與整體均值進行比較(見圖2)，可以求得輪次數(shù)r=16。根據(jù)文獻[19]，當?shù)确輸?shù)N=26，顯著水平α取0.05時，若輪次數(shù)滿足7 ＜r＜18，則為平穩(wěn)數(shù)據(jù)，因此，本文分析數(shù)據(jù)為平穩(wěn)數(shù)據(jù)。

圖2 輪次法平穩(wěn)性檢驗Fig.2 Stability test of Lunci method

2 軌道不平順譜的分析計算

采用平均周期圖法分析功率譜密度。窗函數(shù)采用余弦矩形窗，軌道譜的計算長度參照規(guī)范[13]，按表1取值。

表1 軌道譜計算長度與最大波長對應關系Table 1 Relationship between calculation length of power spectral density of track irregularity and maximum wavelength

采用數(shù)據(jù)預處理方法和實測譜計算方法，分別對短波和中長波實測數(shù)據(jù)的功率譜密度進行估計，并對其周期性成分進行分析。

2.1 短波不平順譜特征分析

短波不平順功率譜密度見圖3。由圖3可知：

圖3 短波不平順功率譜密度Fig.3 Power spectral density of shortwave track irregularity

1) 在波長[10，30) mm范圍內，功率譜密度曲線存在多處尖峰值，對應波長為11、14、22和25 mm，多與波磨有關。

2) 在波長[30，100) mm范圍內，同樣存在多個周期成分，對應敏感波長為33、40、50和64 mm。

3) 在波長[100，1 000] mm 范圍內，功率譜曲線較平穩(wěn)，主要體現(xiàn)隨機特性。

2.2 中長波不平順譜特征分析

高鐵線路左高低、右高低、左軌向、右軌向、中心高低和中心軌向的軌道不平順功率譜密度見圖4。從圖4可知：

圖4 中長波不平順功率譜密度Fig.4 Power spectral densities of medium-long wave track irregularity

1) 左高低不平順和右高低不平順功率譜密度隨著波長的變化基本一致，這說明左、右高低不平順相似，與實際情況一致，且中心線路高低不平順和單軌的高低不平順波長特性相同?？傮w上，譜線存在12 個周期性成分，所對應的波長分別為1.06、1.30、1.70、2.50、3.20、4.00、5.00、6.60、8.00、10.00、20.00和33.00 m。其中，不同波長的周期成分對應不同的形成因素，如波長在2 m 以下，大多對應鋼軌在焊接時接頭焊接不好或者軌枕的間隔不均勻等因素；33 m(及其5 m、8 m、10 m倍頻)與32 m簡支梁形成的不平順相關[20]。該路段采用CRTSII 型板式無砟軌道結構，結構長×寬×高為6 450 mm×2 550 mm×200 mm，因此，3.2 m 和6.6 m 的波長的周期性成分與1/2 軌道板長度和軌道板長度相關。

2) 左軌向不平順和右軌向不平順的功率譜密度隨波長的分布基本一致，說明在實際中，左右軌的平順狀態(tài)基本相同，且中心線路軌向不平順譜與單軌的軌向不平順譜特征相同。對3條譜線來說，波長在8 m以上的功率譜密度曲線較平滑，主要由隨機成分構成。而1～8 m的波長范圍內譜線有明顯周期性波長，如1.05、1.30、1.60、3.00 和6.00 m等，其中，6.00～8.00 m可能與鋼軌在軋制、運輸與鋪設過程中產生的硬彎等有關。

2.3 中長波不平順的分位譜

參考文獻[21]中的譜分級方法，針對中長波不平順譜16個樣本，包括左高低、右高低、左軌向、右軌向、中心高低和中心軌向，采用統(tǒng)計學中四分位數(shù)法，得到25%、50%和75%樣本以及下、上包絡線，并選取50%樣本即中位譜作為建議值，采用非線性最小二乘法進行擬合(見圖5)。

圖5 左軌向不平順功率譜密度百分位譜Fig.5 Percentile power spectral densities of left track alignment irregularity

3 軌道不平順譜的擬合分析

3.1 擬合思路

計算獲得的軌道不平順功率譜由離散的數(shù)據(jù)點組成，包含寬帶成分和周期成分，無法用確定的函數(shù)式來表達，需要采用擬合的處理方法獲取其近似的函數(shù)表達式。既有研究提出了很多類型的擬合函數(shù)式，我國高速鐵路推薦使用分段表達的形式[13]，即

式中：S(f)為軌道不平順功率譜密度；f為空間頻率；A0和n為待定參數(shù)。

軌道不平順功率譜均采用雙對數(shù)坐標展示，譜線采用式(1)擬合。對式(1)兩邊取對數(shù)，得

可以發(fā)現(xiàn)，在雙對數(shù)坐標中，以式(1)為擬合公式的譜線以直線的形式呈現(xiàn)，并且為分段直線，這能很好地將每一段數(shù)據(jù)譜線表達出來，公式形式簡單，參數(shù)較少；此外，采用分段擬合的方式，擬合效果好。但式(1)人為地割裂了軌道譜函數(shù)的連續(xù)性。本文基于多項式擬合的思路，采用非線性最小二乘法進行擬合，提出針對短波、中長波乃至全波段的擬合公式。

3.2 短波不平順譜的擬合分析

根據(jù)所計算短波不平順(左高低和右高低)功率譜密度，構造如下擬合公式：

式中：Ss(λ)為短波不平順功率譜密度；λ為波長，，f為空間頻率，即波長的倒數(shù)；A、B和C為軌道短波不平順功率譜函數(shù)的特征系數(shù)。根據(jù)式(3)，短波不平順譜擬合結果如圖6所示。

圖6 短波不平順軌道譜擬合Fig.6 Power spectral density fitting of shortwave track irregularity

由圖6可知在[0.01，1) m波長范圍內，所提出的擬合公式可以很好地反映其變化趨勢。各特征系數(shù)見表2。

表2 短波不平順軌道譜特征系數(shù)Table 2 Characteristic coefficient of power spectral density of short-wave track irregularity

3.3 中長波不平順譜的擬合分析

目前軌檢車的檢測頻率為4點/m，雖然其測量有效波長范圍為1.5～120 m，但據(jù)每米4 個點的采樣數(shù)據(jù)可以粗略地勾勒出1 m波長的波形輪廓，可以將其分析波長延拓到1～120 m，也便于整合0.01～1 m 波段的短波不平順，構造更寬波段范圍(0.01～120 m)的軌道譜。因此，本節(jié)中長波不平順譜的波長計算范圍延拓到1～120 m，擬合公式如下：

式中：Sml(λ)為軌道中長波不平順功率譜密度；A～D為軌道中長波不平順功率譜函數(shù)的特征系數(shù)。

按式(4)，對高低和軌向4 項不平順和中心高低、中心軌向2 項不平順功率譜中位譜進行擬合，結果如圖7所示。

圖7 中長波不平順軌道譜擬合Fig.7 Power spectral density fitting of medium-long wave track irregularity

由圖7可知在1～120 m的波長范圍內，式(4)可精確地對所計算的軌道不平順功率譜密度進行擬合。

按式(4)得出的中長波不平順中位譜各擬合特征系數(shù)如表3所示。

表3 中長波不平順軌道譜特征系數(shù)Table 3 Characteristic coefficient of power spectral density of medium-long wave track irregularity

由圖7可知，左高低和右高低功率譜的特征非常相近，但不平順譜的擬合特征系數(shù)相差較大(表3)，對于軌向不平順也有相同的結論。因此，可以采用式(4)和表3中參數(shù)對軌道譜中長波進行擬合。式(4)僅僅含4個參數(shù)，表達形式簡潔。

3.4 全波段不平順譜的構建

目前所提出的各類軌道譜均有其波長限定范圍，如王瀾[4]建議的短波譜有效波長范圍為[0.01，1) m。針對本文不同波長的不平順擬合公式，雖然短波譜和中長波譜數(shù)據(jù)來源分別為有砟軌道和無砟軌道，但時速分別為250 km 和300 km，從速度等級的角度考慮，將其進行統(tǒng)一，提出0.01～120 m的軌道不平順譜，表達形式為

式中：Sf(λ)為軌道全波段不平順功率譜；A，B，…，G分別代表全波段軌道不平順功率譜函數(shù)的7個特征系數(shù)。

采用式(5)對波長范圍為0.01～120 m 的功率譜密度函數(shù)進行擬合，結果如圖8所示。

圖8 0.01～120 m軌道譜擬合Fig.8 Power spectral density fitting of track irregularity of 0.01-120 m waveband

由圖8 可知在波長0.01～0.45 m 和0.90～120 m范圍內譜線擬合良好，在0.45～0.90 m 范圍擬合有些偏差。經(jīng)分析可知，在波長0.50 m 處，功率譜密度存在1個較大值；其次，在0.45 m處出現(xiàn)1個嚴重不規(guī)則拐點，使得在擬合上出現(xiàn)偏差。

按式(5)進行的全波段不平順譜的擬合特征系數(shù)如表4所示。

表4 0.01～120 m軌道譜特征系數(shù)Table 4 Characteristic coefficient of power spectral density of track irregularity of 0.01-120 m waveband

4 軌道不平順譜的對比分析

4.1 短波不平順譜

為了進一步對比分析本線路的特性，根據(jù)本文提出的短波不平順譜的擬合公式與SATO[2]建議的3 m 以下的短波譜和王瀾[4]建議的50 kg/m 鋼軌的短波不平順譜進行對比分析。其中，SATO[2]建議短波譜中輪軌表面粗糙度系數(shù)的取值參考文獻[22]中采用“黃金分割法”對180 km/h線路進行反演所得結果，即3.15×10-7，結果如圖9所示。

圖9 短波軌道不平順譜比較Fig.9 Comparison of power spectral density of shortwave track irregularity

由圖9 可知：SATO[2]建議短波譜和50 kg/m 鋼軌線路短波譜均為直線，且趨于平行。而本文擬合譜為1 條向下凹的曲線，位置介于SATO[2]建議短波譜和50 kg/m鋼軌線路短波譜之間，且其弦與兩者近似平行。

從譜線位置看，SATO[2]建議短波譜位置最低，本文擬合譜次之，因此，SATO[2]建議短波譜線狀態(tài)最好。

4.2 中長波不平順譜

將本文提出的中長波不平順(波長取1～120 m)擬合譜與德國低干擾譜[5]、中國高速鐵路無砟軌道譜[13]和武廣高速鐵路譜[10]進行對比，結果如圖10所示。

圖10 中長波軌道不平順譜比較Fig.10 Comparison of power spectral density of medium-long wave track irregularity

由圖10可知：對于高低不平順譜(圖10(a)和圖10(b))，在波長2 m 以下范圍內接近于德國低干擾譜，其余波長范圍低于德國低干擾譜；在波長7 m以上時，譜線更接近于中國高速鐵路無砟軌道譜，但整體均高于中國高速鐵路無砟軌道譜；對于軌向不平順譜(圖10(c)和圖10(d))，在整個波長范圍內，譜線均高于中國高速鐵路無砟軌道譜和武廣高速鐵路譜；當波長在2 m以下時，譜線高于德國低干擾譜；在波長大于7 m時，譜線接近于中國高速鐵路無砟軌道譜?？傮w來說，擬合譜接近于中國高速鐵路無砟軌道譜。

5 結論

1) 短波不平順的周期性成分與波磨和鋼軌接頭相關；中長波不平順范圍內存在多個周期性成分，與32 m簡支梁不平順、CRTSII型板式無砟軌道結構以及鋼軌在軋制、運輸與鋪設過程中產生的硬彎等有關。

2) 提出了高速鐵路短波、中波、中長波和全波段的軌道譜擬合公式，譜線擬合效果好；與中國高速鐵路無砟軌道譜擬合公式相比，不需要進行分段處理，沒有破壞軌道譜函數(shù)的連續(xù)性，使應用更加簡便；此外，本文所構建的軌道譜表征函數(shù)形式簡單，擬合效果好，參數(shù)少，適用性強。

3) 短波不平順譜線位置介于SATO建議短波譜和50 kg/m鋼軌線路短波譜之間，說明線路平順狀態(tài)介于這兩者之間；中長波軌道譜整體上接近于中國高速鐵路無砟軌道譜，說明線路平順狀態(tài)相近。