關(guān)于貝葉斯公式及其實(shí)際應(yīng)用

趙明睿

（蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術(shù)大學(xué) 基礎(chǔ)教學(xué)部，甘肅 蘭州）

引言

關(guān)于條件概率計算問題是日常生活中常常會遇到的現(xiàn)實(shí)問題，要想解決這些問題并不容易，而貝葉斯公式正是為這些復(fù)雜的條件概率問題應(yīng)用而生的，主要思路是復(fù)雜問題簡單化。在使用貝葉斯公式計算復(fù)雜事件的概率時最重要的一步是是要找到樣本空間的合適劃分（完備事件組），用全概公式求出復(fù)雜事件的概率，再結(jié)合條件概率定義式和乘法公式得到所求復(fù)雜條件概率。本文主要給出全概率公式及貝葉斯公式在疾病診斷、產(chǎn)品檢驗(yàn)和信號估計這三個方面的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)了貝葉斯公式在實(shí)際應(yīng)用中的重要性。

本文主要是借助貝葉斯公式對于修正先驗(yàn)概率的應(yīng)用。對于貝葉斯公式的介紹，很多教材講得都比較少，并且所舉的例子也是比較簡單的，本文主要是對教材的講解給予擴(kuò)充和加深，同時體現(xiàn)了貝葉斯公式還有一個很好的用處就是對那些看似正確的結(jié)論可以進(jìn)行理論檢驗(yàn)。

1 貝葉斯公式

定義1[1-2]（樣本空間的劃分）若事件組B1，B2，…，Bn，滿足以下兩個條件：

(1) B1，B2，…，Bn，兩兩不相容;

則稱B1，B2,…，Bn為一個完備事件組。

定理1 (全概率公式)設(shè)B1，B2，…，Bn是樣本空間的一個完備事件組，A 是一個事件，當(dāng)P（A）＞0，P（Bj）＞0，j=1，2，…，n，則

證明：因?yàn)?/p>

所以，上述等式兩邊求概率可得：

再根據(jù)乘法公式，就有：

全概率公式體現(xiàn)了“各個擊破，分而食之”的解題策略，是在已知原因發(fā)生的概率，去求結(jié)果發(fā)生的概率，即是“知因求果”的過程。

定理2（貝葉斯公式）設(shè)B1，B2，…，Bn是樣本空間的一個完備事件組，A 是一個事件，當(dāng)P（A）＞0，P（Bj）＞0，j=1，2，…，n，則

此公式成為貝葉斯公式。

證明：根據(jù)全概公式得：

由條件概率的定義式得：

再由乘法公式得：

使用貝葉斯公式的基本思路是首先根據(jù)加法公式把復(fù)雜事件的概率化為多個簡單事件的概率的和，再根據(jù)乘法公式得出在已知復(fù)雜事件作為結(jié)果已經(jīng)發(fā)生的情況下，其中某個原因發(fā)生的條件概率，也就是所謂的“后驗(yàn)概率”，即是“知果索因”的過程。

2 貝葉斯公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用

利用貝葉斯公式，導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生的諸多原因發(fā)生的概率可以根據(jù)已經(jīng)發(fā)生的結(jié)果來求得，即“知果索因”的過程。在應(yīng)用過程中，需要先分析導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生的諸多原因，這些原因就自然而然是完備事件組，同時，找到在這些原因下結(jié)果發(fā)生的概率，最后把這些概率加起來，就會得到該結(jié)果發(fā)生的概率，然后利用條件概率的計算公式，得到在已知結(jié)果發(fā)生的條件下，所要探求的原因發(fā)生的條件概率。接下來，我們研究貝葉斯公式分別在傳染病診斷，產(chǎn)品檢驗(yàn)和信息篩查這些領(lǐng)域中的應(yīng)用過程。在應(yīng)用時，首先需要找到一個恰當(dāng)?shù)耐陚涫录M，然后再利用貝葉斯公式求得所需條件概率。

2.1 疾病的診斷

眾所周知，醫(yī)生對疾病的有效控制，首先是確定疾病。而在對患者進(jìn)行疾病診斷的過程是很復(fù)雜的，這時可以運(yùn)用貝葉斯公式能夠簡化化驗(yàn)過程，能夠達(dá)到較快地治愈患者的作用[3]。具體過程，樣本空間是疾病的致病細(xì)菌全體，假設(shè)疾病是肝癌和美國艾滋病，具體使用貝葉斯公式進(jìn)行診斷的過程如下例。

例1 診斷肝癌可以選擇用甲胎蛋白法，被檢驗(yàn)者患肝癌記為A 事件，判斷被檢驗(yàn)者患肝癌記為B 事件。已知P（B|A）=0.95，P（B|A）=0.90，P（A）=0.000 4。如果已有一位患者被診斷為患肝癌，由于診斷會存在誤差，要求計算此人真的患肝癌的概率P（A|B）。

解：由題知：

根據(jù)貝葉斯公式可得：

題中已知的患肝癌的概率0.4% 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗(yàn)概率，而再檢查結(jié)果為陽性的條件下真正患肝癌病的概率0.323 叫做后驗(yàn)概率，是對先驗(yàn)概率的校正。

例2 已知某種艾滋病的血液測試呈陽性的概率是95%，由于檢測會有誤差，健康的人檢測為陽性的概率是1%。已知美國約有1/1000 的人患有這種艾滋病。為了預(yù)防這種疾病的快速傳播，一些專家們提出建議新婚夫婦將這項(xiàng)檢測加入婚檢中，但是該方案提出后，出現(xiàn)了很多質(zhì)疑，用貝葉斯公式來解釋原因。

解：記A =｛測試的結(jié)果呈現(xiàn)陽性反應(yīng)｝, B =｛某人被確診成了艾滋病患者｝,則由題知：

根據(jù)全概公式得：

再根據(jù)貝葉斯公式可得：

2.2 在產(chǎn)品檢驗(yàn)中的應(yīng)用

在實(shí)際的產(chǎn)品生產(chǎn)過程中，一批產(chǎn)品被生產(chǎn)出來之后，檢驗(yàn)人員會在出廠前進(jìn)行一次抽樣檢查，檢查合格后才會被允許發(fā)貨，于此同時賣家收到貨之后，還會再進(jìn)行簡單的驗(yàn)貨，因此想要保證賣家的驗(yàn)貨合格，廠家就得對檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，作一定的概率計算，這里就可以使用到貝葉斯公式。

例3 某公司有兩種生產(chǎn)方案生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品，已知方案1 生產(chǎn)的占總的40%，方案2 生產(chǎn)的占總的60%，方案1 和方案2 的次品率分別為0.3%和0.1%，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1 件，測試為次品，問此次品是哪種方案生產(chǎn)出來的可能性大？

解：設(shè)B={取到次品}，A1={取到方案1 生產(chǎn)的產(chǎn)品}，A2={取到方案2 生產(chǎn)的產(chǎn)品}，則由題可知：

根據(jù)貝葉斯公式可得：

因此，方案1 可能性大。

例4 某工廠存在四個車間生產(chǎn)相同的一批完全相同的零件，已知這四個車間的產(chǎn)量依次占總產(chǎn)量的15%，20%，30%和35%，同時已知四個車間生產(chǎn)的次品率分別為0.04、0.03、0.02 和0.01.該工廠規(guī)定，若一旦發(fā)現(xiàn)了次品就一定會追究相關(guān)生產(chǎn)車間的經(jīng)濟(jì)責(zé)任?，F(xiàn)在從該工廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品中任取一件，結(jié)果是次品，但這件次品是由哪個車間生產(chǎn)的代碼已經(jīng)脫落不見了，那么，此工廠方應(yīng)該怎樣處理這件次品會比較合理？

解：設(shè)B={取到的產(chǎn)品是次品}，A1={取到的產(chǎn)品是由第i 個車間生產(chǎn)的}，i=1,2,3,4

則由題知：

根據(jù)貝葉斯公式，可得：

通過以上計算過程，得到P（A1|B）=P（A2|B）=P（A3|B）＞P（A4|B），因此，說明通過抽取得到的次品最有可能是由前三個車間生產(chǎn)的。

2.3 在信息篩查中的應(yīng)用

目前，手機(jī)已經(jīng)成為大家生活中的必需品了，而我們獲取信息的主要途徑是手機(jī)中的微信和短信。但平時手機(jī)上常常會出現(xiàn)很多的垃圾信息，好多新款手機(jī)可以過濾垃圾信息，只要從手機(jī)設(shè)置中開通此功能即可。事實(shí)上，這個功能的原理就是貝葉斯公式。

例5 若規(guī)定信息中含有“a”這個詞，就會被識別為垃圾短信，已知某款手機(jī)在一般情況下識別短信為垃圾短信的概率為0.9，信息為垃圾短信時出現(xiàn)“a”的概率為0.9，短信正常時出現(xiàn)“a”的概率為0.9，計算在出現(xiàn)“ox”這個詞的情況下短信是垃圾短信的概率。

解：設(shè)A={短信含有“ox”}，B1={短信是垃圾短信}，B2={短信不是垃圾短信}，

則由題知：

根據(jù)貝葉斯公式可得：

篩選垃圾郵件常用的方法是統(tǒng)計出每個字符串在眾多垃圾郵件中出現(xiàn)的概率，同時統(tǒng)計出每個字符在正常郵件中出現(xiàn)的概率，就可以根據(jù)貝葉斯公式計算出郵件中含某字串則為垃圾郵件的概率。

例6 已知在電子郵件當(dāng)中，一般有50%的郵件是垃圾郵件，假設(shè)在3 000 份垃圾郵件含有中敏感詞的郵件出現(xiàn)了400 次，在300 份正常的郵件中同時出現(xiàn)同樣敏感詞的有5 份郵件，求一份郵件出現(xiàn)這個敏感詞時為垃圾郵件的概率？

解：設(shè)A={郵件含有"mortgage"}，B1={短信是垃圾短信}，B2={短信不是垃圾短信},

則由題知：

根據(jù)貝葉斯公式可得：

根據(jù)這個假設(shè)，我們可以搜集得到一批垃圾郵件和一批正常郵件，通過統(tǒng)計所有郵件中包含關(guān)鍵詞的頻率，垃圾郵件的出現(xiàn)頻率和關(guān)鍵詞在垃圾郵件中出現(xiàn)的頻率。假設(shè)P（A）是垃圾郵件的出現(xiàn)頻率，P（B）是關(guān)鍵詞的出現(xiàn)頻率，那么，P（BA）就表示垃圾郵件中的關(guān)鍵詞出現(xiàn)的頻率。根據(jù)貝葉斯公式就可以推算得出P（A|B），即可得到存在特定關(guān)鍵詞時某封郵件是垃圾郵件的概率了。

3 結(jié)論

自從貝葉斯公式提出至今，它的應(yīng)用就一直非常廣泛，隨著現(xiàn)代社會的迅速發(fā)展，貝葉斯公式也將會更好的運(yùn)用于其他領(lǐng)域和更多新的領(lǐng)域。