毒素環(huán)境下水生生物持續(xù)生存的狀態(tài)反饋脈沖控制分析

張 蒙,洪久勝,李澤妤

(1. 北京建筑大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100044; 2. 北京工商大學(xué) 嘉華學(xué)院, 北京 101118)

0 引言

自20世紀中葉以來, 全球有近一半的淡水資源受到了工業(yè)和生活污水的污染, 水體中的毒素引起的生物多樣性喪失、水質(zhì)退化等生態(tài)問題已成為亟待解決的問題[1]。 水體中含有大量的毒素和污染物, 會直接或間接造成水中的動植物窒息死亡, 同時水體的富營養(yǎng)化會加速細菌和病毒的繁殖, 影響動植物的生長和發(fā)育, 破壞水生生物的良好生長環(huán)境,甚至會造成物種的滅絕[2]。 因此保護水體環(huán)境和維持水生生物多樣性是當今科學(xué)研究的熱點問題[3]。

已有很多數(shù)學(xué)模型來描述淡水生態(tài)系統(tǒng)中的水生生物之間的相互作用關(guān)系,但利用狀態(tài)反饋脈沖微分方程描述人類的調(diào)控措施對毒素環(huán)境下水生生物種群影響的文獻并不多。近些年,許多學(xué)者將狀態(tài)反饋脈沖微分方程廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中。 例如,陳蘭蓀等[4]構(gòu)建了害蟲脈沖治理模型,得出階1周期解存在性。郭紅建等[5]建立了具有物質(zhì)循環(huán)的狀態(tài)反饋脈沖模型,并證明了模型具有唯一的軌道漸近穩(wěn)定周期解。 JIANG等[6-7]對一類具有狀態(tài)反饋脈沖動力系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)研究, 豐富了脈沖動力系統(tǒng)的分岔理論。 WEI等[8-9]證明了狀態(tài)反饋脈沖模型異宿環(huán)的存在性。 這些研究逐步完善了狀態(tài)反饋脈沖系統(tǒng)的理論框架,并初步形成了半連續(xù)動力系統(tǒng)的理論體系[10-14]。

本文將建立一類毒素環(huán)境下水生生物的捕食者-食餌狀態(tài)反饋脈沖模型, 研究其動力學(xué)性質(zhì),以討論人為調(diào)控(投放及捕獲)策略對物種持續(xù)生存的影響, 最后用數(shù)值模擬對所得結(jié)論加以驗證。

1 無控制模型的建立與分析

1.1 無控制模型的建立

基于文獻[8],建立毒素環(huán)境下具有Allee效應(yīng)的捕食者-食餌模型如下:

(1)

式中:x=x(t)和y=y(t)分別表示t時刻食餌和捕食者的種群密度,L表示食餌種群的Allee效應(yīng)系數(shù),K表示食餌種群環(huán)境容納量,bxy/(1+wx)表示Holling-Ⅱ型功能性反應(yīng)函數(shù),d表示捕食轉(zhuǎn)化率,α和β分別是毒素對食餌和捕食者的影響系數(shù),e表示捕食者的自然死亡率, 且捕食者種群無法離開食餌種群而存在。所有參數(shù)均為正。

1.2 無控制模型分析

根據(jù)模型(1)的第一個方程可以得到兩條垂直等傾線x=0和

同理可得兩條水平等傾線y=0和

式中:d>(β+e)w。

顯然,模型(1)存在一個邊界平衡點E0(0,0),下面討論其他邊界平衡點和正平衡點存在性。當y=0時,由

可以得到

于是可以得到:(1)當fmax>α/a時,模型(1)有兩個邊界平衡點;(2)當fmax=α/a,模型(1)有一個邊界平衡點; (3)當fmax<α/a時,模型(1)沒有邊界平衡點。

下面只考慮fmax>α/a的情況,記兩個邊界平衡點分別E1(x1,0) 和E2(x2,0), 其中x1和x2為方程

的兩個根。由韋達定理可知兩根均為正,不妨設(shè)x1

定理1模型(1)總存在一個邊界平衡點E0(0,0); 當d>(β+e)w,fmax>α/a時存在兩個邊界平衡點E1(x1,0)和E2(x2,0),且若滿足x1

定理2如果d>(β+e)w,fmax>α/a,x1

證明記

可得到Jacobian矩陣為

式中:

易得,E0(0,0)是穩(wěn)定的結(jié)點。模型(1)在E1的Jacobian矩陣為

由x1

即det(J(E1))<0,則E1為鞍點。同理可以得到E2也為鞍點。

模型(1)在E*的Jacobian矩陣為

式中:

通過計算得到det(J(E*))>0, 若模型(1)滿足A<0且A2(1+ωx*)3-bdx*y*<0,則E*是一個穩(wěn)定的焦點。證畢。

注1下面的討論均在滿足定理1和定理2的條件下進行。

2 脈沖模型的建立與分析

為使食餌和捕食者可以持續(xù)性生存, 人們在一些情況下需要對其進行管理,管理措施有多種,這里僅考慮狀態(tài)脈沖反饋控制措施。當x≠h時,食餌、捕食者種群的演化按照模型(1)進行;當x=h時,對食餌種群進行收獲,收獲比例為p,并對捕食者種群進行投放,投放量τ為常數(shù),從而有如下具有狀態(tài)反饋脈沖控制的模型:

(2)

式中:△x=x+-x,△y=y+-y?？紤]實際的生物意義,模型(2)的參數(shù)均為正值。

2.1 異宿環(huán)的存在性

為了從理論上討論異宿環(huán)的存在性,下面僅考慮脈沖集為M={x|x=h,x*h}。假設(shè)鞍點E2的不穩(wěn)定流形為l1, 與脈沖集M相交于點C(xC,yC),鞍點E1的穩(wěn)定流形為l2,與N交于點D(xD,yD)。 由于△x=-px, 當yD>yC時,通過對無脈沖模型(1)的定性分析和模型(2)軌線的性質(zhì)可知,不穩(wěn)定流形l1和穩(wěn)定流形l2都在等傾線dx/dt=0的上方。

于是存在τ*=yD-yC,當τ=τ*使得點D恰好為點C的后繼點,即軌線弧E2C、脈沖線段CD、軌線弧DE1、E1E2和平衡點E1、E2構(gòu)成模型(2)的異宿環(huán)(如圖1所示)。 當τ>τ*時,C會脈沖到D的上方, 而后在模型(2)的作用下,向(0,0)點靠近。從l1右邊出發(fā)的解, 最終也會趨于(0,0),這表示投放量過大,捕食者和食餌食物均趨于滅絕。

圖1 模型(2)異宿環(huán)的存在性Fig. 1 The existence of Heteroclinic orbit of system (2)

注2 當yD≤yC時, 理論上存在τ*=yD-yC,當τ=τ*時,使得模型(2)存在異宿環(huán);當yD≤yC且τ>τ*時,模型的解趨于點(0,0),但此時的τ*<0,這與投放的實際意義不符。另外,這里假設(shè)初值(x0,y0)∈Ω1={x0|x0>h},只是為了從數(shù)學(xué)上說明模型異宿環(huán)的存在性。

注3 當yD>yC且τ<τ*時,模型(2)可存在階1和階2周期解,具體討論參見2.2節(jié)。

2.2 周期解的存在性和穩(wěn)定性

下面只考慮yD>yC的情況,如圖2所示,點R(xR,yR)為垂直等傾線與N的交點,點R在模型(2)的映射下與等傾線dx/dt=0交于點R′(xR′,yR′)。 當1-xR/x*≤p≤1-xR/xR′時, 脈沖集M介于x=x*和x=xR′之間。 不失一般性,令初值(x0,y0)∈Ω2={(x0,y0)|(1-p)h

圖2 模型(2)階1周期解的存在性示意圖Fig. 2 The existence of order-1 periodic solution of system (2)

定理3當yD>yC,1-xR/x*≤p≤1-xR/xR′和τ<τ*時,模型(2)存在階1和階2周期解。

證明在N上選取一點A(xA,yA),滿足00。

由于正平衡點是焦點,根據(jù)軌線的性質(zhì),在N上選取一點B(xB,yB)充分接近R點,滿足yB>yR,從B點出發(fā)的軌線在模型(2)的作用下與脈沖集交于B′(xB′,yB′),模型(2)的脈沖函數(shù)將B′映射到B″((1-p)xB′,yB′+τ)(如圖2所示),后繼函數(shù)存在兩種情況,分別為F(B)≤0和F(B)>0。

(1)當F(B)≤0時,顯然存在一點P使得F(P)=0, 即模型(2)存在階1周期解。由于該階1周期解關(guān)于x是單調(diào)的,容易證明其唯一性。

(2)當F(B)>0時,模型存在階1周期解或者階2周期解。 限于篇幅,這里略去證明過程,可參見文獻[6-7]。證畢。

定理4設(shè)(x,y)=(ξ(t),η(t))是模型(2)的一個具有周期T的階1周期解,(ξ(0),η(0))=(xp,yp),(ξ(T),η(T))=(xq,yq),若

則該階1周期解是軌道漸近穩(wěn)定的。

證明由(ξ(t),η(t))是模型(2)的一個階1周期解, 可知

ξ(0)=(1-p)h=xp,η(0)=yp,

ξ(T)=h=xq,η(T)=yq,

ξ(T+)=(1-p)h,η(T+)=yq+τ。

由類Poincaré準則[5,7],可令

A(x,y)=-px,B(x,y)=τ,φ(x,y)=x-h,

進而可得

從而有

式中

從而得到

當定理條件滿足時,由類Poincaré準則可知,模型(2)的階1周期解是軌道漸近穩(wěn)定的。證畢。

3 數(shù)值模擬

由定理3可知,模型(2)存在階1和階2周期解。選擇a=4.00,K=4.00,L=0.40,w=0.07,b=3.60,e=2.60,d=3.22,α=0.01,β=2.60,p=3/7,使用Matlab進行數(shù)值模擬,其分支圖和相圖如圖3所示。

圖3 模型(2)的周期解及分支圖Fig. 3 The periodic solutions and bifurcation of model (2)

將投放量τ作為分支參數(shù),其分支圖如圖3(a)所示。由圖3(a)可知,存在一個閾值τ0≈0.36,當τ<τ0時,模型(2)存在一個階1周期解(如圖3(b)所示,τ=0.3);當τ>τ0時,模型(2)存在一個階2周期解(如圖3(c)所示,τ=0.38)。

4 結(jié)束語

考慮環(huán)境中毒素的影響, 構(gòu)建了一類具有毒素項的食餌-捕食者模型。在無控制模型(1)的定性分析和動力學(xué)分析的基礎(chǔ)上,構(gòu)建了狀態(tài)反饋脈沖模型(2),并研究其相應(yīng)的動力學(xué)性質(zhì)。結(jié)果表明:在食餌數(shù)量達到一定閾值時,當投放捕食者τ<τ*時,食餌-捕食者模型在規(guī)定的范圍內(nèi)達到動態(tài)平衡, 可保護生物多樣性及種群的動態(tài)平衡。但是投放捕食者τ>τ*時,會導(dǎo)致捕食者缺少食物而滅絕。 這說明在人工干預(yù)維持物種持續(xù)生存時,不同的控制強度會產(chǎn)生不同的控制效果,選擇合適的控制手段十分必要。