媒體報道誘導的離散傳染病切換系統(tǒng)建模與分析

覃文杰,張嘉敏,向中義

(1. 三峽大學 理學院, 湖北 宜昌 443002; 2. 云南民族大學 數(shù)學與計算機科學學院, 云南 昆明 650504;3. 湖北民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 湖北 恩施 445000)

0 引言

傳染病危害著人類生命健康、影響著社會經(jīng)濟發(fā)展,因此人們一直以來都在與傳染病作斗爭。通過發(fā)展傳染病動力學模型來研究疾病的傳播機制[1],可為傳染病的預防和控制提供理論和數(shù)據(jù)支持,具有重要的現(xiàn)實意義。

影響傳染病傳播的因素有很多,近年來人們越來越關(guān)注媒體報道對人們行為方式的改變。在疾病暴發(fā)初期,媒體會通過網(wǎng)絡(luò)、電視、報紙等不同的渠道實時報道相關(guān)情況,人們便會自覺采取相應的預防措施來阻止和減少疾病的傳播,如出門戴口罩、少聚集、常消毒等[2]。因此國內(nèi)外學者也持續(xù)關(guān)注媒體報道對疾病傳播的影響。

2003年,RUAN等[3]用f(I)=k/(1+aI2)刻畫媒體影響,得出基本再生數(shù)R0對疾病的暴發(fā)或消除起決定性作用。2007年,LIU等[4]通過構(gòu)造傳染率βexp(a1E-a2I-a3H)來研究媒體或心理效應對傳染病的影響。2008年,CUI等[5]考慮含有媒體影響因子m的傳染率βexp(-mI),建立SEI模型來討論媒體報道對疾病傳播的影響。2013年,劉玉英等[6]構(gòu)造具有飽和性的媒體影響因子函數(shù)來刻畫媒體對傳染病感染率的影響。其他有關(guān)媒體效應的傳染病模型可見文獻[7-13]。

然而,目前基于媒體影響的傳染病模型主要集中在連續(xù)模型,對于媒體影響的離散傳染病模型還并不多見。事實上,對于某些傳播速度較慢或疾病數(shù)據(jù)收集單位不連續(xù)的情形,用離散模型來刻畫傳播規(guī)律將更為合理。本文正是基于此而建立媒體報道誘導的離散傳染病切換模型,研究媒體報道因子對傳染病傳播的影響。

1 模型的建立

在KERMACK和MCKENDRICK[14]的SIR倉室模型基礎(chǔ)上,考慮具有媒體報道影響的SIR連續(xù)模型:

(1)

式中:S=S(t)、I=I(t)、R=R(t)分別表示t時間內(nèi)易感者、感染者、恢復者的數(shù)量,b是內(nèi)稟增長率,K是環(huán)境容納量,d是自然死亡率,α是因病死亡率,γ是感染者的自然恢復率,β(I)表示疾病在媒體報道影響下的傳染率?；谖墨I[3-6],考慮媒體影響因子m,以及疾病達到暴發(fā)點時感染者數(shù)量的臨界值Ic,將其構(gòu)造為非線性飽和函數(shù):

這里所有參數(shù)都是非負數(shù)。

借助Euler離散[15-17],將模型(1)離散化,得到

(2)

由于模型(2)的前兩個方程不含Rn,故簡化模型(2)可得

(3)

通常情形下,當感染人數(shù)較少(I

(4)

然而隨著感染人數(shù)的不斷增加并達到閾值Ic時,相關(guān)媒體會持續(xù)關(guān)注此類傳染病的傳播與流行,全媒體的宣傳和報道會使公眾關(guān)注疾病的動態(tài),從而采取相應的防護措施,改變個人行為,此時模型(4)為

(5)

綜合模型(4)和(5),得到如下切換模型:

(6)

式中:

離散模型(6)是一個基于閾值控制策略的動態(tài)切換系統(tǒng),接下來將從理論和數(shù)值兩方面來研究模型(6)的動力學行為。

2 子系統(tǒng)的動力學行為

為了敘述方便,將模型(6)改寫成向量形式

(7)

式中:

I(Z)=In-Ic,Z=[Sn,In]T。

特別地,切換系統(tǒng)定義在區(qū)域G1和G2的子系統(tǒng)分別記為FG1和FG2,下面將分析研究兩個子系統(tǒng)正平衡點的存在性和穩(wěn)定性。

2.1 子系統(tǒng)FG1的動力學行為

子系統(tǒng)FG1的平衡點由如下方程決定:

R0為子系統(tǒng)FG1的基本再生數(shù),且有b-d>0。記D=b-d,M=d+α+γ。

定理1 若子系統(tǒng)FG1滿足下列條件之一:

(8)

(9)

(10)

由式(10)可得

2.2 子系統(tǒng)FG2的動力學行為

子系統(tǒng)FG2的平衡點滿足

(11)

AI2+BI+C=0,

(12)

式中:

方程(12)的判別式為

在R0>0的基礎(chǔ)上對其進行分析:

(1)當Δ=B2-4AC<0時,方程(12)不存在實根;

(2)當Δ=B2-4AC>0,即

時,考慮以下3種情況:

①若C=1-R0<0,則方程(12)必存在一個正實根;

②若C=1-R0=0,則當-B/(2A)>0時方程(12)存在唯一的正實根,當-B/(2A)≤0時不存在正實根;

③若C=1-R0>0,則當-B/(2A)>0時方程(12)存在兩個正實根,當-B/(2A)<0時不存在正實根。

定理2 若子系統(tǒng)FG2滿足如下條件:

(13)

(14)

子系統(tǒng)FG2的雅可比矩陣為

(15)

顯然,其特征方程為

P(λ)=λ2-tr(J2)λ+det(J2),

(16)

式中:

3 切換系統(tǒng)的復雜動力學行為

由于離散切換系統(tǒng)各類平衡態(tài)存在的類型比較復雜,從理論上研究系統(tǒng)的動力學行為存在很多困難,因此本節(jié)將通過數(shù)值仿真方法研究傳染病切換系統(tǒng)的復雜動力學行為,其中包括平衡點分支、單參數(shù)分支、初值敏感性和多吸引子共存等。

3.1 切換系統(tǒng)的平衡點分支分析

為了研究方便,給出切換系統(tǒng)真假平衡態(tài)的定義[19-22]:

為了研究系統(tǒng)以內(nèi)稟增長率b和閾值Ic為分支參數(shù)的平衡點分支,固定參數(shù)K=0.5,β=1.8,m=0.28,d=0.02,α=0.35,γ=0.1,如圖1所示,當b∈[0.65,2.50],Ic∈[0.1,1.5]時,離散切換系統(tǒng)存在6種情形的平衡態(tài):

圖1 系統(tǒng)以b和Ic為分支參數(shù)的平衡態(tài)分支圖Fig. 1 Equilibria’ bifurcation diagram of system for parameters b and Ic

研究結(jié)果表明:通過媒體報道策略影響傳染病的傳播,要將離散切換系統(tǒng)的最終狀態(tài)控制進入?yún)^(qū)域II-4,即兩個子系統(tǒng)都不存在真平衡態(tài),換言之,突發(fā)傳染疾病不會成為地方病,不會影響到人們的正常生產(chǎn)、生活。一定要避免區(qū)域II-1及區(qū)域II-3所示的情形發(fā)生,因為傳染疾病一旦形成地方病,將直接威脅著人們的身體健康、經(jīng)濟的發(fā)展、社會的穩(wěn)定。

3.2 單參數(shù)分支分析

為了進一步研究切換系統(tǒng)的敏感參數(shù)、關(guān)鍵參數(shù)對系統(tǒng)動力學行為的影響,本小節(jié)將分別以自然恢復率γ、傳染率β以及因病死亡率α為分支參數(shù)進行系統(tǒng)的單參數(shù)分支分析。

首先,固定參數(shù)b=2.8,K=1.8,β=0.52,m=0.8,d=0.08,α=0.25,Ic=1,以自然恢復率γ作為分支參數(shù)來研究切換系統(tǒng)的動力學行為,如圖2所示。隨著γ從0.05到0.40的不斷變化,切換系統(tǒng)經(jīng)歷了周期解分支、倍周期解分支、混沌、周期減半、周期窗口、擬周期解等復雜的動力學行為,這也表明了突發(fā)性傳染的自然恢復率在控制傳染病傳播方面起著相當重要的作用,在制定相關(guān)防控策略時一定要重點關(guān)注疾病的自然恢復率。

圖2 系統(tǒng)以γ為分支參數(shù)的分支圖Fig. 2 Bifurcation diagram of system for parameter γ

其次,固定參數(shù)b=1.8,K=3,m=0.02,d=0.3,α=0.3,γ=0.02,Ic=5,以疾病的傳染率β作為分支參數(shù)來研究切換系統(tǒng)的動力學行為,如圖3所示。當β∈[0.60,0.88]不斷變化時,切換系統(tǒng)呈現(xiàn)出穩(wěn)定解、混沌解、周期倍增解、多重穩(wěn)定解等復雜的動力學行為。這說明了傳染率對疾病的傳播有著重要影響,為了控制疾病傳播穩(wěn)定在可控的范圍內(nèi),需要采取措施降低傳染率,如增大媒體宣傳報道的力度就是間接降低疾病傳染率的有效途徑之一,這也是本文重點研究的內(nèi)容之一。

圖3 系統(tǒng)以β為分支參數(shù)的分支圖Fig. 3 Bifurcation diagram of system for parameter β

接下來,研究因病死亡率α對系統(tǒng)動力學行為的影響,以α作為分支參數(shù)來研究切換系統(tǒng)的動力學行為。固定b=1.8,K=2.8,β=0.56,d=0.08,m=0.02,γ=0.001,Ic=2,如圖4所示,隨著因病死亡率α的不斷變化,切換系統(tǒng)本身的動力學行為發(fā)生了不同的變化狀態(tài)。

圖4 系統(tǒng)以α為分支參數(shù)的分支圖Fig. 4 Bifurcation diagram of system for parameter α

在圖4 (a)(α=0.5)中,系統(tǒng)具有穩(wěn)定解;當α從0.5減小到0.2時,系統(tǒng)出現(xiàn)一個周期解,如圖4 (b)所示;當α繼續(xù)變小達到0.1或0.06時,系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌解,如圖4 (c)和圖4 (d)所示。

3.3 初值敏感性分析

除了重要參數(shù)、敏感參數(shù)對疾病傳播有著重要影響外,一定區(qū)域內(nèi)易感者和感染者的初始密度對疾病的暴發(fā)狀態(tài)也會產(chǎn)生不同的影響,本小節(jié)將系統(tǒng)研究切換系統(tǒng)在不同初值下的動態(tài)行為。

固定參數(shù)b=1.6,K=2,β=1.85,m=0.2,d=0.5,α=0.85,γ=0.09,Ic=0.36來研究初值對離散切換系統(tǒng)動力學行為的影響,如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)的初始密度對疾病控制的影響Fig. 5 The impact of initial densities of system on disease control

圖5中所示情形的初值都在切換線以下,即系統(tǒng)的感染者并未達到疾病暴發(fā)的閾值。具體而言,圖5 (a)表示在初值(0.820 8,0.246 0)下,切換系統(tǒng)感染者密度未達到疾病暴發(fā)的閾值;圖5 (b)表示在初值(0.942 3,0.208 9)下,切換系統(tǒng)感染者密度僅僅一次達到了疾病暴發(fā)的閾值,即突發(fā)性傳染疾病只暴發(fā)一次;圖5 (c)表示在初值(1.075 0,0.236 9)下,切換系統(tǒng)感染者密度兩次達到了疾病暴發(fā)的閾值,即突發(fā)性傳染疾病暴發(fā)兩次;圖5 (d)表示在初值(1.30, 0.18)下,切換系統(tǒng)感染者的密度多次達到了疾病暴發(fā)的閾值,即突發(fā)性傳染疾病多次暴發(fā)。研究表明,為了抑制疾病的暴發(fā)流行,應該適當控制易感者和感染者的初始數(shù)量,讓系統(tǒng)穩(wěn)定在子系統(tǒng)FG1中,即圖5 (a)、圖5 (b)的情形。同時,為了控制疾病暴發(fā),需要反復多次地對公眾通過媒體宣傳疾病傳播的相關(guān)知識,使得人們對疾病防護引起相當?shù)闹匾?從而改變?nèi)藗兊膫€人行為方式,達到控制疾病傳播的目的。

為了更進一步研究離散切換系統(tǒng)的初始密度對突發(fā)性傳染疾病傳播的影響,下面給出了系統(tǒng)的盆吸引區(qū)域圖,即選取參數(shù)b=0.8,K=3,β=1.85,m=0.57,d=0.5,α=0.85,γ=0.2,Ic=1.8,給出系統(tǒng)在區(qū)域S0∈[0,2.5],I0∈[0,2.5]的平面分支圖,將5個區(qū)域分別記為I、II、III、IV及V,如圖6所示。其中區(qū)域I表示疾病不會暴發(fā)為地方病;區(qū)域II表示疾病暴發(fā)一次后就不再流行;區(qū)域III表示疾病暴發(fā)二次就不再流行;區(qū)域IV表示疾病暴發(fā)三次就不再流行;區(qū)域V表示疾病會多次暴發(fā)流行。

圖6 系統(tǒng)的盆吸引域Fig. 6 Basin of attractions of system

研究表明,當感染者數(shù)量超過疾病暴發(fā)的閾值時,要加大媒體的宣傳力度、報道范圍以及報道頻率,使得公眾提高警惕并養(yǎng)成良好的預防習慣,從而使得疾病即使在暴發(fā)多次后也要穩(wěn)定于安全可控的范圍之內(nèi)。這也說明感染者和易感者的初始密度對后續(xù)疾病的流行趨勢和程度會產(chǎn)生重要的影響。

因此,為了更有效地控制疾病傳播流行,需要對易感者和感染者的密度進行實時監(jiān)控和上報。

3.4 多吸引子共存分析

由3.3節(jié)相關(guān)內(nèi)容可知,不同的初值會導致系統(tǒng)發(fā)生復雜多變的動力學行為以及致使系統(tǒng)穩(wěn)定在不同的吸引子上,這就是吸引子共存現(xiàn)象,本節(jié)將關(guān)注系統(tǒng)多吸引子共存的研究。

切換系統(tǒng)的吸引子同樣具有很強的初值敏感性,為了研究不同初始密度對共存吸引子的影響,在不同的初值狀態(tài)下選取參數(shù)b=2.8,K=1.8,β=1.2,m=0.5,d=0.08,α=0.25,γ=0.46,Ic=3,如圖7所示。圖7 (a)為切換系統(tǒng)周期解情形,圖7 (b)為系統(tǒng)擬周期解情形。很顯然,隨著時間序列的增大,圖7 (b)所示情形必將導致系統(tǒng)呈混沌狀態(tài),這必然會給疾病防控帶來一系列挑戰(zhàn)。

圖7 系統(tǒng)不同初值情形下的多吸引子共存Fig. 7 Coexisting attractors of system with different initial values

進一步,繼續(xù)研究重要參數(shù)—疾病傳染率β對系統(tǒng)多吸引子的影響,在初值(S0,I0)=(2,0.1)的情形下,固定參數(shù)b=3,K=2,m=0.1,d=0.5,a=0.85,γ=0.04,Ic=1.8,通過參數(shù)β的不斷變化,切換系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的振幅和頻率的吸引子。隨著參加β不斷增大,切換系統(tǒng)吸引子波動范圍也不斷變大,如圖8 (a)—(f)所示。研究表明,疾病傳染率在傳染病傳播中起著重要作用,防控部門可以通過媒體的宣傳和報道降低疾病傳染率,以達到有效控制傳染病傳播流行的目的。

圖8 不同參數(shù)b下系統(tǒng)的吸引子Fig. 8 The attractors of system with different parameters β

4 結(jié)語

考慮媒體報道對人們行為改變的切換效應,建立了一類由媒體效應誘導的離散傳染病切換模型。一方面,從理論上研究了模型兩個子系統(tǒng)的動力學行為,包括無病平衡點、地方病平衡點的存在性以及地方病平衡點的局部穩(wěn)定性。另一方面,通過數(shù)值方法研究了敏感參數(shù)對系統(tǒng)動力學行為的影響。研究發(fā)現(xiàn):關(guān)鍵參數(shù)的小擾動直接影響著疾病的暴發(fā)次數(shù)與頻率,同時媒體報道可以降低疾病傳染率,有效遏制疾病的流行與暴發(fā)。

事實上,決定系統(tǒng)切換的閾值相當關(guān)鍵,就目前掌握的文獻,還沒有對如何確定這個閾值進行相關(guān)的研究,這也是一個非常具有挑戰(zhàn)的問題。同時結(jié)合具體的突發(fā)性傳染疾病實例(如新型冠狀病毒感染),在媒體效應的基礎(chǔ)上考慮閾值對疫情防控的影響,將具有重要的理論和現(xiàn)實意義,這將是后續(xù)需要研究的重要課題。