具有公共衛(wèi)生教育影響和 Lévy跳的隨機SEIS傳染病模型的動力學行為分析

師向云, 周 丹, 張?zhí)┤? 陸 路

(信陽師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 河南 信陽 464000)

0 引言

面對新冠肺炎疫情的嚴峻形勢,公共衛(wèi)生教育已成為一種控制傳染病傳播的有效措施,尤其對于貧困地區(qū)以及一些信息傳播極度滯后的封閉區(qū)域,更需要加強對其進行公共衛(wèi)生教育的力度[1]。最近幾年,關(guān)于公共衛(wèi)生教育對傳染病影響的數(shù)學模型演變出很多類型[2-6],但它們大多是確定性模型,實際上環(huán)境干擾對流行病模型的影響不可忽略,因此有必要研究環(huán)境噪聲對傳染病數(shù)學模型的影響。噪聲包括常見的白噪聲和強度較大的Lévy跳躍噪聲[7-8]。考慮到在傳染病發(fā)生的偏遠山區(qū)或貧困區(qū)域,常伴有地震、洪澇、火山爆發(fā)、干旱等突發(fā)性且強度較大的隨機干擾,引入Lévy跳過程可以更加準確地描述環(huán)境所帶來的擾動。因此本文建立一類具有公共衛(wèi)生教育影響的隨機傳染病模型來討論疾病消失和持久的條件,所建模型如下:

(1)

式中:S(t)、E(t)、I(t)分別表示t時刻易感者、受教育者和感染者的種群密度;βSI為疾病傳染率,β是疾病傳播的有效接觸率;1/(1+piI)(i=1,2)表示易感個體數(shù)量增加時的行為變化或感染個體的擁擠效應和抑制效應,p1、p2≥0代表飽和傳染率系數(shù);參數(shù)Λ表示進入到易感人群的比率;ε表示公共衛(wèi)生教育戰(zhàn)略在易感人群中傳播的速度;γ表示感染者的恢復率;σ為疾病死亡率;μ為各個種群的自然死亡率;由于采取教育控制措施的力度會逐漸減弱,假設(shè)受教育者以αβEI(0<α<1)概率被感染,其中α是教育減少感染的比例系數(shù)。

定義(Ω,F,{F}t≥0,P)是一個完備的概率空間,且{F}t≥0是這個概率空間的滿足通常條件的濾子。Bi(t)(i=1,2,3)表示概率空間上相互獨立的標準布朗運動,σi>0(i=1,2,3)表示環(huán)境白噪聲強度;記

N是在(0,+∞)×Z上的泊松計數(shù)測度,λ是可測子集Z上N的特征測度,滿足λ(Z)<+∞;S(t-)、E(t-)、I(t-)分別是(S(t),E(t),I(t))的左極限,γi(u)(i=1,2,3)表示Lévy跳躍強度。

為方便計算,假設(shè):

(A1) 對于任意的N>0,存在LN>0,使得跳躍擴散系數(shù)滿足

LN|x-y|2,|x|∨|y|≤N,

式中:Hi(x,u)=γi(u)x(t-),(i=1,2,3)。

(A2) 對于1+γi(u)>0(i=1,2,3),有

式中:C是一個正常數(shù)。

1 全局正解的存在唯一性

下面使用反證法證明。假設(shè)存在常數(shù)T>0和ε∈(0,1),使得P{τ∞≤T}>ε,則存在一個整數(shù)k1≥k0,使得對任意k≥k1,都有

P{τk≤T}≥ε。

(2)

(E-1-lnE)+(I-1-lnI),

式中:b是待定的正常數(shù),且函數(shù)的非負性可以從u-1-lnu≥0(u>0)得出。

對函數(shù)V利用It公式,可得

dV=LVdt+σ1(S-b)dB1(t)+

σ2(E-1)dB2(t)+σ3(I-1)dB3(t)+

式中:

[γ2(u)-ln(1+γ2(u))]+

[γ3(u)-ln(1+γ3(u))]λ(du)≤

這里

選取b=(μ+σ)/β,使得bβ-μ-σ=0,因此可得

這里K是正常數(shù),故

dV≤Kdt+σ1(S-b)dB1(t)+

σ2(E-1)dB2(t)+σ3(I-1)dB3(t)+

(3)

對式(3)兩邊從0到τk∧T積分并取期望,可得

E[V(S(τk∧T),E(τk∧T),I(τk∧T))]≤

V(S(0),E(0),I(0))+KT。

令Ωk={τk≤T},k≥k1,由P{τk≤T}≥ε知,P(ΩK)≥ε,則對于每個ω∈Ωk,存在S(τk,ω)、E(τk,ω)、I(τk,ω)等于k或者1/k,于是

V(S(τk∧T),E(τk∧T),I(τk∧T))≥

從而

V(S(0),E(0),I(0))+KT≥

E[IΩk(ω)V(S(τk,ω),E(τk,ω),I(τk,ω))]≥

式中:IΩk(ω)是Ωk的示性函數(shù)。令k→∞,則有

+∞>V(S(0),E(0),I(0))+KT=+∞,

矛盾。因此τ∞=+∞ a.s.。證畢。

2 疾病的消失

記

式中:X(t)是[0,+∞)上的可積函數(shù)。

且

證明根據(jù)文獻[9]中引理1的證明可以類似得到。證畢。

證明根據(jù)文獻[9]中引理2的證明可以類似得到。證畢。

接下來給出疾病消失的條件。

式中:

則傳染病I(t)消失,即

進一步可得

證明對lnI(t)運用It公式可得

(γ+σ+μ)-θ3)dt+

(4)

由基本不等式u-1-lnu≥0(u>0),可得θ3的非負性。

式(4)左右兩端從0到t上積分并除以t,可得

(5)

應用公式

d(S(t)+E(t)+I(t))≤

(Λ-μ(S+E+I))dt+

σ1S(t)dB1(t)+

σ2E(t)dB2(t)+σ3I(t)dB3(t)+

對上式左右兩邊從0到t積分再除以t,然后取上極限,再根據(jù)引理1和引理2可得

從而

對式(5)左右兩邊取上極限,再利用引理1和引理2可得

現(xiàn)在考慮將模型(1)中第一式與第三式相加,并對其和式兩邊從0到t積分再除以t,得到

(σ+μ)〈I(t)〉+φ1(t),

(6)

式中:

(7)

式中:

結(jié)合式(6)和式(7)可得

(8)

式(8)兩邊同時取極限,由

可知

(9)

另一方面,對于方程(1)中的第一式有

(10)

式中:

進而有

(11)

同理可得

(12)

故由式(9)有

證畢。

3 疾病的平均持久

記

式中:

式中:i=1,2,3。

式中:

即當R2>1時,模型(1)中疾病是平均持久的。

證明定義函數(shù)H:

H(S(t),E(t),I(t))=-(a1+b1)lnS-

b2lnE-lnI,

式中:a1、b1、b2是待定的正常數(shù)。

dH=LHdt-(a1+b1)σ1dB1(t)-

b2σ2dB2(t)-σ3dB3(t)-

b2ln(1+γ2(u))+

(13)

式中:

(a1+b1)βI+b2αβI+

(1+p1I)+(1+p2I)+

b2[(γ2-ln(1+γ2))+

(γ3-ln(1+γ3))]λ(du)≤

a1(ε+μ+θ1)+

b1(ε+μ+θ1)+b2(μ+θ2)+

(γ+σ+μ+θ3+2)+

[(a1+b1)β+b2αβ+p1+p2]I。

由a1、b1、b2的定義可知,

b1(ε+μ+θ1)=b2(μ+θ2)=

于是

(γ+σ+μ+θ3+2)+

((a1+b1)β+b2αβ+p1+p2)I。

(14)

對式(13)兩邊從0到t積分再除以t,同時結(jié)合(14)可得

-(γ+σ+μ+θ3+2)(R2-1)+

(15)

這里

(a1+b1)ln(1+γ1(u))+

根據(jù)引理1和引理2知

(16)

對式(15)兩邊取下極限,當R2>1時,有

證畢。

4 結(jié)論

主要研究了一類具有公共衛(wèi)生教育影響和Lévy跳的隨機傳染病模型。通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù),運用It公式等隨機理論進行分析,證明了該模型存在唯一的全局正解,并給出了疾病消失和持久的條件。

由定理2知,當R1<1時,疾病消失,并且發(fā)現(xiàn):當環(huán)境白噪聲強度σ3和Lévy跳擾動強度γ3增大時,θ3也隨之增大,那么R1就會減小,這表明隨機擾動對疾病的滅絕有促進作用,且擾動強度越大,疾病越容易滅絕。結(jié)論表明,隨機擾動對于疾病的控制具有抑制作用。

為了確定因受教育而減少感染的比率α的變化是如何影響疾病傳播的,對基本再生數(shù)R2關(guān)于參數(shù)α進行敏感性分析,具體由下式給出:

這意味著α參數(shù)值的減小將導致R2的減小,也就是說α越接近0,教育在預防疾病感染上的效果越好,使得基本再生數(shù)越小,疾病感染的人數(shù)越少。這充分說明公共衛(wèi)生教育對于疾病傳播的影響較大,且有一定的抑制作用。