飛機(jī)電源系統(tǒng)的貝葉斯概率風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估

王燕飛,楊沐華

(1.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院,吉林 吉林 132022;2.中國石油吉林石化公司 中區(qū)項(xiàng)目部,吉林 吉林 132022)

飛機(jī)電源系統(tǒng)是一個(gè)為機(jī)載用電設(shè)備提供電源的復(fù)雜冗余系統(tǒng)。一旦電源系統(tǒng)出現(xiàn)故障,飛機(jī)運(yùn)行安全將無法保障,甚至機(jī)毀人亡。因此,研究飛機(jī)電源系統(tǒng)發(fā)生故障的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)提高飛機(jī)運(yùn)行的可靠性及安全性具有重要意義。

關(guān)于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的方法主要涉及到定性、定量和綜合評(píng)估法三大類。定性評(píng)估法主要有：故障模式影響分析(FMEA)法[1]、故障樹(FTA)分析法[2]等。定量評(píng)估法主要包括：事件樹(ETA)分析法[3]、功能事件序列圖(FESD)[4]、貝葉斯置信網(wǎng)絡(luò)法(BBN)[5]等。綜合評(píng)估法主要有風(fēng)險(xiǎn)協(xié)調(diào)技術(shù)(VERT)及概率風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估(PRA)方法[6]。

PRA方法用來估計(jì)導(dǎo)致危險(xiǎn)的事件及發(fā)生后果的概率,預(yù)估每個(gè)后果的健康、安全、環(huán)境、經(jīng)濟(jì)影響的量級(jí),為計(jì)算復(fù)雜工程系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)提供了系統(tǒng)化、綜合性的方法體系和框架[7]。PRA方法是一種將定性和定量相結(jié)合、并以定量為主的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法,主要涉及到事故鏈(Senario)、主邏輯圖(MLD)、事件樹(ETA)法、故障樹(FTA)法,使用這些方法中的部分或者全部對(duì)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析。近年來,美國國家航空航天管理局(NASA)、歐洲空間局(ESA)已經(jīng)將PRA方法廣泛地應(yīng)用于航天系統(tǒng)安全性分析中。我國學(xué)者趙麗艷,顧基發(fā)[8]根據(jù)中國航天系統(tǒng)安全性分析的現(xiàn)狀,將PRA方法加以改進(jìn),形成適用于我國航天系統(tǒng)的CPRA方法,并運(yùn)用于我國某一型號(hào)運(yùn)載火箭系統(tǒng)的安全性分析中。然而,現(xiàn)代復(fù)雜工程系統(tǒng)和裝備的風(fēng)險(xiǎn)觀測數(shù)據(jù)的缺乏使得經(jīng)典概率方法常常難以適用。為此,引入貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法處理非觀測信息,豐富了數(shù)據(jù)來源和形式,提高了評(píng)估結(jié)果的可靠性和可信性。這種融入貝葉斯理論的概率風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估稱之為貝葉斯概率風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估(BPRA)法。

由于飛機(jī)電源系統(tǒng)中存在具有同類部件且結(jié)構(gòu)相同的組合,往往會(huì)因共同原因同時(shí)發(fā)生故障[9]。這種系統(tǒng)中兩個(gè)或更多部件由于某種相同原因同時(shí)失效,或者在一個(gè)較短的時(shí)間間隔內(nèi)失效,稱為共因失效(Common Cause Failure,CCF)[10]。它是導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)各部分失效相關(guān)的一個(gè)重要原因。忽略系統(tǒng)的相關(guān)性,而只在各部分失效相互獨(dú)立的假設(shè)條件下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析,常會(huì)導(dǎo)致較大的誤差[11]。常見的共因失效的定量模型有：β因子模型[12]、多希臘字母(MGL)模型[13]及α因子模型[14]等。其中,α因子模型有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)：①可以處理各階共因失效;②模型更加精確;③即使沒有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),其估計(jì)值也可用。

本文針對(duì)飛機(jī)電源系統(tǒng),利用FTA法分析系統(tǒng)的失效情況,并根據(jù)BPRA法分析系統(tǒng)失效的風(fēng)險(xiǎn)。在不考慮共因失效情況下,利用貝葉斯理論建立貝葉斯(Ga-Exp)模型,獲得系統(tǒng)各組成部件失效率的后驗(yàn)期望估計(jì)值,并計(jì)算各子系統(tǒng)及總系統(tǒng)失效的貝葉斯概率風(fēng)險(xiǎn)值。另外,定義各部件失效對(duì)系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)的敏感度為部件的重要度,以此作為判斷部件重要性及系統(tǒng)維修維護(hù)先后次序的依據(jù)。其次,在考慮共因失效的情況下,建立共因失效組的貝葉斯(D-M)模型。并根據(jù)α因子模型,獲得各階共因失效的后驗(yàn)概率值。以此更新各子系統(tǒng)及總系統(tǒng)失效的風(fēng)險(xiǎn)概率值。計(jì)算此時(shí)各部件的重要度指標(biāo)值。最后,通過具體實(shí)例,比較是否考慮共因失效的兩種情況下概率風(fēng)險(xiǎn)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)、共因失效組中部件的重要度變化及5類部件重要度的變化的對(duì)比情況,為飛機(jī)工程制造人員對(duì)電源系統(tǒng)安全可靠性的研究提供依據(jù)。

1 飛機(jī)電源系統(tǒng)的貝葉斯概率風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估(BPRA)模型

1.1 飛機(jī)電源系統(tǒng)的故障樹(FTA)分析模型

波音737是目前民用航空器最主要的機(jī)型,因此,以B737-800型飛機(jī)的電源系統(tǒng)為研究對(duì)象。其飛機(jī)電源系統(tǒng)的組成部件包括：2個(gè)整體驅(qū)動(dòng)發(fā)電機(jī)(IDG)、1個(gè)輔助動(dòng)力裝置(APU)發(fā)電機(jī)、3個(gè)變壓整流器組件、1個(gè)靜止變流器、1個(gè)主電瓶、1個(gè)輔助電瓶和繼電器等控制組件[15]。建立以“飛機(jī)電源失效”為頂事件的故障樹分析圖。如圖1所示。

圖1 飛機(jī)電源系統(tǒng)失效故障樹分析圖

飛機(jī)電源系統(tǒng)失效可能由于2個(gè)子系統(tǒng)之中的一個(gè)失效,即交流電源失效或者直流電源失效。其中,主交流電系統(tǒng)由IDG1(C11)、IDG2(C12)、APU啟動(dòng)發(fā)電機(jī)(C2)并聯(lián)構(gòu)成。電瓶子系統(tǒng)由主電瓶(C31)和輔助電瓶(C32)并聯(lián)。而電瓶子系統(tǒng)和靜止變流器(C4)串聯(lián)構(gòu)成備用交流電源系統(tǒng)。主直流電源系統(tǒng)由3個(gè)并聯(lián)的變壓整流器(C51,C52,C53)和主交流電源(C11,C12,C2)串聯(lián)而成。

1.2 不考慮共因失效的飛機(jī)電源系統(tǒng)BPRA模型

1.2.1 (Ga-Exp)模型

(1)

其中C為常數(shù),此時(shí)屬于有替換截尾試驗(yàn)情況,總試驗(yàn)時(shí)間S(t)=nt[16]。

假設(shè)λ具有先驗(yàn)分布為伽馬分布,記作π(λ)=Ga(u,b)。即

(2)

其中,u>0為形狀參數(shù),b>0為尺度參數(shù)。

由此可見,λ的后驗(yàn)分布與先驗(yàn)分布都是伽馬分布,只是參數(shù)值不同,此時(shí)的先驗(yàn)分布稱為共軛先驗(yàn)[17]。即伽馬分布是指數(shù)總體分布中參數(shù)λ的共軛先驗(yàn)分布或者伽馬分布共軛于指數(shù)分布,記為(Ga-Exp)模型。此時(shí),λ的后驗(yàn)期望估計(jì)值為

(3)

1.2.2 飛機(jī)電源系統(tǒng)失效的貝葉斯概率風(fēng)險(xiǎn)

飛機(jī)電源系統(tǒng)中共有5種不同類型的部件：IDG(C11,C12)、APU啟動(dòng)發(fā)電機(jī)(C2)、電瓶(C31,C32)、靜止變流器(C4)、變壓整流器(C51,C52,C53),設(shè)其壽命分別為T1,T2,…,T5,失效率分別為λ1,λ2,…,λ5。

則在累積飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間t時(shí)該部件發(fā)生失效的概率就是分布函數(shù)值。即

FTi(t)=P{Ti≤t}=1-e-λit,(t>0),i=1,2,…,5.

(4)

根據(jù)飛機(jī)電源系統(tǒng)的故障分析圖(見圖1)及(5)式,可得：主交流電源Z1(C11,C12,C2)失效的概率為

p1=P{Z1≤t}=P{T1≤t}]2P{T2≤t}=(1-e-λ1t)2(1-e-λ2t).

(5)

電瓶子系統(tǒng)Y1(C31,C32)失效的概率為

p2=P{Y1≤t}=(P{T3≤t})2=(1-e-λ3t)2.

(6)

靜止變流器C4失效的概率為

p3=P{T4≤t}=(1-e-λ4t)

(7)

則備用交流電源Z2失效的概率為p4=P{Z2≤t}=P{(T4≤t)∪(Y1≤t)}=p3+p2-p2·p3。

變壓整流器Y2(C51,C52,C53)失效的概率為

p5=P{Y2≤t}=(P{T5≤t})3=(1-e-λ5t)3

(8)

主直流電源Z3失效的概率為p6=P{(Z1≤t)∪(Y2≤t)}=p1+p5-p1·p5。

因此,交流電源系統(tǒng)S1失效的概率為P{S1≤t}=P{(Z1≤t)∩(Z2≤t)}=p1·p4。

直流電源系統(tǒng)S2失效的概率為P{S2≤t}=P{(Z3≤t)∩(Y1≤t)}=p6·p2。

綜上,飛機(jī)電源系統(tǒng)S失效的概率為

p=P{S≤t}=P{(S1≤t)∪(S2≤t)}=p1·p4+p2·p6-p1·p2·p4·p6

(9)

將(5)～(8)式代入(9)式中得

p=(1-e-λ1t)2(1-e-λ2t)[(1-e-λ4t)+2(1-e-λ3t)2-(1-e-λ4t)(1-e-λ3t)2]+(1-e-λ5t)3(1-e-λ3t)2-(1-e-λ1t)2(1-e-λ2t)(1-e-λ5t)3(1-e-λ3t)2[2-e-λ4t+(1-e-λ3t)2-(1-e-λ4t)(1-e-λ3t)2]-(1-e-λ1t)4(1-e-λ2t)2(1-e-λ3t)2[1-(1-e-λ5t)3][(1-e-λ4t)+(1-e-λ3t)2-(1-e-λ4t)(1-e-λ3t)2].

(10)

1.2.3 飛機(jī)電源系統(tǒng)各部件的靈敏度分析

在飛機(jī)電源系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)分析中,各組成部件的失效對(duì)于系統(tǒng)失效的靈敏度分析在系統(tǒng)設(shè)計(jì)、診斷及最優(yōu)化分析時(shí)具有很大作用,為系統(tǒng)檢查、維護(hù)及故障檢測的先后順序提供依據(jù)。本文采用精確度相對(duì)較高的數(shù)學(xué)模型分析法。定義系統(tǒng)發(fā)生失效的概率對(duì)部件失效率的偏導(dǎo)數(shù)為該類部件失效對(duì)于系統(tǒng)失效的靈敏度,體現(xiàn)了該部件性能的改變對(duì)系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)的影響程度,作為部件的靈敏度指標(biāo)Iλ。記作

(11)

其中,p為系統(tǒng)失效的概率,λ為組成系統(tǒng)的某類部件的失效率。

根據(jù)靈敏度指標(biāo)可以得到系統(tǒng)中各類部件對(duì)系統(tǒng)失效貢獻(xiàn)的大小順序,以此作為提高系統(tǒng)可靠性的參考依據(jù)。

1.3 考慮共因失效的飛機(jī)電源系統(tǒng)BPRA模型

1.3.1 飛機(jī)電源系統(tǒng)中的共因失效組

(12)

針對(duì)電瓶系統(tǒng)Y1,由于組合中有2個(gè)部件C31和C32,所以k=2.系統(tǒng)共有2個(gè)獨(dú)立因子J31、J32和1個(gè)共因失效因子J312,如圖2所示。每個(gè)電瓶失效由一個(gè)獨(dú)立失效因子和一個(gè)共因失效因子串聯(lián)確定。

圖2 電瓶系統(tǒng)共因失效的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)分析圖

設(shè)α1為獨(dú)立因子失效占總失效事件的比例,α2為2個(gè)部件由于共同原因失效占總失效事件的比例,即電瓶系統(tǒng)Y1共因失效占總失效事件的比例。且：

α1+α2=1.

(13)

則根據(jù)公式(13)式,有：獨(dú)立因子J31、J32的失效率為

λJ31=λJ32=λ3α1.

(14)

共因失效因子J312的失效率為

λ312=λ3α2.

(15)

設(shè)事件A1為“電瓶C31正常工作”,事件為“電瓶C32正常工作”。則A1={C31>t}={J31>t}∩{J312>t},

A2={C32>t}={J32>t}∩{J312>t},A1∩A2={J31>t}∩{J32>t}∩{J312>t}.

且J31、J32與J312是否正常工作是相互獨(dú)立的。由(14)～(16)式,有：P(A1)=P(A2)=P{J31>t}P{J312>t}=e-λ3t,且P(A1∩A2)=P{J31>t}P{J32>t}P{J312>t}=e-λ3(2α1+α2)t.

故電瓶系統(tǒng)Y1失效的概率為

(16)

針對(duì)變壓整流器Y2,此時(shí)組合中有3個(gè)部件C51,C52和C53,因此k=3。系統(tǒng)共有3個(gè)獨(dú)立因子J51、J52、J53,3個(gè)2階共因失效因子J512、J513、J523和1個(gè)3階共因失效因子J5123,如圖3所示。每個(gè)部件失效由1個(gè)獨(dú)立失效因子和3個(gè)共因失效因子串聯(lián)確定。

圖3 變壓整流器共因失效的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)分析圖

(17)

則根據(jù)公式(13),有：獨(dú)立因子J51、J52、J53的失效率為

λJ51=λJ52=λJ53=λ3α1′.

(18)

2階共因失效因子J512、J513、J523的失效率為

(19)

3階共因失效因子J5123的失效率為

λJ5123=λ5α3′.

(20)

設(shè)事件B1、B2、B3分別為“變壓整流器C51,C52和C53正常工作”。則B1={C51>t}={J51>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J5123>t},B2={C52>t}={J52>t}∩{J512>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},

B3={C53>t}={J53>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},B1∩B2={J51>t}∩{J52>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},B1∩B3={J51>t}∩{J53>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},B2∩B3={J52>t}∩{J53>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},B1∩B2∩B3={J51>t}∩{J52>t}∩{J53>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t}.且J51、J52、J53、J512、J513、J523與J5123是否正常工作是相互獨(dú)立的。

利用(17)～(20)式,有：變壓整流器系統(tǒng)Y2失效的概率為

(21)

將(5)、(7)、(16)及(21)式代入(22)式中,有：

(23)

1.3.2 共因失效組的(D-M)模型

現(xiàn)假設(shè)α=(α1,α2,…,αk)的先驗(yàn)分布為狄利克雷分布D(θ1,θ2,…,θk)。即：

則α=(α1,α2,…,αk)的后驗(yàn)分布

π(α1,α2,…,αk|n1,n2,…,nk)∝P{X1=n1,X2=n2,…,Xk=nk|α1,α2,…,αk}π(α1,α2,…,αk)∝α1n1+θ1-1α2n2+θ2-1…αknk+θk-1。

根據(jù)狄利克雷分布的密度核函數(shù)形式,容易得到,此時(shí)后驗(yàn)分布仍為狄利克雷分布。即

特別地,當(dāng)先驗(yàn)分布取θi=1,(i=1,2,…,k,θ=k)時(shí),即D(1,1,…,1)就是多維均勻分布,屬于無信息先驗(yàn)分布。這樣使得先驗(yàn)分布更具客觀性。此時(shí),先驗(yàn)分布為

αi的邊際后驗(yàn)期望為

(25)

1.3.3 (D-M)模型下的飛機(jī)電源系統(tǒng)的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)分析模型

下面在引入(D-M)模型的情況下,分別考慮涉及共因失效的兩個(gè)部件組合：電瓶子系統(tǒng)Y1(C31,C32)和變壓整流器Y2(C51,C52,C53)的失效概率。

在電瓶子系統(tǒng)Y1中,取(α1,α2)～D(1,1),由(25)式,可知αi的后驗(yàn)期望估計(jì)為

(26)

(27)

1.3.4 (D-M)模型下的飛機(jī)電源系統(tǒng)各部件靈敏度分析

根據(jù)公式(12)及(24)式,利用MATLAB軟件,可分別計(jì)算飛機(jī)電源系統(tǒng)中各類部件的重要度Iλi′,(i=1,2,…,5)。

2 算例分析

表1 飛機(jī)電源系統(tǒng)各部件失效率的后驗(yàn)期望估計(jì)值及靈敏度

t/h圖4 飛機(jī)電源系統(tǒng)的貝葉斯概率風(fēng)險(xiǎn)值對(duì)比圖

另外,分別對(duì)比共因失效組部件(電瓶、變壓整流器)在兩種情況下的靈敏度變化曲線,如圖5～6,其中,實(shí)線為不考慮共因失效情況,虛線為考慮共因失效情況。容易看出,這兩種部件受到共因失效的影響,對(duì)飛機(jī)電源系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)的敏感度明顯增大。由此,是否考慮共因失效會(huì)產(chǎn)生截然不同的效果。

t/h圖5 部件電瓶的重要度對(duì)比圖

t/h圖6 部件變壓整流器的重要度對(duì)比圖

分別對(duì)5類部件的靈敏度變化在兩種情況下的進(jìn)行比較。在不考慮共因失效時(shí),各部件靈敏度從高到低依次為IDG(C11,C12)、APU發(fā)動(dòng)機(jī)(C2)、靜止變流器(C4)、電瓶(C31,C32)、變壓整流器(C51,C52,C53)。而考慮共因失效后,在飛行時(shí)間0～4 500 h之間,電瓶的靈敏度位列第一,這說明共因失效對(duì)系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)的影響很大。在飛行時(shí)間4 500～7 500 h之間時(shí),各部件靈敏度排序有所變化,依次為IDG(C11,C12)、電瓶(C31,C32)、APU發(fā)動(dòng)機(jī)(C2)、靜止變流器(C4)、變壓整流器(C51,C52,C53)?？梢?非常有必要考慮共因失效因素。

3 結(jié) 論

針對(duì)飛機(jī)電源系統(tǒng),利用貝葉斯方法研究系統(tǒng)失效的概率風(fēng)險(xiǎn)及各類部件的重要度,具體結(jié)論如下：

(1)對(duì)于飛機(jī)電源系統(tǒng)失效的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)概率,在考慮共因失效因素時(shí)要高于未考慮共因失效情況,且隨著累積飛行時(shí)間的增加差距逐漸增大。

(2)通過兩個(gè)共因失效組的部件,在不考慮共因失效因素時(shí),其失效率的提高對(duì)于系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)的影響速度變化不大,但考慮共因失效后,其靈敏度隨著飛行時(shí)間的增長顯著增大。

(3)通過飛機(jī)電源系統(tǒng)中的5類部件失效率靈敏度比較發(fā)現(xiàn),是否考慮共因失效因素結(jié)果相差很大,主要是共因失效組部件電瓶的靈敏度在考慮共因失效后排序上升為前列。這將極大程度上影響系統(tǒng)維護(hù)及可靠性分析結(jié)果。因此,當(dāng)系統(tǒng)有相同或相近組成結(jié)構(gòu),容易產(chǎn)生共同原因造成失效的情況下,應(yīng)當(dāng)考慮共因失效因素。

相比文獻(xiàn)[11]中,考慮共因失效的飛機(jī)電源系統(tǒng)的可靠性方法,本文特別引入貝葉斯方法獲取系統(tǒng)失效的風(fēng)險(xiǎn)概率,將獲得數(shù)據(jù)不斷更新,形成動(dòng)態(tài)變化過程,為飛機(jī)電源系統(tǒng)的可靠性維修、維護(hù)及安全運(yùn)行提供良好的應(yīng)用效果。