怎樣利用面積法求解線段問題

蔣弟弟

面積法是利用面積相等或成比例關(guān)系，利用面積與邊、角之間的關(guān)系來解題的一種方法.它能夠把兩個(gè)表面看起來沒有任何關(guān)系的變量關(guān)聯(lián)在一起.在面對(duì)一些無從下手的線段問題時(shí)，同學(xué)們?nèi)裟芡诰蛳嚓P(guān)幾何量與所涉及的圖形的面積的內(nèi)在聯(lián)系，則可以收到意想不到的效果.

一、利用面積法，證明線段相等

圖形的面積公式都是用含有線段的代數(shù)式來表示的，因此面積與線段之間可以互相轉(zhuǎn)換.利用面積法證明兩條線段相等，即通過證明兩個(gè)三角形面積相等，然后借助三角形面積公式推導(dǎo)出兩條線段相等.

例 1如圖 1 所示，已知 D 是△ABC 內(nèi)∠ABC 的平分線上的一點(diǎn)，作 AE ∥ DC 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E ，作 CF ∥ AD交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ，AE、CF 相交于點(diǎn) G .求證：AF = CE.

分析：若按照常規(guī)思路證明 AF = CE，需證明兩個(gè)三角形全等，顯然全等的證明條件不充分.由于已知圖形中出現(xiàn)兩組平行線，這樣容易出現(xiàn)等面積的三角形，因此不妨考慮利用面積法解題.

證明：

評(píng)注：本題借助等面積變換證明了 S△ADF= S △CDE，而這兩個(gè)三角形的高 DH =DK，這樣根據(jù)三角形的面積公式，即可證明它們的底邊 AF = CE，目標(biāo)得證.

二、利用面積法，證明線段成比例

我們常利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來證明線段成比例.但當(dāng)待證的線段在兩個(gè)三角形中，又很難用三角形相似來證明時(shí)，我們可以觀察這兩個(gè)三角形是否在某一邊上的高（底）相等，然后利用兩個(gè)等底（高）的三角形的面積之比等于它們對(duì)應(yīng)高（底）之比來證明線段成比例.

例2如圖2所示，已知在△ABC 中，BM平分∠ABC.求證：MC（AM）= BC（BA）.

分析：

證明：

評(píng)注：利用面積法證明線段成比例，實(shí)際上就是借助面積公式來實(shí)現(xiàn)比例式的轉(zhuǎn)化. 本題根據(jù)三角形面積公式，得到 S△BAM S△BCM = BA BC ，再根據(jù)等底（高）的兩個(gè)三角形面積比等于高（底）的比，得到 S△BAM S△BCM = AM MC ，進(jìn)而得到所要求證的目標(biāo)比例式.

三、利用面積法，求線段的長(zhǎng)度

利用面積法求線段的長(zhǎng)度，一般根據(jù)題意采用兩種解題思路：一是若題目已知圖形的面積，可直接利用面積公式構(gòu)建關(guān)于所求目標(biāo)線段的關(guān)系式；二是若幾個(gè)圖形之間存在等面積關(guān)系，則可以利用等面積法構(gòu)建線段之間的關(guān)系式.最后通過求圖形的高或底邊長(zhǎng)，求出目標(biāo)線段的長(zhǎng)度.

例3

分析：

證明：

評(píng)注：本題根據(jù)“S△MQP+S△NQO+S△PQO=S 四邊形MNPO” 這一面積關(guān)系，建立起已知線段與待求線段之間的關(guān)系式，從而求出 QR 的長(zhǎng)度.該解法簡(jiǎn)捷、巧妙.

總之，面積法是解答平面幾何問題的重要方法之一，在解答線段問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛.除了上述提及的三種應(yīng)用情況外，還可以利用面積法求解線段之和、線段的比值等問題.同學(xué)們應(yīng)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)以及掌握的解題方法，提升解題效率.