Clifford 代數(shù)C?2 的相似類

曹慧慧，鄭榮蘭，曹文勝

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

1 引言與預(yù)備知識

Clifford 通過Grassmann 的外代數(shù)引入如下Clifford 代數(shù).

定義1[1]Clifford 代數(shù)C?p,q由一組實(shí)空間中的正交基｛i1,…,in｝生成，其乘法法則為：

近年來，Clifford 代數(shù)在微分幾何、理論物理、經(jīng)典分析等方面取得了輝煌的成就，是研究現(xiàn)代理論數(shù)學(xué)和物理的核心工具.

本文主要研究Clifford 代數(shù)C?2:=C?2,0上的相似類及其性質(zhì). 為方便計(jì)算，我們在C?2上記其在實(shí)數(shù)域上的基為

并滿足運(yùn)算

定義2對，其中，i=0,1,2,3,4，我們定義如下的概念.

在Clifford 代數(shù)上相似類及其性質(zhì)是一個(gè)重要的研究議題. 文獻(xiàn)[2-4]已經(jīng)研究了分裂四元數(shù)相似、合相似及偽相似的充要條件. 唐哲[5]研究了分裂四元數(shù)偽相似的充要條件. Zheng 和Cao[6]研究了Clifford 代數(shù)C?2相似與偽相似的充要條件. Cao[7]還研究了四維Clifford 代數(shù)Moore-Penrose 逆，求出線性方程與的解，并得出來Clifford 代數(shù)C?0,3相似與合相似的充要條件.

下面給出C?2中兩個(gè)元素相似與偽相似的定義.

定義3i）令，如果存在一個(gè)元素使得

則稱元素a,b相似.

則稱元素a,b偽相似.

引理1[6]i）兩個(gè)元素相似的充要條件是：

本文給出了C?2中兩元素t-相似、t-偽相似和半相似的概念.

定義4令，兩個(gè)元素是t-相似，如果存在一個(gè)元素使得

定義5令，兩個(gè)元素是t-偽相似，如果存在一個(gè)元素使得

本文將得到了t-相似與t-偽相似的充要條件以及相關(guān)性質(zhì).

2 t-相似的證明

由定義2，有如下結(jié)論.

命題1對任意的有

定理1i）t-相似的充要條件是：

證明由定義2 知，兩個(gè)元素是t-相似的當(dāng)且僅當(dāng)ta與tb是相似的，由引理1i）知定理1 的i）成立. 同理可證定理1 的ii）.

引理2令a≠0，則當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)，使得.

證明必要性顯然成立，只需要證明充分性. 如果，則，. 這表明. 令

若b∈[a]t，則因此

現(xiàn)在找到一個(gè)b，使得b滿足式（3）但不滿足式（4）. 這表明. 證畢.

舉例說明：

在上面的16 種情況中，有8 種情況是可由t-相似誘導(dǎo)的，這8 種情況由下面的命題給出.

由定理1，有以下定理：

定理2i）元素，相似當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：

自從黃詩傳入，朝鮮詩人便對其淵源、風(fēng)格、用典等展開探討。如崔恒《山谷精粹·序》云：“至宋奎聚，詩道一大中興。于是歐、王、蘇、黃輩鏗戛相與鳴，稱為大家，而涪翁詩尤自出機(jī)杼，瑰奇絕妙，度越諸子，遂號為江西詩祖?！盵2](9輯，P191)“自出機(jī)杼，瑰奇絕妙”是對黃詩的籠統(tǒng)評價(jià)，更多評論家對此予以補(bǔ)充、注釋，更具體地總結(jié)了其創(chuàng)作特色。

證明根據(jù)定理1，是e1-相似的充要條件是以下兩個(gè)條件之一成立：

3 t-偽相似的證明

下面討論t-偽相似的情況. 有如下命題.

命題3對，有

結(jié)合命題2 知式（5）中的16 種情況是由t-相似和t-偽相似誘導(dǎo)的.

根據(jù)定理2，得到下面的定理.

定理3i）元素偽相似當(dāng)且僅當(dāng)以，下條件之一成立：

iv）元素

vi）元素

下面列出幾個(gè)t-偽相似的例子：