基于Sobol指數(shù)法的艦艇防空作戰(zhàn)效能敏感性分析

許俊飛,楊 光,姜思恒,吳 玲

(1.海軍工程大學 兵器工程學院, 武漢 430033;2. 92555部隊, 上海 200439)

0 引言

空中目標是水面艦艇面臨的最大安全威脅,具有運動速度快、體積小、機動性好、隱蔽性高等優(yōu)勢,為了有效攔截空中目標多批次、多方向、多層次的飽和攻擊,水面艦艇采用導彈和艦炮的多層次攔截策略進行應對,如何提高水面艦艇的防空作戰(zhàn)效能,武器裝備的性能起了決定性的作用,因此防空武器裝備的敏感性對于水面艦艇防空作戰(zhàn)效能的影響也越來越大,研究艦艇防空作戰(zhàn)效能敏感性對于提升艦艇武器裝備性能、完成戰(zhàn)斗任務成功率具有重要意義。

武器裝備敏感性分析是武器裝備發(fā)展論證的重要內(nèi)容,對水面艦艇防空作戰(zhàn)效能敏感性進行研究,就是讓影響防空作戰(zhàn)效能的武器裝備能力指標在可能的取值范圍內(nèi)變動,分析變動對于整體作戰(zhàn)效能的影響程度,“影響程度”即為該能力指標的敏感性系數(shù),敏感性系數(shù)越大說明該能力指標對作戰(zhàn)效能的影響越大。根據(jù)文獻[1]的分類方式,敏感性分析方法可分為篩選方法、全局敏感性以及局部敏感性分析方法。其中Sobol指數(shù)法、傅里葉振幅敏感性檢驗法、互信息指數(shù)法、響應曲面法以及回歸分析等方法主要用于進行全局敏感性的分析。由于作戰(zhàn)效能涉及諸多因素,且與各輸入因素之間的關系復雜,傳統(tǒng)的敏感性分析方法難以滿足,文獻[2-3]從全局敏感性分析方法的思想、原理基礎上對比分析,明確其優(yōu)缺點,提出Sobol指數(shù)法相對其他方法而言更加適用于武器裝備敏感性分析,主要因為Sobol指數(shù)法能從指標輸入的主效應、全效應、交互效應等多方面分析對模型以及輸出的影響,并且對效能評估模型的單調(diào)性、線性以及輸入的分布特性沒有特殊要求。

進行武器裝備敏感性分析需要以作戰(zhàn)效能評估模型為基礎,因此本文中首先建立基于指數(shù)法的水面艦艇防空作戰(zhàn)效能模型,在此基礎上建立Sobol指數(shù)法模型對艦艇防空武器裝備的敏感性進行分析,從分析結果中提煉影響艦艇防空作戰(zhàn)的重要能力指標,從而牽引武器裝備的發(fā)展。

1 艦艇防空作戰(zhàn)效能評估模型

1.1 冪指數(shù)法

作戰(zhàn)效能評估冪指數(shù)法適用于宏觀分析和快速評估,具有結構簡單、使用方便的特點,冪指數(shù)法模型建立的基礎是在武器裝備自身的作戰(zhàn)能力指標上開展的,可以避免很多不確定因素造成的影響,有效增強作戰(zhàn)效能評估的準確性和有效性。冪指數(shù)法在武器裝備的作戰(zhàn)效能和其作戰(zhàn)能力指標之間建立了聯(lián)系,映射形成函數(shù)關系。文獻[4]經(jīng)過論證得到武器系統(tǒng)作戰(zhàn)能力冪指數(shù)為

式中:k為一致性調(diào)整系數(shù),在比較不同武器裝備時,對效能指數(shù)的一致性起著量級的調(diào)整作用;x1,x2,…,xi為武器系統(tǒng)的基本戰(zhàn)技指標;ω1>0,ω2>0,…,ωn>0,且ω1+ω2+…+ωn=1;ψ為影響因子。

在武器系統(tǒng)能力指標中,有些指標的值越大越好,稱為效益型指標;而有些指標的值是越小越好,稱為成本型指標。為了實現(xiàn)作戰(zhàn)效能的最大化,將效益型指標作為分子,成本型指標作為分母[5],由此將式(1)變?yōu)?

式中:xi(i=1,2,…,n)為效益型指標;xi(i=n+1,n+2,…,N)為成本型指標;ωi≤1,i=1,2,…,n,n+1,…,N。

1.2 基于冪指數(shù)法的艦艇防空作戰(zhàn)效能評估

在艦艇防空作戰(zhàn)中,主要依靠導彈和艦炮武器進行目標攔截,因此采用冪指數(shù)法進行艦艇防空作戰(zhàn)效能評估首先需要分析防空導彈和艦炮武器系統(tǒng)的能力指標[6],如圖1所示。

圖1 艦艇防空武器系統(tǒng)指標體系

1.2.1指標的歸一化處理

1) 殺傷遠界歸一化處理

武器的殺傷遠界是武器的最大殺傷距離,其數(shù)值越大越好,但是它的效能并不是呈線性增加的,它的增長率是隨著殺傷遠界的增大而降低,采用冪指數(shù)分布來表示,如圖2所示。

圖2 殺傷遠界歸一化處理的變化曲線

W1(x)=Ax2/3

(3)

式中,A為殺傷遠界歸一化系數(shù);x為武器的殺傷遠界(km)。圖2所示為殺傷遠界歸一化處理的變化曲線。

2) 殺傷近界歸一化處理

殺傷近界是指武器的最小殺傷距離,其值越小越好,與殺傷遠界相反,其效能函數(shù)采用負指數(shù)分布,圖3所示為殺傷近界歸一化處理的變化曲線。

圖3 殺傷近界歸一化處理的變化曲線

W2(x)=e-Ax

(4)

式中,A為殺傷近界歸一化系數(shù);x為武器的殺傷近界(km)。

3) 殺傷高界歸一化處理

殺傷高界是指武器的最大殺傷高度,是防空武器的一個重要能力指標,采用冪指數(shù)分布:

W3(x)=Ax2/3

(5)

式中,A為殺傷高界歸一化系數(shù);x表示殺傷高界(km)。

4) 殺傷低界歸一化處理

殺傷低界是指武器的最低殺傷高度,它反映了防空武器抗擊超低空來襲目標的能力,與殺傷近界類似,效能函數(shù)采用負指數(shù)分布

W4(x)=e-Ax2/3

(6)

式中,A為殺傷低界歸一化系數(shù);x表示殺傷低界(km)。

5) 飛行速度歸一化處理

防空導彈的飛行速度是導彈攻擊能力的一種體現(xiàn),因此,艦艇對防空導彈飛行速度的要求越來越高,目前,大多數(shù)防空導彈飛行速度在2～3Ma,且0.5～2.5Ma為最普遍的速度分布區(qū)間,這是因為導彈的速度達到一定量級后,繼續(xù)提高的意義不大,這里采用S形分布來表示,取W5(1)=0.5,圖4 所示為飛行速度歸一化處理的變化曲線。

圖4 飛行速度歸一化處理的變化曲線

W5(x)=e-0.69/x

(7)

式中,x表示導彈飛行速度(Ma)。

6) 發(fā)射間隔歸一化處理

發(fā)射間隔是對武器系統(tǒng)攻擊靈敏度的一種反映,其時間越小越好,故建立如下函數(shù)曲線:

式中,x表示導彈發(fā)射間隔時間。

7) 備彈量歸一化處理

備彈量反映了艦載武器系統(tǒng)可持續(xù)攻擊的強度。因此建立遞增函數(shù):

W7(x)=Ax

(9)

式中,x表示備彈量。

8) 系統(tǒng)反應時間歸一化處理

對于防空武器的系統(tǒng)反應時間,它的值是越小越好,但不是呈線性變化,采用拋物線分布,并取上界和下界分別為3 s和30 s。圖5所示為反應時間歸一化處理的變化曲線。

圖5 反應時間歸一化處理的變化曲線

式中,x表示反應時間(s)。

9) 戰(zhàn)斗部有效載荷歸一化處理

導彈戰(zhàn)斗部有效載荷采用線性遞增函數(shù),歸一化方法同備彈量歸一化處理

10) 射界歸一化處理

對空作戰(zhàn)的射界主要指火炮的高低瞄準范圍,以±90°為最優(yōu),其效能函數(shù)為:

式中,x表示火炮的高低瞄準范圍(°)。

11) 艦炮射程歸一化處理

對于艦炮射程的處理與殺傷遠界歸一化方法類似。

12) 命中概率歸一化處理

對于命中概率P,因為都是處于0～1,已經(jīng)符合歸一化的類型,因此可直接代入計算模型進行計算。

1.2.2防空武器系統(tǒng)效能模型建立

艦艇防空武器裝備包括防空導彈和艦炮,對于防空導彈,它的效益型指標和成本型指標如表1所示。

表1 防空導彈能力指標分類

因此防空導彈的作戰(zhàn)效能模型為:

式中,x1、x2、x3、x4、x5、x6分別代表殺傷遠界、殺傷高界、飛行速度、備彈量、戰(zhàn)斗部有效載荷和命中概率的歸一化指標值;x7、x8、x9、x10分別代表殺傷近界、殺傷低界、發(fā)射間隔和系統(tǒng)反應時間的歸一化指標值;ω1～ω10分別代表各指標的權重,由AHP法確定。

對于艦炮武器,它的效益型指標和成本型指標如表2所示。

表2 艦炮能力指標分類

由此可得火炮的作戰(zhàn)效能計算公式為:

式中,x1、x2、x3、x4分別代表備彈量、射界、射程和命中概率的歸一化指標值;x5代表系統(tǒng)反應時間,的歸一化指標值;ω1～ω5分別代表各指標的權重,由AHP法確定。

由于水面艦艇的防空武器系統(tǒng)之間,在功能上表現(xiàn)為并聯(lián)關系,而水面艦艇平臺的載體生存能力、載體對防空武器系統(tǒng)作戰(zhàn)能力發(fā)揮的影響以及載體電子設備對武器系統(tǒng)的保障、支援能力,則防空武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能之間表現(xiàn)為串聯(lián)關系。因此,水面艦艇防空作戰(zhàn)效能指數(shù)在總體上表現(xiàn)為加權和的形式。在假定各武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能不相關的前提下,艦艇防空作戰(zhàn)效能的基本計算模型可表示為

2 艦艇防空作戰(zhàn)效能敏感性分析

2.1 Sobol指數(shù)法

采用Sobol指數(shù)法進行艦艇防空作戰(zhàn)效能敏感性分析,首先需要將模型分解為單個能力指標與多個能力指標之間相互組合的函數(shù),計算分析輸入方差對總輸出方差的影響,以此對艦艇防空武器裝備作戰(zhàn)能力指標的敏感性以及能力指標之間的交互效應進行分析,可以看出Sobol指數(shù)法的核心是對方差進行分解[7-9]。

假設模型為Y=f(X),其中X=(x1,x2,…,xn),xi(i=1,2,…,n)服從[0,1]之間的均勻分布,f(X)平方可積,將模型f(X)分解為以下形式

f1,2,…(x1,x2,…xn)

(15)

經(jīng)推導可得總方差V、偏方差Vi以及方差比率Si1,i2,…,is[8]。

Si1,i2,…,is=Vi1,i2,…,is/V

(19)

可得

f0=E(Y)

(20)

fi=E(Y|xi)-E(Y)

(21)

fij=E(Y|xi,xj)-fi-fj-E(Y)

(22)

假設分析函數(shù)中Xi(i=1,2,…,n)獨立同分布。當Xi取xi時Y的 條件方差為V(Y|xi)。V(Y)和V(Y|xi)間的不同反映了Xi對Y的影響。當函數(shù)關系為非線性時,Xi的取值可能會造成V(Y|xi)比V(Y)大的情況。對于這種情形可先獲得在Xi變化范圍內(nèi)的條件方差,然后對條件方差取均值獲得EXi(V(Y|xi))。當EXi(V(Y|xi))特別小時,即認為當Xi為某個固定值時,Y的不確定性相應的變得很小,表明Xi的不確定性影響了Y的不確定性,從而說明Xi對Y具有較大的影響程度[10-13]。

由于

V(Y)=Exi(VX-i(Y|xi))+VXi(EX-i(Y|xi))

(23)

由式(19)可知,VXi(EX-i(Y|xi))越大,則Xi對Y的影響越大。因此,基于Sobol指數(shù)法模型的敏感性指標可表示為

Xi的“主效應”指數(shù)為SXi,表明了Xi單獨對Y的方差的貢獻度,取值在[0,1]范圍內(nèi)。

根據(jù)“主效應”指數(shù)SXi的大小來對各個輸入能力指標進行敏感性排序,SXi越大,說明該指標參數(shù)輸入變動與輸出的變動成正比關系。

若將輸入因素X1,X2,…,Xr分為Xi和X-i兩組。VX-i(EXi(Y|x-i))為除Xi指標外的所有其他因素單獨對Y的方差的影響;相對應的對立事件,V(Y)-VX-i(EXi(Y|x-i))就表示了所有與Xi有關的能力指標因素對Y的方差的影響[14]。

2.2 基于蒙特卡洛采樣的算法設計

蒙特卡洛方法(Monte Carlo)主要通過統(tǒng)計抽樣實驗,來提供近似解,在Sobol指數(shù)法中可采用蒙特卡洛方法進行數(shù)值解的產(chǎn)生,本節(jié)進行基于蒙特卡洛采樣的敏感性方法設計。

首先,采用Sobol sequence進行采樣,生成2個N*D輸入矩陣,分別為A和B

構造矩陣ABi,即用矩陣B中的第i列替換矩陣A的第i列。

經(jīng)過以上步驟,就可得到(D+2)*N組輸入矩陣,將這些數(shù)據(jù)代入到函數(shù)當中,得到對應的輸出矩陣。

V(Y)=Exi(VX-i(Y|xi))+VXi(EX-i(Y|xi))

(28)

所以

首先建立參數(shù)維度,即參數(shù)的個數(shù)為矩陣的維度,之后設定各參數(shù)下限和上限[16],本文已對參數(shù)進行歸一化處理,因此這里的上限和下限理論為0和1,在計算過程中,有些參數(shù)位于分母的位置,因此實際上的下限是趨近于零但是不為零,具體流程如圖6所示。

圖6 敏感性指數(shù)計算流程

3 仿真計算和結果分析

水面艦艇防空主要依靠導彈與艦炮武器協(xié)同作戰(zhàn)對空中目標進行梯次攔截,建立防空作戰(zhàn)效能敏感性分析函數(shù)為:

(33)

為探尋艦艇防空作戰(zhàn)武器能力指標變化對防空作戰(zhàn)效能的影響,對艦艇防空導彈以及艦炮武器的主要能力指標進行抽樣,設計不同的武器裝備能力指標輸入變量組合,各能力指標的取值變化范圍如表3所示。

表3 各輸入變量的取值情況

基于蒙特卡洛采樣的算法計算不同能力指標下的艦艇防空作戰(zhàn)效能,在此基礎上進行Sobol指數(shù)的計算,得到能力指標輸入變量的主效應指數(shù)和全效應指數(shù)變化關系如圖7所示。

圖7 基于蒙特卡洛采樣的主效應指數(shù)變化圖

圖8中各線分別表示相應輸入因素的效應指數(shù)變化曲線,可以看出,采用蒙特卡羅方法,隨著樣本數(shù)量的不斷增加,各效應指數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定,精度得到了提高。圖9中的敏感性指標之和也反映了它們的穩(wěn)定性變化趨勢。

圖8 基于蒙特卡洛采樣的全效應指數(shù)變化圖

圖9 敏感性指標之和穩(wěn)定性變化趨勢

各輸入因素主效應及全效應指數(shù)的排序結果如表4所示。

表4 各輸入因素主效應及全效應排序

主效應指數(shù)越大,表明該能力指標的變動對作戰(zhàn)效能輸出的變動影響越大;全效應指數(shù)中包含了能力指標變量之間的交互效應,全效應指數(shù)較大,表明該指標的全效應以及該指標與其了指標之間的交互效應均較大,即其變化對作戰(zhàn)效能變化影響程度較大。從分析結果來看,全局敏感性分析方法Sobol指數(shù)法在分析艦艇武器防空作戰(zhàn)效能時,所有武器裝備指標的取值是在其變化范圍內(nèi)同時變化,各能力指標之間的互相影響被考慮進來。在艦艇防空作戰(zhàn)效能中,防空導彈的命中概率、系統(tǒng)反應時間、飛行速度的主效應及全效應都比較大,表明這3個指標對艦艇防空作戰(zhàn)效能的影響較大,同時與其他防空武器能力指標之間的交互效應較為明顯,因此在艦艇防空武器裝備的發(fā)展論證過程中,應當重點關注這幾個能力指標與其他之間的交互關系。

4 結論

對艦艇防空作戰(zhàn)效能敏感性進行分析,找出影響作戰(zhàn)效能的關鍵因素、減少作戰(zhàn)效能的不確定性,是優(yōu)化體系結構、提高體系作戰(zhàn)效能的重要途徑。本文從武器裝備的角度出發(fā),建立了基于冪指數(shù)法艦艇防空作戰(zhàn)效能評估模型,利用Sobol指數(shù)法進行作戰(zhàn)效能全局敏感性分析,結果表明:

1) 基于冪指數(shù)法的艦艇防空作戰(zhàn)效能評估模型是在防空武器裝備能力指標的基礎上建立的,對從定性定量角度分析作戰(zhàn)效能的敏感性具有一定的優(yōu)越性。

2) Sobol指數(shù)法計算時不依賴于模型,能在能力指標參數(shù)的所有范圍內(nèi)對艦艇防空作戰(zhàn)效能進行分析,能定量地計算出能力指標之間存在的相互效應,發(fā)現(xiàn)能力指標對作戰(zhàn)效能的影響關系,較好地滿足了艦艇防空作戰(zhàn)效能分析的需要。

3) 針對敏感性分析要求模型運算量大的問題,提出基于蒙特卡洛采樣的算法設計,通過仿真可以看出敏感性分析結果較為穩(wěn)定,防空導彈對于艦艇防空作戰(zhàn)效能的敏感性更高,其中命中概率、系統(tǒng)反應時間、飛行速度的主效應及全效應指數(shù)較大,可為艦艇防空武器的論證工作提供一定的參考和依據(jù)。