最小均方自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)及性能影響因素分析

王秋莎,張 崢,王 磊,程子瑋,閆 鵬

(1.中國(guó)電建集團(tuán)河北省電力勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司,河北 石家莊 050031;2.國(guó)網(wǎng)吉林省電力有限公司長(zhǎng)春供電公司,吉林 長(zhǎng)春 130021;3.國(guó)網(wǎng)河北省電力有限公司電力科學(xué)研究院,河北 石家莊 050021)

0 引言

同步相量測(cè)量單元(Phasor Measurement Unit,PMU)是全局同步時(shí)鐘下實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)中電壓和電流信號(hào)同步相量、頻率和頻率變化率測(cè)量的儀器。噪聲是測(cè)量信號(hào)中無(wú)法避免的問(wèn)題,會(huì)造成測(cè)量信號(hào)部分湮滅,導(dǎo)致測(cè)量信號(hào)波形失真、信噪比降低,影響關(guān)鍵數(shù)據(jù)檢測(cè)、特征值提取等高級(jí)應(yīng)用。PMU 測(cè)量的信號(hào)中通常包括大量噪聲,對(duì)PMU應(yīng)用造成了較大影響。

在電力行業(yè),當(dāng)被測(cè)信號(hào)信噪比低于40 dB時(shí),被測(cè)信號(hào)會(huì)被噪聲嚴(yán)重影響,關(guān)鍵數(shù)據(jù)及特征值將難以提取。因此,在電力行業(yè)信號(hào)測(cè)量過(guò)程中,選擇合適工具對(duì)被測(cè)信號(hào)中的噪聲進(jìn)行有效處理,減少噪聲產(chǎn)生的不良影響,是本領(lǐng)域研究的重點(diǎn)方向。

數(shù)字濾波器是按照預(yù)先設(shè)計(jì)好的濾波算法程序,達(dá)到對(duì)測(cè)量波形信號(hào)濾波的目的。文獻(xiàn)[1]通過(guò)濾波獲取各模態(tài)的電壓和電流信號(hào)。文獻(xiàn)[2]提出基于量測(cè)量誤差協(xié)方差次優(yōu)估計(jì)的自適應(yīng)強(qiáng)跟蹤無(wú)跡卡爾曼濾波的同步相量測(cè)量算法,對(duì)突變具有更好的檢測(cè)靈敏度和更高的跟蹤速度。文獻(xiàn)[3]提出一種基于頻率成分在線分析的帶陷波齒的FIR 濾波器,實(shí)現(xiàn)濾波器中心頻率和陷波齒位置的自適應(yīng)調(diào)整。文獻(xiàn)[4]提出基于一組線性相位有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波的動(dòng)態(tài)相量測(cè)量算法,實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)和暫態(tài)條件下同步相量的精確測(cè)量。本文在數(shù)字濾波器基礎(chǔ)上提出最小均方(LMS)自適應(yīng)濾波器,并對(duì)其參數(shù)變化影響進(jìn)行分析,掌握其規(guī)律,對(duì)于處理同步相量測(cè)量單元采集數(shù)據(jù)具有重要作用。

1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

數(shù)字濾波器是按照預(yù)先設(shè)計(jì)好的濾波算法程序,達(dá)到對(duì)測(cè)量波形信號(hào)濾波的目的。數(shù)字濾波器依據(jù)單位沖擊響應(yīng)時(shí)間特性,分為無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器[5-6]。

1.1 IIR 數(shù)字濾波器

IIR 數(shù)字濾波器是一種遞歸線性時(shí)不變因果系統(tǒng),其差分方程為

式中:x(n)為輸入序列;y(n)為輸出序列;M、N為自然數(shù),且N＞M,a i和b j為濾波器的權(quán)值系數(shù)。

從式(1)可以看出,在對(duì)輸入序列和輸出序列進(jìn)行延時(shí)后,通過(guò)加權(quán)和相加運(yùn)算即可得到IIR 濾波后的輸出序列。

通過(guò)z變換之后,可得

因此,IIR 數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)

IIR 濾波器設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上是尋找一組權(quán)值參數(shù)a i和b j,使其性能滿足預(yù)定的設(shè)計(jì)技術(shù)要求。

1.2 FIR 數(shù)字濾波器

FIR數(shù)字濾波器是對(duì)N個(gè)采樣數(shù)據(jù)執(zhí)行加權(quán)和平均的處理,其差分方程為

式中:h(n)為濾波器的單位沖激響應(yīng)。通過(guò)z變換之后,可得FIR 數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為

2 LMS自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)

2.1 基本原理

在工程中,一般無(wú)法掌握信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)特性。此時(shí),自適應(yīng)濾波技術(shù)在不需要輸入信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)的前提下,能夠獲得極佳的濾波性能,因而具有很好的應(yīng)用價(jià)值,由參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法組成,其原理如圖1所示。

輸入信號(hào)x(n)通過(guò)參數(shù)可調(diào)數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號(hào)y(n),將其與期望信號(hào)d(n)進(jìn)行比較,形成誤差信號(hào)e(n)。自適應(yīng)濾波器的權(quán)值系數(shù)依據(jù)誤差信號(hào)e(n),采用選取的自適應(yīng)算法反復(fù)調(diào)整,使輸出信號(hào)y(n)無(wú)限接近期望信號(hào)d(n)。濾波器系數(shù)權(quán)值更新通過(guò)自適應(yīng)濾波算法實(shí)現(xiàn),計(jì)及x(n)、d(n)、e(n),通過(guò)選取的算法對(duì)濾波器的權(quán)值系數(shù)進(jìn)行迭代更新,獲得新的權(quán)值系數(shù),實(shí)現(xiàn)對(duì)未來(lái)信號(hào)的自適應(yīng)處理,能夠使濾波器的輸出趨向于d(n) 。常用的算法準(zhǔn)則為最小均方誤差準(zhǔn)則,由此產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的自適應(yīng)濾波技術(shù)為L(zhǎng)MS自適應(yīng)濾波器[7]。

2.2 計(jì)算方法

LMS算法通過(guò)最小均方誤差準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn),通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)權(quán)值系數(shù)使濾波器的輸出信號(hào)y(n)與期望響應(yīng)信號(hào)d(n)之間的均方誤差E[e2(n)]最小。為求解該最小優(yōu)化問(wèn)題時(shí),LMS算法采用隨機(jī)梯度下降算法,在每次迭代時(shí)濾波器的權(quán)值矢量沿著梯度的負(fù)方向進(jìn)行更新。倘若要得到精確的梯度矢量,需要知道信號(hào)的自相關(guān)矩陣R =E[x(n)xT(n)]和互相關(guān)矩陣P=E[d(n)x(n)],必須根據(jù)已有數(shù)據(jù)對(duì)梯度矢量進(jìn)行估計(jì)。

LMS算法的關(guān)鍵技術(shù)是通過(guò)單次采樣的平方誤差代替均方誤差,即e2(n)替換E[e2(n)],達(dá)到簡(jiǎn)化梯度估計(jì)的目的。一般情況下,LMS自適應(yīng)濾波器采用橫向?yàn)V波器結(jié)構(gòu),其計(jì)算原理如圖2所示。

假設(shè)n時(shí)刻的輸入信號(hào)向量表達(dá)式為

式中:M為濾波器階數(shù),為固定值,根據(jù)具體需求確定。

濾波器權(quán)向量的計(jì)算方法為

則實(shí)際輸出信號(hào)的計(jì)算方法為

n時(shí)刻參考信號(hào)d(n) 與實(shí)際輸出信號(hào)間的誤差e(n) 計(jì)算方法為

LMS算法采用x(n) 與d(n) 的特定關(guān)系,不斷改進(jìn)自適應(yīng)濾波器權(quán)系數(shù),使均方誤差達(dá)最小化,達(dá)到最優(yōu)濾波的目的。設(shè)誤差平方為

則均方誤差定義為

式中:P為原始信號(hào)和參考信號(hào)互相關(guān)矩陣,P=E[d(n)x(n)];R為參考信號(hào)自相關(guān)矩陣,R =E[x(n)xT(n)]。

對(duì)均方誤差求w(n) 的導(dǎo)數(shù)

并令式(12)中梯度向量為0,經(jīng)求解可得到使代價(jià)函數(shù)最小的濾波器權(quán)值系數(shù)

將式(13)帶入到均方誤差中得到使其成立的最小均方誤差為

最陡下降算法通過(guò)控制權(quán)值沿著均方誤差最小的梯度方向移動(dòng),即

式中:μ為自適應(yīng)算法步長(zhǎng)。由于自相關(guān)矩陣R和期望信號(hào)互相關(guān)矩陣P難以獲取,因此最陡下降算法在自適應(yīng)濾波環(huán)節(jié)中不常使用。LMS算法通過(guò)瞬時(shí)平方誤差e2、R和P的瞬時(shí)估計(jì)值估計(jì)梯度向量。R和P的瞬時(shí)估計(jì)值為

梯度向量的瞬時(shí)估計(jì)值為

權(quán)值更新公式為

為使算法收斂,步長(zhǎng)μ應(yīng)滿足

式中:λmax為輸入信號(hào)X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M +1)]T自相關(guān)矩陣的最大特征值。

通過(guò)不斷迭代權(quán)系數(shù)w(n)變化,最終趨近于最優(yōu)解,使實(shí)際輸出信號(hào)y(n)與參考信號(hào)d(n)的誤差接近0。

3 算例分析

3.1 LMS濾波器應(yīng)用及效果

含有次同步振蕩(SSR)歸一化后的電流波形數(shù)據(jù)如公式(20)所示,各變量參數(shù)值如表1所示。

設(shè)置LMS濾波器的階數(shù)M=15,步長(zhǎng)參數(shù)μ=0.005。經(jīng)LMS濾波器后的波形數(shù)據(jù)和頻譜、以及采用輸出誤差隨迭代次數(shù)所表示的學(xué)習(xí)曲線如圖3所示。

圖3 LMS濾波器應(yīng)用的效果

3.2 參數(shù)變化影響分析

3.2.1 步長(zhǎng)參數(shù)μ

圖4顯示了在相同的濾波器階數(shù)M =15下,步長(zhǎng)參數(shù)μ=0.000 1、0.001、0.05、0.5時(shí),LMS濾波后的時(shí)域波形圖和學(xué)習(xí)曲線。

圖4 步長(zhǎng)參數(shù)μ 對(duì)LMS濾波器性能的影響

由圖4可見(jiàn),步長(zhǎng)參數(shù)μ對(duì)收斂速度、跟蹤速度、穩(wěn)態(tài)誤差等指標(biāo)影響作用明顯。步長(zhǎng)參數(shù)μ過(guò)小,會(huì)使算法收斂的很慢,且濾波效果不佳。適當(dāng)較小的步長(zhǎng)參數(shù)μ(如圖4 的μ=0.001 和0.05),盡管收斂速度不快,但會(huì)獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差從而提高算法的精度,對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)來(lái)說(shuō)較小的步長(zhǎng)參數(shù)μ也會(huì)導(dǎo)致跟蹤速度減小。此時(shí)可適當(dāng)提高步長(zhǎng)參數(shù)μ來(lái)提高濾波器的跟蹤速度,會(huì)帶來(lái)較大的穩(wěn)態(tài)誤差,降低算法的精度。但是,步長(zhǎng)參數(shù)μ不宜過(guò)大(如圖4 的μ=0.5),會(huì)造成LMS濾波算法的不穩(wěn)定,導(dǎo)致不能實(shí)現(xiàn)濾波的目標(biāo)。因此,需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景,選取合適的步長(zhǎng)參數(shù)。

3.2.2 濾波器階數(shù)M

將步長(zhǎng)參數(shù)設(shè)置為μ=0.05,改變LMS濾波器階數(shù)M=3、15、25、35,圖5顯示了LMS濾波后不同階數(shù)的時(shí)域波形圖和學(xué)習(xí)曲線。

圖5 濾波器階數(shù)M 對(duì)LMS濾波器性能的影響

由圖5可知,當(dāng)濾波器階數(shù)M過(guò)小或過(guò)大時(shí),均不能很好地對(duì)噪聲進(jìn)行有效抑制。只有當(dāng)自適應(yīng)濾波器的階數(shù)與噪聲通道的傳遞函數(shù)F(z)的階數(shù)一致時(shí),才能有效地抑制噪聲。而當(dāng)濾波器階數(shù)小于F(z)階數(shù)時(shí),輸入通道的噪聲將無(wú)法與參考通道的噪聲抵消,會(huì)導(dǎo)致最小均方差變大;當(dāng)濾波器階數(shù)大于F(z)的階數(shù)時(shí),會(huì)引起失調(diào)變大。因此,只在濾波器階數(shù)等于F(z)階數(shù)情況下,自適應(yīng)濾波器性能最佳。

3.2.3 信噪比

將步長(zhǎng)參數(shù)設(shè)置為μ=0.05,LMS濾波器階數(shù)設(shè)置為M=15,改變信噪比RSN的數(shù)值,分別為20 dB、10 dB、0 dB、-10 dB,圖6顯示了LMS濾波后的時(shí)域波形圖和學(xué)習(xí)曲線。

圖6 信噪比R SN對(duì)LMS濾波器性能的影響(M=15)

由圖6可見(jiàn),當(dāng)信噪比降低時(shí),LMS算法的性能將急劇惡化。進(jìn)一步地,嘗試增加濾波器階數(shù)M=25時(shí),RSN=20 dB、10 dB、0 dB、-10 d B,圖7顯示了LMS濾波后的時(shí)域波形圖和學(xué)習(xí)曲線。

圖7 信噪比R SN對(duì)LMS濾波器性能的影響(M=25)

由圖7可見(jiàn),增加濾波器階數(shù)并不能帶來(lái)濾波效果的改善。因此,當(dāng)信噪比降低時(shí),需考慮采用其他的濾波方法。

4 結(jié)論

LMS算法具有算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、復(fù)雜度低,能夠抑制旁瓣效應(yīng)的優(yōu)勢(shì)。本文闡述了LMS濾波器基本原理,通過(guò)算例,分析了步長(zhǎng)參數(shù)、濾波器階數(shù)、信噪比變化對(duì)LMS 濾波器收斂速度、系統(tǒng)跟蹤速度和穩(wěn)態(tài)誤差等指標(biāo)的影響,得出其變化規(guī)律,對(duì)于處理同步相量測(cè)量單元采集數(shù)據(jù)具有重要作用。

LMS算法進(jìn)一步可以應(yīng)用于新能源寬頻振蕩風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、儲(chǔ)能系統(tǒng)荷電狀態(tài)估計(jì)、變壓器局部放電監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域。此外,LMS算法具有收斂速度快、穩(wěn)定性高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)勢(shì),在需要干擾對(duì)消的軍事、醫(yī)療、科研生產(chǎn)等領(lǐng)域,均具有廣泛的應(yīng)用前景,例如天線陣列旁瓣對(duì)消、雷達(dá)干擾對(duì)消、降低設(shè)備電源干擾等。