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    “數(shù)形結(jié)合”解簡(jiǎn)單指(對(duì))數(shù)不等式

    2023-08-01 18:46:18袁少軍
    高中數(shù)理化 2023年13期
    關(guān)鍵詞:因式易知草圖

    袁少軍

    (湖北省麻城市第二中學(xué))

    人教A 版數(shù)學(xué)教材《必修1》中介紹了一元二次不等式的解法,其中解含參數(shù)的不等式是一類重難點(diǎn)問題,教材也著重對(duì)該類問題進(jìn)行了探究.但后續(xù)的學(xué)習(xí)中有關(guān)指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法卻沒作重點(diǎn)研究,以至于在高二、高三導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中,學(xué)生遇到有關(guān)不等式的問題時(shí),困難重重,錯(cuò)誤頻出.

    1 問題的呈現(xiàn)

    此題得分偏低,解答中出現(xiàn)的錯(cuò)誤很多,有的同學(xué)沒有注意函數(shù)的定義域,有的同學(xué)沒有進(jìn)行分類討論…… 我們先回顧一下一元二次不等式的求解過程:首先是將一元二次不等式化簡(jiǎn)整理為ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0等)的規(guī)范形式,然后利用Δ>0,求出對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根x1,x2(不妨設(shè)x1<x2),再結(jié)合對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像,在a>0時(shí),拋物線開口向上,最后可得解集{x|x<x1或x>x2},其余情形,這里不再贅述.總結(jié)起來,就是先尋找函數(shù)的零點(diǎn),再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的圖像得出不等式的解集.

    2 系數(shù)為常數(shù)的指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法

    例1解下列不等式:

    (1)ex-2>0;

    (2)1-2lnx>0.

    解析

    (1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-2,則f(x)的零點(diǎn)為x=ln2,易知f(x)單調(diào)遞增,則可作出f(x)的草圖如圖1所示,故所求不等式的解集為(ln2,+∞).

    (2)設(shè)函數(shù)g(x)=1-2lnx,則g(x)的零點(diǎn)為,易知g(x)單調(diào)遞減,且x∈(0,+∞),則可作出g(x)的草圖如圖2所示,故所求不等式的解集為

    圖2

    點(diǎn)評(píng)

    求解此類不等式的方法很多,此處所用的方法是先求函數(shù)零點(diǎn),再判斷函數(shù)的單調(diào)性,最后根據(jù)“數(shù)形結(jié)合”得出解集.

    例2解下列不等式:

    (1)(ex-1)(ex-2)>0;

    (2)(x-2)(ex-2)<0.

    解析

    (1)方法1因?yàn)?ex-1)(ex-2)>0,所以

    方法2設(shè)函數(shù)f(x)=(ex-1)(ex-2),則f(x)的零點(diǎn)為x1=0,x2=ln2,在每一個(gè)因式中ex的系數(shù)為正的條件下,作出f(x)的草圖如圖3所示,可得解集為(-∞,0)∪(ln2,+∞).

    圖3

    方法2設(shè)函數(shù)g(x)=(x-2)(ex-2),則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)為x1=2,x2=ln2,在兩個(gè)因式中x和ex的系數(shù)都為正的條件下,作出g(x)的草圖如圖4 所示,可得解集為(ln2,2).

    圖4

    點(diǎn)評(píng)

    方法1是通過分類討論,將之轉(zhuǎn)化成求解不等式組.方法2先將不等式進(jìn)行因式分解,使每一項(xiàng)的系數(shù)為正,再求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)(即對(duì)應(yīng)方程的根),然后在數(shù)軸上按大小順序依次標(biāo)根,最后從右往左、自上而下依次穿根得到解集.

    3 含參數(shù)的指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法

    此類問題多見于導(dǎo)數(shù)解答題中的單調(diào)性討論問題,如“指數(shù)函數(shù)與一次、二次函數(shù)聯(lián)袂的函數(shù)”,還有“對(duì)數(shù)函數(shù)與一次、二次函數(shù)聯(lián)袂的函數(shù)”.此類函數(shù)求導(dǎo)后的導(dǎo)函數(shù)常常是以下形式:(mx+n)(aex+b),(mx+n)(alnx+b).對(duì)于導(dǎo)函數(shù)為(mx+n)·(aex+b)(m,n為系數(shù))形式的函數(shù),我們較熟悉,此處不作討論;對(duì)于a,b為參數(shù)時(shí),可作如下分類討論:

    當(dāng)a=0時(shí),導(dǎo)函數(shù)變?yōu)?mx+n)·b,利用一次函數(shù)的性質(zhì)討論即可;

    當(dāng)a,b同號(hào)時(shí),若導(dǎo)函數(shù)中的因式(aex+b)恒為正或恒為負(fù),討論(mx+n)即可;

    當(dāng)a,b異號(hào)時(shí),設(shè)導(dǎo)函數(shù)(mx+n)(aex+b)的零點(diǎn)為x1,x2,再依據(jù)m,a的正負(fù),對(duì)有關(guān)的不等式進(jìn)行分類討論即可.

    例3已知函數(shù)f(x)=aex-x-1(a∈R),試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

    解析

    易知f(x)的定義域?yàn)镽,且f′(x)=aex-1.當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)=aex-1<0恒成立,故f(x)在R上單調(diào)遞減.

    當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=aex-1=0,可得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為x=-lna,此時(shí)f′(x)在a>0的條件下單調(diào)遞增,可作出f′(x)的草圖如圖5所示,則aex-1>0的解集為(-lna,+∞),故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-lna,+∞);同理,aex-1<0 的解集為(-∞,-lna),故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-lna).

    圖5

    綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-lna,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-lna).

    點(diǎn)評(píng)

    求解有關(guān)導(dǎo)函數(shù)的不等式時(shí),可以通過數(shù)形結(jié)合思想得出不等式的解集,從而寫出正確的單調(diào)區(qū)間.

    令f′(x)=0,得x=1或a.

    當(dāng)a=1時(shí),f′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立),故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    當(dāng)0<a<1時(shí),令f′(x)>0,則(x-a)lnx>0,此時(shí)兩個(gè)因式中x和lnx的系數(shù)都為正的條件下,零點(diǎn)為x1=1或x2=a(x1>x2),作出φ(x)=(xa)lnx的草圖如圖6所示,可得出解集為(0,a)∪(1,+∞);令f′(x)<0,則(x-a)·lnx<0,同理可得出解集為(a,1).

    圖6

    當(dāng)a>1時(shí),令f′(x)>0,則(x-a)lnx>0,此時(shí)兩個(gè)因式中x和lnx的系數(shù)都為正的條件下,零點(diǎn)為x1=1或x2=a(x1<x2),作出φ(x)=(x-a)lnx的草圖如圖7 所示,可得出解集為(0,1)∪(a+∞);令f′(x)<0,則(x-a)lnx<0,同理可得出解集為(1,a).

    圖7

    綜上,當(dāng)a=1時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1);當(dāng)a>1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).

    點(diǎn)評(píng)

    此題中導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),類比一元二次不等式的“數(shù)軸標(biāo)根法”,可以準(zhǔn)確地寫出導(dǎo)數(shù)不等式的解集,求出單調(diào)區(qū)間.

    例5已知函數(shù)f(x)=ae2x+(1-2a)ex-x,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

    解析

    函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且

    當(dāng)a≥0時(shí),2aex+1>0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0).

    (完)

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