求解含參三次函數(shù)問題要有四種意識(shí)

周 胥

(廣東省深圳市布吉高級(jí)中學(xué))

縱覽歷年高考,三次函數(shù)問題的考查力度逐年增大.在高次函數(shù)家族里,三次函數(shù)雖然最簡(jiǎn)單,但當(dāng)三次函數(shù)問題中含有參數(shù)或與其他知識(shí)綜合考查時(shí),它的難度就上升了,因此很有必要對(duì)三次函數(shù)問題的求解策略進(jìn)行研究.筆者認(rèn)為,求解含參三次函數(shù)問題要有四種意識(shí),即方程意識(shí)、數(shù)形結(jié)合意識(shí)、分類討論意識(shí)和等價(jià)轉(zhuǎn)化意識(shí),本文將依次舉例說明.

1 方程意識(shí)

求參數(shù)的值,一般采用待定系數(shù)法,通過解方程解決.對(duì)于含參數(shù)的三次函數(shù)解析式,要確定參數(shù)的值,可以根據(jù)題設(shè)條件列方程或方程組.

例1已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的極值點(diǎn)為－1和1,求函數(shù)f(x)的解析式.

分析根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系列方程或方程組求解得出a,b的值,由此得出解析式.

解易求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝6x2＋2ax＋b,因?yàn)閒(x)的極值點(diǎn)為－1和1,所以

點(diǎn)評(píng)

本例中的三次函數(shù)有兩個(gè)待求參數(shù),所以可建立方程組求解.這類問題難度不大,主要考查函數(shù)極值的意義.

2 數(shù)形結(jié)合意識(shí)

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí),很容易作出三次函數(shù)的圖像.三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),它的圖像也容易作出.我們可以利用它們圖像之間的關(guān)系找到三次函數(shù)問題的解題思路.

例2已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若f(x1)＝x1＜x2,則關(guān)于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0的不相等的實(shí)根個(gè)數(shù)為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

分析對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),將函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2轉(zhuǎn)化為f′(x)＝0 的兩個(gè)根,即可推出關(guān)于f(x)的方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0 的兩個(gè)根為f(x)＝x1或x2.若f(x1)＝x1＜x2,由導(dǎo)函數(shù)圖像,判斷函數(shù)的單調(diào)性,并畫出函數(shù)圖像,由圖像即可求出方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0不同的實(shí)根.

解因?yàn)閒′(x)＝x2＋bx＋c,由題意知x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),即x1,x2是方程x2＋bx＋c＝0 的兩個(gè)根,從而關(guān)于f(x)的方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0有兩個(gè)根,f(x)＝x1或x2.

若f(x1)＝x1＜x2,則根據(jù)題意可畫出函數(shù)f′(x)和f(x)的圖像,如圖1、圖2所示.

一陣涼風(fēng)透過窗戶縫隙吹進(jìn)來(lái)，把緊閉著的衛(wèi)生間窗簾掀開了一條縫。她一驚，伸手要去拉攏來(lái)?？删驮谒氖钟|到窗簾的剎那間，她的目光無(wú)意間投向了窗外，她看到了一個(gè)令人心跳耳熱的鏡頭。對(duì)面一間房子的窗戶，窗口的大紅雙喜還未褪色，不知是疏忽，還是過于急切，那對(duì)年輕夫妻未拉上窗簾也未關(guān)燈就除去彼此的衣物，赤裸地滾落床第，兩具肉體像柔軟的藤條般纏繞在一起，似乎憋足了半個(gè)世紀(jì)的愛和欲要在這一刻盡情地傾瀉……

圖1

圖2

由圖可看出f(x)＝x1有兩個(gè)不相等的實(shí)根,f(x)＝x2只有一個(gè)實(shí)根.

綜上,方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0的不相等的實(shí)根個(gè)數(shù)為3個(gè),故選B.

點(diǎn)評(píng)

上面的解法借助數(shù)形結(jié)合揭示了三次函數(shù)圖像及其導(dǎo)函數(shù)的圖像之間的關(guān)系,解題過程既直觀,又清晰.

3 分類討論意識(shí)

當(dāng)含參數(shù)的三次函數(shù)問題要求某個(gè)參量的取值范圍時(shí),一般需分類討論,尤其是函數(shù)單調(diào)性與極值的討論,是常考題型.

例3若函數(shù)f(x)＝(x＋2)2(x－a)的極小值小于0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______.

分析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系、極小值的定義分類討論進(jìn)行求解即可.

點(diǎn)評(píng)

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的大小進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵.在許多研究函數(shù)性質(zhì)的問題中,我們常常利用不等式作為解題的工具.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,對(duì)應(yīng)著解相應(yīng)的不等式;求參數(shù)的取值范圍,對(duì)應(yīng)著研究不等式恒成立問題,于是通常把原問題轉(zhuǎn)化為含參不等式問題,因此解題時(shí)要有分類討論意識(shí).

4 等價(jià)轉(zhuǎn)換意識(shí)

求解含參三次函數(shù)問題,通?？赏ㄟ^求導(dǎo)將原問題轉(zhuǎn)化成二次問題(包括二次函數(shù)、二次方程和二次不等式),最常見的是方程有解問題和不等式恒成立問題.

例4(1)已知沒有極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

A.(0,1) B.(－∞,0)∪(1,＋∞)

C.[0,2] D.(－∞,0]∪[2,＋∞)

(2)已知f(x)＝x3－x,如果過點(diǎn)(2,m)可作曲線y＝f(x)的3條切線,則m的取值范圍是_______.

分析(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可知f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解本題.(2)由導(dǎo)數(shù)法可得過(t,f(t))的切線方程為y＝(3t2－1)x－2t3,由過點(diǎn)(2,m)可作曲線y＝f(x)的3條切線得m＝－2t3＋6t2－2有3個(gè)不相等的實(shí)根,令g(t)＝2t3－6t2＋2＋m,由導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性與極值,根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出范圍即可.

解(1)因?yàn)樗詅′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.

因?yàn)閒(x)沒有極值,所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.又因?yàn)閒′(x)的開口向上,所以f′(x)≥0恒成立,即Δ≤0,所以[2(a－1)]2－4≤0,整理得a2－2a≤0,解得0≤a≤2,所以a∈[0,2],故選C.

(2)f′(x)＝3x2－1,則過(t,f(t))的切線為yf(t)＝f′(t)(x－t),即y＝(3t2－1)x－2t3.由過點(diǎn)(2,m)可作曲線y＝f(x)的 三條切線,得m＝－2t3＋6t2－2有3個(gè)不相等的實(shí)根.

令g(t)＝2t3－6t2＋2＋m,則g′(t)＝6t2－12t,由g′(t)＝0,得t＝0或2.

當(dāng)t＜0或t＞2,g′(t)＞0,g(t)單調(diào)遞增;當(dāng)0＜t＜2,g′(t)＜0,g(t)單調(diào)遞減,故當(dāng)t＝0 時(shí),函數(shù)g(t)取得極大值2＋m;當(dāng)t＝2時(shí),函數(shù)g(t)取得極小值m－6.要使g(t)＝0 有3 個(gè)不相等的實(shí)根,則－2＜m＜6,即m的取值范圍是(－2,6).

點(diǎn)評(píng)

第(1)問中的函數(shù)f(x)沒有極值,可等價(jià)轉(zhuǎn)化為該函數(shù)單調(diào),即f′(x)≥0或f′(x)≤0,于是轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題;第(2)問中過一定點(diǎn)作出曲線的三條切線很難理解,更不容易正確使用該條件,往往會(huì)使思維陷入誤區(qū),但合理地將存在三條切線問題轉(zhuǎn)化為方程存在3個(gè)不相等的實(shí)根問題,降低了問題難度,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的重要作用.

數(shù)學(xué)解題,思想方法先行.以上四種意識(shí),也是破解三次函數(shù)問題基本的思想方法.

(完)