一道創(chuàng)新性多選題的解法探究及高考溯源

王東海 王 晶

(1.安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué) 2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)院)

2023年3月中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測(cè)試數(shù)學(xué)第12題極具綜合性和創(chuàng)新性,且其題干簡(jiǎn)潔,沒(méi)有繁冗的文字,學(xué)生易想到使用數(shù)形結(jié)合法去處理.但此題融入了眾多數(shù)學(xué)思想與方法的考查,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)用水平和關(guān)鍵能力有較高要求,因而正確求解并非易事.也正因如此,本題的得分率較低.同時(shí),就筆者所進(jìn)行的調(diào)查結(jié)果而言,本題的區(qū)分度好,不失為一道比較成功的多項(xiàng)選擇題.

1 考題呈現(xiàn)

分析這道多選題考查了橢圓、點(diǎn)到直線距離等相關(guān)知識(shí),檢驗(yàn)了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,除了運(yùn)用常規(guī)的數(shù)形結(jié)合思想方法求解外,可以通過(guò)設(shè)而不求用根與系數(shù)的關(guān)系求解,也可以利用三角換元知識(shí)處理,還可以運(yùn)用仿射變換巧妙破解.試題設(shè)計(jì)精巧、內(nèi)涵豐富,是一道有探究?jī)r(jià)值的好題.

2 解法探究

視角1四個(gè)選項(xiàng)都可以看成P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn)到同一條直線的距離之和的倍數(shù)的最值,而對(duì)于x1x2＋9y1y2＝－2,可使用常規(guī)的根與系數(shù)的關(guān)系去處理.

3 追本溯源

3.1 教材溯源

2023年中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測(cè)試第12題是一道對(duì)思維能力有較高要求的好題,但它也不是無(wú)本之源,而是與教材有著緊密的聯(lián)系,正是貫徹了高考命題源于教材、高于教材的理念.上述四種方法中方法4相對(duì)運(yùn)算量較小,即利用仿射變換將橢圓變換成圓使求解更容易.事實(shí)上仿射變換實(shí)現(xiàn)橢圓和圓之間的轉(zhuǎn)化現(xiàn)行教材早有滲透,它來(lái)源于人教A 版數(shù)學(xué)《選擇性必修1》第108頁(yè)例2:

如圖1所示,在圓x2＋y2＝4 上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么? 為什么?

圖1

之后教材還進(jìn)一步給出一個(gè)思考:由例2我們發(fā)現(xiàn),可以由圓通過(guò)“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過(guò)“拉伸”得到橢圓嗎? 如何“拉伸”? 由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?

平時(shí)教學(xué)中只要將此例稍微引申一下即可理解仿射變換.另外,當(dāng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓x2＋9y2＝1上的點(diǎn)到直線2x＋3y－3＝0和x－3y＋5＝0的距離的最值后,就成為教材中熟悉的題目,見(jiàn)人教A 版數(shù)學(xué)《選擇性必修1》第116頁(yè)習(xí)題13:

(1)它到直線l的距離最小? 最小距離是多少?

(2)它到直線l的距離最大? 最大距離是多少?

因此,筆者重視對(duì)課本例題與習(xí)題的挖掘,尤其是對(duì)教材中那些蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想、開(kāi)闊的思路的例題與習(xí)題的挖掘,針對(duì)這些好題,挖掘其中的數(shù)學(xué)背景,剖析背后的數(shù)學(xué)本質(zhì),感悟試題設(shè)計(jì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等,為高考打好基礎(chǔ).

3.2 高考溯源

4 一般性結(jié)論

5 結(jié)論應(yīng)用

(完)