一道雙變量不等式問題引發(fā)的探究

王 欣 謝 輝 楊冬梅

(北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué))

雙變量導(dǎo)數(shù)問題一直是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的難點,求解此類問題的核心是消元,或通過同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求解.學(xué)生在問題解決的過程中,往往判斷不出兩個變量之間的關(guān)系,無法決定究竟是利用同構(gòu)法進行變量分離構(gòu)造新函數(shù),還是通過消元的方式減少變量的個數(shù),從而將原問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題.本文通過分析一道雙變量不等式問題解決過程中學(xué)生出現(xiàn)的錯誤,找到學(xué)生在知識與方法上的誤區(qū),制訂有針對性的學(xué)習(xí)策略.

1 錯解分析

評析上述解法至少存在三個誤區(qū):第一,將割線的斜率直接等同于切線的斜率;第二,忽略x1,x2,a之間的關(guān)系,認(rèn)為x1,x2是兩個任意的自變量;第三,過度放縮,導(dǎo)致a的取值影響到x1,x2的值.

錯解2學(xué)生受函數(shù)單調(diào)性定義的影響,將要證明的不等式進行了變量分離,證明過程如下.

部分學(xué)生在構(gòu)造上述函數(shù)求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn),導(dǎo)函數(shù)F′(x)的符號由分子這個二次函數(shù)決定,且由于原函數(shù)存在兩個正極值點,則可以得到a＞2,因此分析二次函數(shù)會發(fā)現(xiàn),其圖像大致如圖1所示.

圖1

因此,F′(x)并不滿足小于或等于0恒成立,故無法說明所構(gòu)造的函數(shù)為減函數(shù),從而無法完成證明.還有部分同學(xué)在的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)了a與x之間的關(guān)系,即所構(gòu)造的函數(shù)F(x)＝f(x)－(a－2)x,其自變量x其實是原函數(shù)的極值點,滿足x2－ax＋1＝0,變形后得到a＝x＋,將其代入F′(x),可得

于是F(x)是減函數(shù),從而認(rèn)為問題得證.

評析這種解法本質(zhì)的錯誤在于忽略了x1,x2是原函數(shù)的兩個極值點,并不是兩個自由的自變量,兩者之間是有制約關(guān)系的,而函數(shù)的單調(diào)性定義中的x1,x2是兩個彼此之間沒有制約關(guān)系的自變量.此外,將a用替換也存在問題,因為a本身就是一個關(guān)于原函數(shù)極值點x的函數(shù),在對F(x)進行求導(dǎo)時,不能將a視為常數(shù),在求導(dǎo)后又將a視為關(guān)于x的函數(shù),求導(dǎo)前后對于a的處理是矛盾的.此時終于有學(xué)生意識到構(gòu)造的函數(shù)F(x)其實是原函數(shù)的極值點,因此a是關(guān)于極值點x的函數(shù),應(yīng)該將a用x表示,以達到消元的目的,于是得到

圖2

這個問題從一開始就不能忽略x1,x2,a三者之間的關(guān)系,應(yīng)嘗試進行消元處理,將三個變量統(tǒng)一用一個變量來表示.

2 正解賞析

若f(x)有兩個極值點x1,x2,則x1＋x2＝a(a＞2),x1x2＝1,不妨設(shè)x1＜x2,則

評析此種解法是借助極值點的性質(zhì),找到x1,x2之間的關(guān)系,借助這個關(guān)系可以實現(xiàn)消元,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1或x2的單變量函數(shù)進行求解.在學(xué)習(xí)中,可以將這個問題進一步變成求f(x1)－f(x2)的取值范圍,于是有f(x1)－f(x2)＝2(x2－x1)＋a(lnx1－lnx2).運用消元的思想,借助極值點的性質(zhì),可以將a轉(zhuǎn)化為,將x2轉(zhuǎn)化為,則

即轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1的單變量函數(shù)問題.這種解決雙變量導(dǎo)數(shù)問題的方法屬于直接消元法,借助變量之間的關(guān)系實現(xiàn)“化二為一”,通過構(gòu)造新函數(shù)解決問題.

3 解題反思

雙變量導(dǎo)數(shù)問題屬于學(xué)習(xí)難點,學(xué)習(xí)時可以采取如下策略.

第一,搭設(shè)“臺階”.

解決上述問題前,可以先解決如下這個問題.

例1已知f(x)＝lnx＋ax2－2x有兩個不同的極值點,求a的取值范圍.

分析通過觀察該函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù),學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這個問題的本質(zhì)是方程2ax2－2x＋1＝0有兩個不相等的正數(shù)解x1,x2.于是有Δ＝4－8a＞0,,解得.通過這個問題的求解過程引導(dǎo)學(xué)生有意識地去關(guān)注極值點的性質(zhì)與兩個極值點之間的關(guān)系,為消元做好鋪墊.

第二,結(jié)構(gòu)類似問題的辨析.

分析這個問題中的x1,x2是任意的正數(shù),沒有相互的制約關(guān)系,這與x1,x2是函數(shù)的兩個不同的極值點有本質(zhì)的區(qū)別.解題時可以考慮同構(gòu)法,將含有x1,x2的不等式記為f(x1,x2)＞0(或＜0),通過分離變量的方法把不等式f(x1,x2)＞0中的x1,x2分配到不等式的兩邊,發(fā)現(xiàn)不等式兩邊的結(jié)構(gòu)一致,即f(x1,x2)＞0?F(x1)＞F(x2),從而可將雙變量的不等式問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)F(x)的單調(diào)性問題.

第三,解決任意自變量與消元法相結(jié)合的問題.

例3求證:對任意0＜x1＜x2,都有

分析學(xué)生在解決這個問題時,進行了兩種嘗試,其一是關(guān)注到了x1,x2是任意的正數(shù),因此嘗試通過同構(gòu)法進行變量分離,但是失敗了;其二是嘗試消元,但是沒有找到兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系,例如,都是某個函數(shù)的極值點或零點等,因此無法將一個變量用另一個變量來表示.此時,需要進一步關(guān)注不等式結(jié)構(gòu),通過引入第三個變量來實現(xiàn)消元,即欲證

雙變量不等式問題的求解策略是將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量,本質(zhì)上是消元.若兩個變量具有等量關(guān)系,可以采取直接消元法,即借助等量關(guān)系將一個變量用另一個變量來表示;若兩個變量是任意的,可以考慮同構(gòu)法,通過變量分離來解決;若無法實現(xiàn)同構(gòu),可以考慮間接消元法,即通過引入第三變量來表示問題中的變量,整體換元,實現(xiàn)“化二為一”.總之,解決雙變量不等式問題時,學(xué)生需要觀察結(jié)構(gòu),識別類型,合理變形轉(zhuǎn)化.

(完)