探析高考真題，明晰備考方向
——對2023年全國乙卷數學試題的評析

劉海濤 萬 勝

(1.安徽省蕪湖市第一中學 2.新青年數學教師工作室)

2023年教育部考試中心共命制了六套數學試卷(全國甲卷、乙卷的文科、理科試卷和新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷),其中內蒙古、江西、河南、陜西、甘肅、青海、寧夏、新疆等地區(qū)使用了全國乙卷.高考結束,筆者與這幾個地區(qū)的師生交流,他們反映試卷難度總體平穩(wěn),比預期略低,學生考完也信心滿滿.《中國高考評價體系》指出:通過設置真實的問題情境,考查學生靈活運用所學知識分析、解決問題的能力,允許學生從多角度作答,使“死記硬背”“機械刷題”“題海戰(zhàn)術”的收益大大降低,引導學生的關注點從“解題”向“解決問題”、從“做題”向“做人做事”轉變.今年的全國乙卷數學試題在注重能力和素養(yǎng)考查的同時,深化了對德育的考查,與2022年全國乙卷相比,難度相當,但結構上更加新穎,更加注重對學生“四基”“四能”的考查,整體看試卷兼具基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性.下面筆者以2023年全國乙卷中部分試題為例,深度探析高考真題,剖析高考試題的命題特色,總結規(guī)律,明晰高考備考方向.

1 特色試題賞析

1.1 立足基礎，考查通性通法

《中國高考評價體系》指出:高考圍繞學科主干內容,加強對基本概念、基本思想的考查,杜絕偏難怪題和繁難試題,引導教學重視教材,夯實學生學習基礎,給學生提供深度學習和思考的空間.2023年全國乙卷數學試題注重基礎知識和基本方法的考查,試題的命制圍繞高中數學的基本知識與基本概念展開,如文科卷的第1,2,3,4,5,6,7,13,14,15,22,23等題,理科卷的第1,2,3,4,13,14,22,23等題,均來源于教材例題、習題的改編,只要學生基礎扎實,考場上做這些題定會得心應手.

點評

該題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數方程與普通方程的互化、極坐標中極角和圓的參數方程中參數的幾何意義、直線與圓(圓弧)的位置關系等知識,均是對基本知識與基本概念的考查,解題方法也是通性通法.

1.2 注重綜合，考查知識的融會貫通

《中國高考評價體系》指出:素質教育是內涵豐富的全面發(fā)展教育.高考要求學生能夠觸類旁通、融會貫通,這既包括同一層面橫向的交互融合,也包括不同層面縱向的融會貫通.理科第10題是集合、數列、三角函數的綜合題,對集合的概念、三角函數的周期性進行了深入的考查,可以通過三角函數的周期性求解,也可以用數形結合思想方法求解.理科第12題對直線與圓的位置關系、圓的幾何性質、向量數量積、三角恒等變換、三角函數的最值等基本知識進行了綜合考查,需要結合圖形解題.

點評

解答該題的核心在于能夠正確作出示意圖,方法1著眼于向量數量積公式中的夾角,以∠OPC＝α為變量將問題轉化為求三角函數的最值問題.方法2注意到OD⊥PD這一隱含條件,由此可知動點D的軌跡為一段圓弧,再結合向量數量積的幾何意義,找到的最大值.不同的思維深度得到不同的解法,花費的解題時間也不同,給不同層次的學生展示的機會,考查了學生對知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

1.3 關注應用，考查素養(yǎng)與能力

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》指出:在學習數學和應用數學的過程中,學生能發(fā)展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養(yǎng).數學來源于生活,又服務于生活,與實際生活相結合的數學試題一直是高考的熱點,文科、理科第17題取材于橡膠生產的實際情境,比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,借助假設檢驗的基本思想,利用樣本平均數和方差作為工具進行統(tǒng)計推斷,屬于統(tǒng)計學知識在實際生產中的應用,考查了學生的數學運算、邏輯推理、數據分析等數學素養(yǎng)與能力.

例3(文科、理科第17題)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi,yi(i＝1,2,…,10),試驗結果如表1所示.

表1

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如果,則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高,否則不認為有顯著提高).

點評

該題考查了學生數學閱讀能力以及將現實情境抽象為數學問題的能力.解題時需借助所學的統(tǒng)計學知識,計算出樣本平均數與方差,根據題設比較兩種工藝對橡膠產品伸縮率的影響,有效考查了學生應用所學知識分析、解決問題的能力.

1.4 強調創(chuàng)新，考查思維的靈活性

《中國高考評價體系》指出:素質教育中的智育和以往教育理念中的智育最大的不同在于其對創(chuàng)新性的強調.理科第20題(文科第21題)看似是一道常規(guī)的定點問題,但不同于往常的動直線、動圓過定點,而是動線段的中點為定點,是一道體現創(chuàng)新性的試題.該題通過命題創(chuàng)新,創(chuàng)設新穎的試題情境、新穎的題目條件、新穎的設問方式,考查學生思維的靈活性.

點評

該題從不同的角度思考可以得到不同的解法,可以有效發(fā)散學生的思維,不同的解法在運算程序和運算量上有很大的差別,所以要求學生能夠根據問題的題設條件,選擇合理的運算程序,簡化運算步驟,從而得到簡捷的解答過程.此外,該題蘊含著一般化的幾何背景,將其進一步推廣可得如下命題.

命題1已知橢圓C的方程為(a＞b＞0),左頂點為A(－a,0),上頂點為B(0,b),過點D(－a,b)的直線交橢圓C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,線段MN的中點為上頂點B.

命題2已知橢圓C的方程為(a＞b＞0),左頂點為A(－a,0),上頂點為B(0,b),過點D(－a,b)的直線交橢圓C于P,Q兩點,直線BP,BQ與x軸的交點分別為M,N,線段MN的中點為左頂點A.

命題3已知橢圓C的方程為(a＞b＞0),左頂點為A(－a,0),點D為直線x＝－a上任意一點,過點D作橢圓C的兩條切線,切點分別為A,B,過點D的直線交橢圓C于P,Q兩點,直線AB,AP,AQ的斜率分別為k,k1,k2,則k1＋k2＝2k.

2 高考備考建議

2.1 重視“四基”，發(fā)展數學關鍵能力

在高考備考中,要重視鞏固基礎知識、落實基本技能、感悟基本思想方法、積累基本活動經驗,如將教材中的基本概念、基本知識等按照函數、幾何、概率統(tǒng)計等模塊進行梳理,形成知識網絡體系;按照解題思想,根據數形結合、轉化與化歸、整體思想、分類討論等將高考?？碱}型進行分類,總結求解常規(guī)題型的通性通法,注重教材知識的生成過程,善于運用“本原”法解題.這樣,我們才能切實有效地提高復習效率,發(fā)展數學關鍵能力和數學學科核心素養(yǎng).

2.2 重視解題，更要重視解決問題

《中國高考評價體系》指出高考要從“解題”向“解決問題”,從“做題”向“做人做事”轉變,這就要求我們在高考備考中關注時事,關心政治,注重對數學閱讀能力的培養(yǎng),能夠從真實的問題情境中抽象出數學模型,靈活運用所學數學知識分析、解決問題,避免“死記硬背”“生搬硬套”“機械刷題”“題海戰(zhàn)術”.

2.3 重視真題，關注高考試題變化

高考試題凝聚著命題人的心血與智慧,是經過命題者反復考量與打磨的,對高考的備考具有導向性與啟示性.我們在復習備考中要重視對高考真題的收集、整理、歸類、溯源、拓展,明確其考查的內容、方向、要求,感受高考題的變化趨勢與基本態(tài)勢.此外,我們應關注教育與考試部門發(fā)表的有關考試的最新信息,掌握最新的考試動態(tài),研讀官方文件與指導性材料,如《中國高考評價體系》《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》等,以便科學、高效地進行備考.

(完)