運(yùn)動(dòng)副分布順序?qū)Σ⒙?lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)性能的影響

沈惠平 仲 銳 李 菊 李 濤

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心, 常州 213016)

0 引言

三自由度純平移和純轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在抓取及調(diào)姿等方面已有較多的研究與應(yīng)用[1],但具有轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)特性混合的并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究和應(yīng)用相對較少。

HUNT[2]于1983年設(shè)計(jì)了一種含寄生運(yùn)動(dòng)的3-DOF空間機(jī)構(gòu),ZHANG等[3]對2T1R的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)類型進(jìn)行了綜合并實(shí)現(xiàn)了模塊化設(shè)計(jì),但缺少對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析;劉艷敏等[4]研究了2T1R機(jī)構(gòu)的綜合方法,并優(yōu)選了部分新機(jī)型;余順年等[5]提出了一種以兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)為主體的新型中醫(yī)推拿機(jī)器人機(jī)型,并求出其運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解的解析解;WANG等[6]提出了一種Cylindrical型兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu);楊寧等[7]根據(jù)基于螺旋理論對兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)綜合進(jìn)行研究;REFAAT等[8]根據(jù)位移李群理論對三自由度運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行型綜合研究;張彥斌等[9]根據(jù)線性變換理論,對無奇異完全各向同性2T1R型空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行型綜合;楊廷力等[10-11]基于單開鏈單元對2T1R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了型綜合,得到多種含有平面閉回路結(jié)構(gòu)的新型機(jī)構(gòu);SHEN等[12]設(shè)計(jì)并分析了一類具有解耦運(yùn)動(dòng)和符號式位置正解的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu),并研究了優(yōu)化支鏈布置對運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)和剛度的影響;TETIK等[13]利用回路方程的雅可比矩陣確定了3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異性;SUN等[14]使用邊界搜索方法求解了3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間;LI等[15]對3-PRS使用數(shù)值搜索方法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間進(jìn)行了分析。上述大部分2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)很少具有運(yùn)動(dòng)解耦性[16-18]及符號式位置正解[19-20],使得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模以及誤差分析、剛度分析以及動(dòng)力學(xué)分析等方面較為困難,計(jì)算量大。

機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析方法中,拉格朗日法[21-22]通過動(dòng)能及勢能推導(dǎo)來建立動(dòng)力學(xué)方程,其表現(xiàn)形式相對簡單,但在解決多桿件機(jī)構(gòu)時(shí)計(jì)算量較大;牛頓-歐拉法[23]將待分析機(jī)構(gòu)拆分開,建立相對應(yīng)完整的動(dòng)力學(xué)模型,對于構(gòu)件較多的機(jī)構(gòu),分析較繁瑣、計(jì)算量大;而虛功原理法[24-25]通過系統(tǒng)的虛位移做功建立機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型,只需要計(jì)算較少速度矩陣,具有高效、便捷的特點(diǎn)?；谔摴υ淼牧Ψ治鲂騿伍_鏈法[26]能求出驅(qū)動(dòng)副反力(矩)外,還能求解出機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副中的作用力。

本文根據(jù)基于方位特征方程(POC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)理論方法[11],設(shè)計(jì)兩種零耦合度的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu),它們具有相同運(yùn)動(dòng)副類型和數(shù)目,但在支鏈中的分布順序不同,對這兩種機(jī)構(gòu)的主要拓?fù)涮匦?POC集、自由度、耦合度)進(jìn)行分析;根據(jù)基于拓?fù)涮卣鞯倪\(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法,求解兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正反解;基于位置正解求解各自的工作空間與奇異性;又根據(jù)基于雅可比矩陣求解兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺中心點(diǎn)的速度與加速度曲線,根據(jù)基于虛功原理的力分析序單開鏈法對兩種機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模,求解各自的驅(qū)動(dòng)力;對比分析兩種新型機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)性能,得到其一為優(yōu)選機(jī)構(gòu),并給出優(yōu)選機(jī)構(gòu)應(yīng)用場景的概念設(shè)計(jì)。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1.1支鏈設(shè)計(jì)

機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺POC集計(jì)算式[11,24]為

(1)

(2)

式中MJk——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副POC集

Mbi——第i條支鏈末端POC集

MPa——機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺POC集

(1)混合支鏈Ⅰ設(shè)計(jì)

2-DOF的兩滑塊平面五桿機(jī)構(gòu)(P1⊥R11‖R12‖R13⊥P2)如圖1a所示。為便于闡述,在靜平臺0上建立坐標(biāo)系oxyz,x軸方向平行于P1軸線方向,y軸方向垂直于P1軸線方向,z軸方向平行于靜平臺0法線方向。取R12軸線上一點(diǎn)為基點(diǎn),顯然,其末端構(gòu)件能夠產(chǎn)生平行于xoz平面的兩維移動(dòng)(2T)以及平行于y軸的一維轉(zhuǎn)動(dòng)(1R),即其POC為2T1R。

圖1 兩種混合支鏈

由式(1)可得,該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端輸出的POC集為

在子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出轉(zhuǎn)動(dòng)副R12的輸出軸上串聯(lián)一個(gè)與其同軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)副R3,即轉(zhuǎn)動(dòng)副R12與R3是復(fù)合鉸鏈,再在垂直于R3的軸線上串聯(lián)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4(即R4⊥R3);且用轉(zhuǎn)動(dòng)副R4連接動(dòng)平臺1的一端,從而得到混合支鏈Ⅰ1(圖1b)。

在子并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出轉(zhuǎn)動(dòng)副R12的輸出軸上串聯(lián)一個(gè)與其同軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)副R3,即轉(zhuǎn)動(dòng)副R12與R3是復(fù)合鉸鏈;再在垂直于R3的軸線上串聯(lián)一個(gè)軸線相平行的轉(zhuǎn)動(dòng)副組R4、R5(即R4⊥R3),且R4‖R5,且用轉(zhuǎn)動(dòng)副R5連接動(dòng)平臺1的一端,從而得到混合支鏈Ⅰ2(圖1c)。

由式(2)可知,混合支鏈Ⅰ1、Ⅰ2上末端轉(zhuǎn)動(dòng)副R4、R5軸線上一點(diǎn)的POC集分別為

(3)

(4)

式(3)表明,混合支鏈Ⅰ1末端的輸出運(yùn)動(dòng)為xoz平面內(nèi)的兩維移動(dòng)(2T)以及繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R4、R12軸線的兩維轉(zhuǎn)動(dòng)(2R);式(4)表明,混合支鏈Ⅰ2末端的輸出運(yùn)動(dòng)為三維移動(dòng)(3T)以及繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R5、R12軸線的兩維轉(zhuǎn)動(dòng)(2R),因設(shè)計(jì)目的是兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng),故需設(shè)計(jì)另一條約束支鏈來分別約束支鏈Ⅰ中多余的運(yùn)動(dòng)元素,以滿足其設(shè)計(jì)目標(biāo)。

(2)混合支鏈Ⅱ設(shè)計(jì)

為使機(jī)構(gòu)具有較好的承載能力及剛度,混合支鏈Ⅱ采用包含由4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副組成的平行四邊形機(jī)構(gòu)(簡稱:Pa機(jī)構(gòu)),且至少包含2T1R運(yùn)動(dòng)元素的支鏈結(jié)構(gòu)。

將移動(dòng)副P3與Pa機(jī)構(gòu)一短邊串聯(lián)的轉(zhuǎn)動(dòng)副R5剛性連接,且移動(dòng)副P3的軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)副R5相互平行;又在該P(yáng)a機(jī)構(gòu)對邊短桿上串聯(lián)另一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R6,使轉(zhuǎn)動(dòng)副R6與動(dòng)平臺1另一端連接,這樣,組成另外一條混合支鏈Ⅱ1。因此,混合支鏈Ⅱ1可記作{-P3‖R5(-Pa)‖R6-},如圖2a所示。

圖2 混合支鏈Ⅱ的設(shè)計(jì)

同樣,將移動(dòng)副P3與Pa機(jī)構(gòu)的一條短邊平行且剛性連接,在Pa機(jī)構(gòu)的另一邊短桿再串聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)副R6,使轉(zhuǎn)動(dòng)副R6的軸線與R5相互平行布置,且用轉(zhuǎn)動(dòng)副R6連接動(dòng)平臺1的另一端,從而組成混合支鏈Ⅱ2。因此,混合支鏈Ⅱ2可記作{-P3(-Pa)‖R6-},如圖2b所示。

對于混合支鏈Ⅱ1,由式(2)可知,混合支鏈Ⅱ1末端構(gòu)件上R6軸線外任一點(diǎn)的POC集為

M3=MP3∪MPa∪MR5∪MR6=

因此,混合支鏈Ⅱ1末端構(gòu)件能夠產(chǎn)生三維移動(dòng)(3T)和平行于轉(zhuǎn)動(dòng)副R6的一維轉(zhuǎn)動(dòng)(1R)。

對于混合支鏈Ⅱ2,由式(2)可知,混合支鏈Ⅱ2末端構(gòu)件上R6軸線上任一點(diǎn)的POC集為

M4=MP3∪MPa∪MR6=

因此,混合支鏈Ⅱ2末端構(gòu)件能夠產(chǎn)生平行于xoz平面的二維移動(dòng)(2T)和平行于轉(zhuǎn)動(dòng)副R6的一維轉(zhuǎn)動(dòng)(1R)。

1.1.2機(jī)構(gòu)構(gòu)成

使混合支鏈Ⅰ1中的移動(dòng)副P1、P2與混合支鏈Ⅱ1中的P3平行布置,且將設(shè)計(jì)的混合支鏈Ⅰ1與混合支鏈Ⅱ1相互配合,混合支鏈Ⅰ2與混合支鏈Ⅱ2組合,分別并行地連接于靜平臺0與動(dòng)平臺1之間,得到的機(jī)構(gòu)A與機(jī)構(gòu)B如圖3所示。機(jī)構(gòu)A動(dòng)平臺前端轉(zhuǎn)動(dòng)副R4在Y向的位置不變,而機(jī)構(gòu)B動(dòng)平臺后端轉(zhuǎn)動(dòng)副R6在Y向的位置不變。混合支鏈Ⅰ都含有五桿機(jī)構(gòu),混合支鏈Ⅱ都含有Pa機(jī)構(gòu),但其支鏈拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的局部稍有不同,而運(yùn)動(dòng)副類型及總數(shù)均相同。

圖3 兩種2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)

根據(jù)式(1)可知,2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)A動(dòng)平臺1上R4軸線上一點(diǎn)的POC集為

MPa1=M1∩M3=

同樣,2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)B動(dòng)平臺1上R6軸線上一點(diǎn)的POC集為

MPa2=M2∩M4=

1.2 機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算

機(jī)構(gòu)全周自由度計(jì)算公式[11,24]為

(5)

(6)

v=m-n+1

式中F——機(jī)構(gòu)自由度

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度(不含局部自由度)

m——機(jī)構(gòu)所含的運(yùn)動(dòng)副數(shù)

v——獨(dú)立回路數(shù)

n——機(jī)構(gòu)所含的構(gòu)件數(shù)

ξLj——第j個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——第j+1條支鏈末端構(gòu)件的POC集

對機(jī)構(gòu)A、B而言,顯然,第1條回路為平面五桿機(jī)構(gòu)(子并聯(lián)機(jī)構(gòu)),易知,其獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1為3,由式(5)可知,該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度為

而第2回路有所不同,對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)A,第2回路由上述子并聯(lián)機(jī)構(gòu)、轉(zhuǎn)動(dòng)副組(R3⊥R4)與混合支鏈Ⅱ1{-P3‖R5(-Pa)‖R6-}構(gòu)成,其獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2由式(6)計(jì)算為

ξL2=

故并聯(lián)機(jī)構(gòu)A的自由度F2由式(5)計(jì)算為

對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)B,第2回路由上述子并聯(lián)機(jī)構(gòu)、轉(zhuǎn)動(dòng)副組(R3⊥R4‖R5)與混合支鏈Ⅱ2{-P3(-Pa)‖R6-}構(gòu)成,其獨(dú)立位移方程數(shù)ξL3由式(6)計(jì)算為

故并聯(lián)機(jī)構(gòu)B自由度F1由式(5)計(jì)算為

機(jī)構(gòu)自由度為3,因此,當(dāng)取靜平臺0上的移動(dòng)副P1、P2、P3為驅(qū)動(dòng)副時(shí),動(dòng)平臺1可以實(shí)現(xiàn)xoz平面的兩維移動(dòng)和繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R4軸線的一維轉(zhuǎn)動(dòng)的輸出運(yùn)動(dòng)。

1.3 耦合度計(jì)算

由基于單開鏈(SOC)組成原理[11]可知,任何一個(gè)機(jī)構(gòu)都可分解為約束度為正、零、負(fù)的3種有序單開鏈(SOC),第j個(gè)SOCj的約束度[11,18]為

(7)

式中mj——第j個(gè)SOCj的運(yùn)動(dòng)副數(shù)

Ij——第j個(gè)SOCj的驅(qū)動(dòng)副數(shù)

一組有序的v個(gè)SOC可劃分為若干個(gè)最小的子運(yùn)動(dòng)鏈SKC,每個(gè)SKC僅含一個(gè)自由度為零的基本運(yùn)動(dòng)鏈(BKC),SKC的耦合度κ,其計(jì)算式為

(8)

對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)A,其兩個(gè)回路的SOC約束度由式(7)分別計(jì)算為

由SKC的判定準(zhǔn)則[11,24]可知,并聯(lián)機(jī)構(gòu)A包含有2個(gè)SKC,其中,SKC1為P1⊥R11‖R12‖R13⊥P2,SKC2為R3⊥R4‖R6‖Pa‖R5‖P3,其耦合度由式(8)計(jì)算為

而對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)B,兩個(gè)回路的SOC約束度由式(7)分別計(jì)算為

由SKC的判定準(zhǔn)則[11,24]可知,并聯(lián)機(jī)構(gòu)B包含有2個(gè)SKC,其中,SKC1為P1⊥R11‖R12‖R13⊥P2,SKC2為R3⊥R4‖R5‖R6‖Pa‖P3,其耦合度由式(8)計(jì)算為

表明兩種機(jī)構(gòu)均只包含2個(gè)SKC,其耦合度κ為0,因此,機(jī)構(gòu)符號式位置正解可由獨(dú)立求解2個(gè)SKC而得。

1.4 運(yùn)動(dòng)解耦性與基于SKC的機(jī)構(gòu)拓?fù)浣馕?/h3>

并聯(lián)機(jī)構(gòu)A、B的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)解析式[18]可表示為

(9)

(10)

對上述兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浞治霰砻?這兩個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺均可實(shí)現(xiàn)xoz運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)的兩維移動(dòng)(2T)以及繞x軸(平行于轉(zhuǎn)動(dòng)副R4軸線)的一維轉(zhuǎn)動(dòng),其自由度均為3。這兩個(gè)機(jī)構(gòu)的耦合度為零,進(jìn)而無須設(shè)定虛擬變量,可直接求解得出其位置正解。動(dòng)平臺基點(diǎn)(對機(jī)構(gòu)A而言為R4,對機(jī)構(gòu)B而言為R6)在y軸方向的位置分量為定值。并聯(lián)機(jī)構(gòu)A在xoz平面內(nèi)x軸方向和z軸方向的兩維移動(dòng)(x、z)由SKC1中的移動(dòng)副P1、P2決定,機(jī)構(gòu)A的轉(zhuǎn)動(dòng)角由移動(dòng)副P1、P2、P3共同決定;并聯(lián)機(jī)構(gòu)B在xoz平面內(nèi)x軸方向的一維移動(dòng)(x)由SKC1中的移動(dòng)副P1、P2決定,而在xoz平面內(nèi)z軸方向的一維移動(dòng)以及轉(zhuǎn)動(dòng)角由移動(dòng)副P1、P2、P3共同決定;因此,并聯(lián)機(jī)構(gòu)A具有較好的部分運(yùn)動(dòng)解耦性。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 位置分析

2.1.1機(jī)構(gòu)A正逆解分析

機(jī)構(gòu)A的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖4所示,其位置正解求解歸納為:已知求驅(qū)動(dòng)副輸入量x1、x2、x3,求動(dòng)平臺1基點(diǎn)位置O′(x,y,z)及姿態(tài)角α。

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)A運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

設(shè)靜平臺0兩導(dǎo)軌之間的距離為2a,靜坐標(biāo)系Oxyz原點(diǎn)O位于兩導(dǎo)軌的幾何中心處,x軸平行于A1A2,y軸垂直于A1A2,z軸由右手螺旋法則確定。在動(dòng)平臺1中轉(zhuǎn)動(dòng)副R4(圖4a中點(diǎn)C3)的中心建立O′x′y′z′坐標(biāo)系,x′軸與靜坐標(biāo)系x軸平行且方向一致,y′軸與靜坐標(biāo)系y軸平行且方向一致,z′軸與靜坐標(biāo)系z軸平行且方向一致。

設(shè)A1B1=A2B2=A3B3=l1,B1C1=B2C2=l2,C3D=l3,DB3=l4,動(dòng)平臺姿態(tài)角為α,如圖4b所示。

(11)

該機(jī)構(gòu)中C1、2、3D∈B3在yoz面的投影,如圖4b所示。

因此,可以得到

(12)

由桿長約束條件DB3=l4,可得

(13)

N1=2Hl3N2=-4al3

式(13)中m=±1,所以正解數(shù)目為2×1=2。

而機(jī)構(gòu)的位置逆解求解可歸納為:已知?jiǎng)悠脚_1的位置O′及姿態(tài)角α,求驅(qū)動(dòng)副輸入量x1、x2、x3。

由桿長約束條件DB3=l4及位置正解,可得

(v=±1)

(14)

由于式(14)中u=±1,v=±1,所以正解數(shù)目為2×2=4。

2.1.2機(jī)構(gòu)B正逆解分析

機(jī)構(gòu)B運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖5所示。

圖5 并聯(lián)機(jī)構(gòu)B運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

機(jī)構(gòu)B靜坐標(biāo)Oxyz建立同機(jī)構(gòu)A。在動(dòng)平臺1中轉(zhuǎn)動(dòng)副R6(圖5a中點(diǎn)C3)的中心建立O′x′y′z′坐標(biāo)系,x′軸與靜坐標(biāo)系x軸平行且方向一致,y′軸與靜坐標(biāo)系y軸平行且方向一致,z′軸與靜坐標(biāo)系z軸平行且方向一致。

設(shè)A1B1=A2B2=A3B3=l1,B1C1=B2C2=l2,C3D=l3,DE=l4,EB3=l5,動(dòng)平臺姿態(tài)角為α,如圖5b所示。

由桿長約束條件DE=l4,可得

(15)

其中

N1=4al4N2=2Jl4

由于式(15)中m=±1,n=±1,因此正解數(shù)目為2×2=4。

進(jìn)一步,逆解可由位置正解得

(16)

其中

(w=±1)

(17)

由于式(16)、(17)中u=±1,v=±1,w=±1,因此反解數(shù)目為2×2×2=8。

2.1.3正逆解驗(yàn)算

設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)A尺寸參數(shù)為:a=300 mm,l1=100 mm,l2=200 mm,l3=450 mm,l4=320 mm。取3個(gè)驅(qū)動(dòng)量x1=-106.09 mm,x2=181.67 mm,x3=-70.29 mm。將上述參數(shù)代入正解式(12)、(13)得到動(dòng)平臺的位置正解,如表1所示。

表1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的理論計(jì)算值

表1中的2組數(shù)據(jù)對應(yīng)的構(gòu)型圖如圖6所示。

圖6 機(jī)構(gòu)A的正解及其對應(yīng)的構(gòu)型

將以圖6a構(gòu)型(即表1中序號1對應(yīng)的構(gòu)型)作為機(jī)構(gòu)A的后續(xù)運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)計(jì)算對象。

將在正解中表1中的序號1數(shù)值代入式(17),得到的4組反解如表2所示,其所對應(yīng)4個(gè)構(gòu)型如圖7所示。

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的理論計(jì)算值

圖7 機(jī)構(gòu)A的反解及其對應(yīng)的構(gòu)型

可見,表2中序號4參數(shù)與設(shè)定的機(jī)構(gòu)輸入?yún)?shù)以及圖6a與圖7d所示構(gòu)型一致,從而驗(yàn)證了正逆解公式的正確性。

設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)B的尺寸參數(shù)為:a=300 mm,l1=100 mm,l2=200 mm,l3=180 mm,l4=450 mm,l5=320 mm。用同樣的方法,驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)B位置正逆解公式的正確性。

2.2 工作空間

工作空間表示動(dòng)平臺操作端的運(yùn)動(dòng)范圍,是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個(gè)重要運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)[24-25]。因并聯(lián)機(jī)構(gòu)A、B均具有符號位置正解,故采用位置正解來計(jì)算工作空間。相比于通過位置逆解及預(yù)設(shè)工作空間的搜索范圍、搜索所有滿足約束條件的點(diǎn)以形成三維圖的方法,該方法直接搜索驅(qū)動(dòng)副的范圍以確定工作空間,具有計(jì)算量少、工作空間計(jì)算準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)[24]。

2.2.1并聯(lián)機(jī)構(gòu)A

確定機(jī)構(gòu)A中3個(gè)驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副P1、P2和P3的移動(dòng)量稍大于機(jī)構(gòu)桿件移動(dòng)范圍,分別取為-250 mm≤x1≤0 mm,0 mm≤x2≤250 mm,-300 mm≤x3≤300 mm。通過Matlab軟件,對正解式(14)～(16)進(jìn)行編程,得到該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺上質(zhì)心的三維工作空間如圖8a所示;而工作空間xyz中3個(gè)不同方向的投影如圖8b～8d所示。

圖8 并聯(lián)機(jī)構(gòu)A工作空間及其在xOy、yOz、xOz面的投影

工作空間在x=60 mm、y=-85 mm、z=300 mm平面上的截圖,如圖9所示。

圖9 并聯(lián)機(jī)構(gòu)A工作空間內(nèi)xyz方向上的截面圖

2.2.2并聯(lián)機(jī)構(gòu)B

同樣,確定機(jī)構(gòu)B中3個(gè)驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副P1、P2和P3的移動(dòng)范圍同機(jī)構(gòu)A。通過Matlab軟件,對正解式(15)進(jìn)行編程,得到該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺上質(zhì)心的三維工作空間,如圖10a所示;而工作空間xyz3個(gè)不同方向的投影,如圖10b～10d所示。

圖10 并聯(lián)機(jī)構(gòu)B工作空間及其在xOy、yOz、xOz面的投影

工作空間在x=50 mm、y=213 mm、z=385 mm平面上的截圖,如圖11所示。

圖11 并聯(lián)機(jī)構(gòu)B工作空間內(nèi)xyz方向上的截面圖

2.3 奇異性分析

采用基于雅可比矩陣的奇異位形及分析方法。雅可比矩陣為[26-27]輸入關(guān)節(jié)速度到機(jī)構(gòu)末端輸出速度的映射,由于矩陣內(nèi)部元素與位置有關(guān),該映射關(guān)系為

(18)

式中Jo、Ji——輸出、輸入雅可比矩陣

根據(jù)Jo和Ji矩陣是否奇異,將機(jī)構(gòu)分為3種奇異類型:①當(dāng)det(Ji)=0時(shí),機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異。②當(dāng)det(Jo)=0時(shí),機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異。③當(dāng)det(Ji)=det(Jo)=0時(shí),機(jī)構(gòu)發(fā)生綜合奇異。

2.3.1并聯(lián)機(jī)構(gòu)A

(1)輸入奇異

圖12 輸入奇異位置

(2)輸出奇異

圖13 輸出奇異位置

(3)綜合奇異

當(dāng)det(Ji)=det(Jo)=0時(shí),即輸入、輸出奇異同時(shí)存在,機(jī)構(gòu)才發(fā)生綜合奇異,經(jīng)分析該機(jī)構(gòu)不發(fā)生綜合奇異。

2.3.2并聯(lián)機(jī)構(gòu)B

(1)輸入奇異

圖14 輸入奇異位置1

圖15 輸入奇異位置2

(2)輸出奇異

(3)綜合奇異

當(dāng)det(Ji)=det(Jo)=0時(shí),機(jī)構(gòu)才發(fā)生綜合奇異;經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)該機(jī)構(gòu)不發(fā)生綜合奇異。

3 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析

3.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)A

因機(jī)構(gòu)A、B的耦合度均為零,因此這兩個(gè)機(jī)構(gòu)各桿件的速度和加速度均可由剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)速度(加速度)合成定律求得,其分析計(jì)算流程圖如圖16所示。

圖16 機(jī)構(gòu)速度、加速度分析流程圖

取3個(gè)驅(qū)動(dòng)副P11、P21、P31的輸入函數(shù)分別為y1=20sin(πt)、y2=-10sin(πt)、y3=20sin(πt),且3個(gè)驅(qū)動(dòng)副的初始位置分別為ρ1=-131.07 mm、ρ2=181.55 mm、ρ3=-57.74 mm。

利用Matlab得到機(jī)構(gòu)A動(dòng)平臺質(zhì)心的速度與加速度的理論計(jì)算曲線如圖17所示。

圖17 機(jī)構(gòu)A動(dòng)平臺質(zhì)心速度、加速度理論計(jì)算曲線

在ADAMS軟件中對虛擬樣機(jī)進(jìn)行仿真,得到機(jī)構(gòu)A動(dòng)平臺的質(zhì)心的速度與加速度仿真曲線如圖18所示。

圖18 機(jī)構(gòu)A動(dòng)平臺質(zhì)心速度、加速度仿真曲線

3.2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)B

3個(gè)驅(qū)動(dòng)副P11、P21、P31取相同的輸入函數(shù)及3個(gè)驅(qū)動(dòng)副的初始位置,利用Matlab得到機(jī)構(gòu)B動(dòng)平臺質(zhì)心的速度與加速度的理論計(jì)算曲線如圖19所示。

圖19 機(jī)構(gòu)B動(dòng)平臺質(zhì)心速度、加速度的理論計(jì)算曲線

在ADAMS軟件中對虛擬樣機(jī)進(jìn)行仿真,得到機(jī)構(gòu)B動(dòng)平臺的質(zhì)心的速度與加速度仿真曲線如圖20所示。

圖20 機(jī)構(gòu)B動(dòng)平臺質(zhì)心速度、加速度的仿真曲線

從圖17、18及圖19、20可知,并聯(lián)機(jī)構(gòu)A、B理論計(jì)算的速度與加速度曲線與ADAMS仿真得到的曲線一致,表明其運(yùn)動(dòng)學(xué)建模求解的正確性;動(dòng)平臺1質(zhì)心的速度與加速度曲線變化平緩,沒有陡增陡減的突變現(xiàn)象發(fā)生,表明該機(jī)構(gòu)A、B運(yùn)動(dòng)性能良好,均有潛在利用價(jià)值。

3.3 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

3.3.1基于虛功原理的力分析序單開鏈法

3.3.1.1并聯(lián)機(jī)構(gòu)A

(1)SKC2內(nèi)各構(gòu)件受力分析

取動(dòng)平臺質(zhì)點(diǎn)為點(diǎn)P,則有

(19)

式中fp——?jiǎng)悠脚_質(zhì)心外力

τp——?jiǎng)悠脚_質(zhì)心外力矩

mp——?jiǎng)悠脚_質(zhì)量

Ip——?jiǎng)悠脚_慣性矩陣

ε1——?jiǎng)悠脚_角加速度

ω1——?jiǎng)悠脚_角速度

a1——?jiǎng)悠脚_線性速度

g——重力加速度

由驅(qū)動(dòng)副A3B3受力分析可得

(20)

其中

式中f3——驅(qū)動(dòng)副P3驅(qū)動(dòng)力

mA3——驅(qū)動(dòng)副P3質(zhì)量

aA3——驅(qū)動(dòng)副P3加速度

由轉(zhuǎn)動(dòng)桿DB3受力分析可得

(21)

式中mDB3——轉(zhuǎn)動(dòng)桿DB3質(zhì)量

IDB3——轉(zhuǎn)動(dòng)桿DB3慣性矩陣

(2)SKC1內(nèi)各構(gòu)件受力分析

由驅(qū)動(dòng)副AiBi受力分析可得

(i=1,2)

(22)

式中fi——驅(qū)動(dòng)副AiBi驅(qū)動(dòng)力

mAiBi——驅(qū)動(dòng)副AiBi質(zhì)量

aAiBi——驅(qū)動(dòng)副AiBi加速度

由轉(zhuǎn)動(dòng)桿BjCj受力分析可得

(j=1,2)

(23)

式中mBjCj——轉(zhuǎn)動(dòng)桿BjCj質(zhì)量

IBjCj——轉(zhuǎn)動(dòng)桿BjCj慣性矩陣

3.3.1.2并聯(lián)機(jī)構(gòu)B

(1)SKC2內(nèi)各構(gòu)件受力分析

取動(dòng)平臺質(zhì)點(diǎn)為點(diǎn)P,則有

(24)

由驅(qū)動(dòng)副A3B3受力分析可得

(25)

由轉(zhuǎn)動(dòng)桿DB3受力分析可得

(26)

(2)SKC1內(nèi)各構(gòu)件受力分析

由驅(qū)動(dòng)副AiBi受力分析可得

(27)

由轉(zhuǎn)動(dòng)桿BjCj受力分析可得

(j=1,2)

(28)

由轉(zhuǎn)動(dòng)桿C3D受力分析可得

(29)

式中mC3D——轉(zhuǎn)動(dòng)桿C3D質(zhì)量

IC3D——轉(zhuǎn)動(dòng)桿C3D慣性矩陣

3.3.2動(dòng)力學(xué)方程建立

3.3.2.1并聯(lián)機(jī)構(gòu)A

解除兩個(gè)SKC在點(diǎn)C3的運(yùn)動(dòng)副約束之后,支反力FC3轉(zhuǎn)化為未知外力,根據(jù)基于虛功原理的力分析序單開鏈法分別建立SKC1、SKC2動(dòng)力學(xué)方程為

(30)

(31)

其中

δxAiBi=JvAiBiδq(i=1、2、3)

δxBjCj=JvBjCjδq(j=1、2)

δxDB3=JvDB3δqδxp=JvpδqδxDC3=JvDC3δq

δθB1C1=JωB1C1δqδθB2C2=JωB2C2δq

δθp=JωpδqδθDB3=JωDB3δq

將式(19)～(23)代入式(30)、(31)即可求出兩個(gè)SKC連接處點(diǎn)C3處的支反力。

3.3.2.2并聯(lián)機(jī)構(gòu)B

解除兩個(gè)SKC在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)副約束之后,支反力FC3轉(zhuǎn)化為未知外力,同樣可建立SKC1、SKC2動(dòng)力學(xué)方程為

(32)

(33)

將式(24)～(29)代入式(32)、(33)即可求出兩個(gè)SKC連接處點(diǎn)C3處的支反力。

3.4 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的驗(yàn)證與仿真

3.4.1并聯(lián)機(jī)構(gòu)A

設(shè)機(jī)構(gòu)A中各桿件的質(zhì)量分別為:mA1B1=0.056 93 kg;mA2B2=0.056 93 kg;mA3B3=0.067 27 kg;mB1C1=0.072 01 kg;mB2C2=0.070 42 kg;mC3D=0.494 4 kg;mDB3=0.105 86 kg;mRaRb=0.071 83 kg;mRcRd=0.062 41 kg。各桿件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如表3所示。

表3 機(jī)構(gòu)A各桿件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

將上述參數(shù)代入動(dòng)力學(xué)方程式(19)～(23),取3.1節(jié)(忽略摩擦?xí)r)該機(jī)構(gòu)在負(fù)載5 kg(fp=50 N,τp=0)狀態(tài)下的驅(qū)動(dòng)力,如圖21所示。

圖21 并聯(lián)機(jī)構(gòu)A驅(qū)動(dòng)力理論曲線

將虛擬樣機(jī)導(dǎo)入ADAMS中,選取運(yùn)動(dòng)仿真時(shí)間為5 s,得到的驅(qū)動(dòng)力仿真曲線如圖22所示。

圖22 并聯(lián)機(jī)構(gòu)A驅(qū)動(dòng)力仿真曲線

3.4.2并聯(lián)機(jī)構(gòu)B

設(shè)機(jī)構(gòu)B中各桿件的質(zhì)量分別為:mA1B1=0.056 93 kg;mA2B2=0.056 93 kg;mA3B3=0.124 90 kg;mB1C1=0.072 01 kg;mB2C2=0.070 42 kg;mC3D=0.494 4 kg;mDE=0.494 4 kg;mRaRb=0.105 67 kg;mRcRd=0.063 78 kg。各桿件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如表4所示。

表4 機(jī)構(gòu)B各桿件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

將上述參數(shù)代入動(dòng)力學(xué)方程式(24)～(29),取3.2節(jié)的輸入函數(shù)作為驅(qū)動(dòng)副的輸入函數(shù),運(yùn)用Matlab計(jì)算(忽略摩擦?xí)r)該機(jī)構(gòu)在負(fù)載5 kg(fp=50 N,τp=0)狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)副處的驅(qū)動(dòng)力,如圖23所示。

圖23 并聯(lián)機(jī)構(gòu)B驅(qū)動(dòng)力理論曲線

同時(shí),將虛擬樣機(jī)導(dǎo)入ADAMS 中,選取運(yùn)動(dòng)仿真時(shí)間為5 s,得到的驅(qū)動(dòng)力仿真曲線如圖24所示。

圖24 并聯(lián)機(jī)構(gòu)B驅(qū)動(dòng)力仿真曲線

對比圖21、22以及圖23、24易知,驅(qū)動(dòng)力理論計(jì)算曲線與ADAMS仿真曲線基本一致,即兩種機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型是正確的,僅存在微小差距,其主要原因在于:各運(yùn)動(dòng)副連接處存在間隙,理論計(jì)算的參數(shù)值與實(shí)際模型的參數(shù)值有差距;以及ADAMS軟件仿真是基于 Lagrange方程建立的動(dòng)力學(xué)仿真模型,而本文主要采用基于虛功原理的序單開鏈法,在計(jì)算時(shí)存在舍入誤差和累計(jì)誤差。

4 應(yīng)用場景概念設(shè)計(jì)

將設(shè)計(jì)的2T1R機(jī)構(gòu)A應(yīng)用于水果深加工的智能分揀、傳送工藝中,其應(yīng)用場景概念設(shè)計(jì)三維圖如圖25a所示,工作平面示意圖如圖25b所示,空間結(jié)構(gòu)布置簡圖如圖25c所示。其工作原理是:

圖25 應(yīng)用場景的概念設(shè)計(jì)

(1)傳送帶1以速度v0將等待分揀加工的裝筐蘋果送至指定位置,2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)在傳送帶1的末端等待承接蘋果,通過掃描識別裝筐蘋果的品質(zhì)標(biāo)簽,以速度v1進(jìn)行運(yùn)輸,待運(yùn)輸?shù)较鄬?yīng)品質(zhì)的生產(chǎn)線時(shí),并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過動(dòng)平臺的斜坡將裝筐蘋果滑動(dòng)到下一環(huán)節(jié)的傳送帶上。①品質(zhì)略有瑕疵的裝筐蘋果通過動(dòng)平臺轉(zhuǎn)運(yùn)到傳動(dòng)帶2上,以速度v2進(jìn)入蘋果深加工車間。②品質(zhì)較好的裝筐蘋果通過動(dòng)平臺轉(zhuǎn)運(yùn)到傳送帶3上,以速度v3進(jìn)入封裝出貨車間。

(2)當(dāng)導(dǎo)軌上的驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副P1、P2、P3取相同速度大小和方向時(shí),可實(shí)現(xiàn)長距離的移動(dòng),以使傳送帶1上的裝筐蘋果通過傳送帶2將瑕疵蘋果或通過傳送帶3將高品質(zhì)蘋果送至相應(yīng)的庫存或相應(yīng)環(huán)節(jié)進(jìn)一步的加工。

(3)當(dāng)導(dǎo)軌上的驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副P1、P2、P3取不同速度大小和方向時(shí),動(dòng)平臺可實(shí)現(xiàn)xOz平面內(nèi)的二維移動(dòng)和繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的一維轉(zhuǎn)動(dòng),其中,x軸方向和z軸方向的移動(dòng)由P1、P2決定(可以調(diào)節(jié)動(dòng)平臺x、z位置),而轉(zhuǎn)動(dòng)角的轉(zhuǎn)動(dòng)由P1、P2、P3共同決定(可以使動(dòng)平臺與傳送帶2、3之間位置對應(yīng)一致,并在y軸方向上靠近傳送帶1、2、3)。

5 結(jié)論

(1)根據(jù)基于方位特征(POC)方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論與方法,設(shè)計(jì)兩種零耦合度且部分運(yùn)動(dòng)解耦的(2T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu),它們具有相同運(yùn)動(dòng)副類型和數(shù)目,但在支鏈中的分布順序不同;分別對兩種機(jī)構(gòu)的自由度、耦合度等主要拓?fù)涮匦赃M(jìn)行分析,結(jié)果表明這兩種機(jī)構(gòu)耦合度為零。

(2)根據(jù)拓?fù)涮卣鬟\(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法對兩個(gè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模,驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)具有符號式位置正解;且均具有部分運(yùn)動(dòng)解耦性,但機(jī)構(gòu)A部分運(yùn)動(dòng)解耦程度更好;分析了這兩種機(jī)構(gòu)的工作空間及其奇異位置,表明機(jī)構(gòu)A在相同的桿長和工作范圍條件下,工作空間更大。

(3)求解了兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺中心點(diǎn)的速度與加速度曲線,表明這兩種機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺質(zhì)心的速度與加速度曲線變化平緩,沒有陡增陡減的突變現(xiàn)象發(fā)生,具有良好的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能;同時(shí)根據(jù)基于序單開鏈虛功原理對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行逆向動(dòng)力學(xué)建模,并求得其驅(qū)動(dòng)力變化幅度相似且平緩,表明這兩種機(jī)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中電機(jī)選型的多樣性。

(4)不同運(yùn)動(dòng)副分布順序?qū)Σ⒙?lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)性能有較大影響;機(jī)構(gòu)A的運(yùn)動(dòng)解耦性更好、工作空間更大,因此,選取機(jī)構(gòu)A為優(yōu)選機(jī)構(gòu);同時(shí),對機(jī)構(gòu)A用作水果深加工中智能分揀、傳遞的應(yīng)用場景進(jìn)行了概念設(shè)計(jì)。