發(fā)散思維 一題多解

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué),新疆 烏魯木齊 830002)

最近在某資料上看到一道2021年的模考題,題設(shè)簡(jiǎn)單、背景常見(jiàn)、問(wèn)題常規(guī),但是仔細(xì)推敲此題出口甚廣,可以依托二次函數(shù)、三角函數(shù)、均值不等式、向量、正余弦定理、平面幾何、解析幾何等知識(shí)解答,對(duì)于鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、開(kāi)拓解題思路、提高解題的實(shí)戰(zhàn)水平均有一定的意義.

1 題目呈現(xiàn)

2 解法探究

解法1 設(shè)AB=2x,則AD=x.

在△ABD中,由余弦定理知

評(píng)析設(shè)邊長(zhǎng)變量,巧用余弦定理,把面積最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題,即可求出面積的最大值[1].

解法2 設(shè)BC=a,AB=2b,則AD=DC=b.

由海倫公式,得

①

在△ABC和△ABD中,分別由余弦定理可得

整理,得a2+2b2=6.

②

由①②,得

評(píng)析等式②是在研究同一個(gè)角,從而產(chǎn)生等式,學(xué)生一般不太在意,我們平時(shí)教學(xué)應(yīng)當(dāng)多強(qiáng)調(diào).多角度看待問(wèn)題、思考問(wèn)題,尋找隱形等量關(guān)系是一種技巧[2].

=2x2sinA

整理,得5S=6sinA+4ScosA

所以25S2≤36+16S2,解得S≤2.

所以△ABC面積的最大值為2.

評(píng)析輔助角公式的應(yīng)用使得關(guān)于面積的不等式應(yīng)運(yùn)而生,顯得十分自然,運(yùn)算也簡(jiǎn)潔,最值成立的條件也一目了然[3].

解法4設(shè)AB=2x,則AD=DC=x,BC=2y.

在△ABD和△CBD中,由余弦定理可得

又∠ADB+∠BDC=π,

所以cos∠ADB+cos∠BDC=0.

化簡(jiǎn),得2x2+4y2=6.

③

評(píng)析等式③容易出現(xiàn)視而不見(jiàn)的狀況,而高考命題專家恰好經(jīng)常在這個(gè)技巧上做文章,我們平時(shí)教學(xué)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)到位.這個(gè)關(guān)系式還可以通過(guò)四點(diǎn)共圓產(chǎn)生,有異曲同工之妙.

=4cosα·sinα

=2sin2α≤2.

所以△ABC面積的最大值為2.

評(píng)析引進(jìn)變量α建立三角函數(shù),目標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)單,最值易求.對(duì)學(xué)生的函數(shù)應(yīng)用意識(shí)要求較高,等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力要求較高.

④

由基本不等式,得

即ab≤1,

所以S=2ab≤2.

經(jīng)過(guò)以上計(jì)算,可求得小數(shù)時(shí)延Δt1和幅度參數(shù)α1的初始值。先求出每個(gè)信號(hào)參數(shù)的初始值,然后采用迭代的方法依次對(duì)各參數(shù)進(jìn)行更新以求得準(zhǔn)確值。

所以△ABC面積的最大值為2.

解法7設(shè)G為△ABC的重心,

又AB=AC,

所以S=3S△BCG

=2sin∠BGC≤2,

所以△ABC面積的最大值為2.

解法8設(shè)BC中點(diǎn)為E,則AE⊥BC,G為△ABC重心.

設(shè)BE=x,GE=y,

在Rt△BEG中,BE2+GE2=BG2,

解法9設(shè)BC中點(diǎn)為E,G為△ABC重心,則AE⊥BC.

平方,得

所以△ABC面積的最大值為2.

評(píng)析重心的引入非常巧妙,學(xué)生需要長(zhǎng)時(shí)間的修煉方可達(dá)成這種意識(shí),形成這種能力.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想顯得尤為重要.解法7、8、9屬于非常規(guī)的巧妙解法[3].

設(shè)A(x,y),由AB=2AD,得

所以△ABC面積的最大值為2[4].

設(shè)A(-a,-b),C(a,b),(a>0,b>0),

因?yàn)锳B=AC,

整理,得

所以△ABC面積的最大值為2[5].

評(píng)析解法10、11引入了解析幾何,解法新穎.不僅可以訓(xùn)練學(xué)生三角問(wèn)題,也能鞏固解析幾何的核心知識(shí),思維顯得十分發(fā)散,對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新能力培養(yǎng)不可小覷.

3 解后反思

對(duì)于習(xí)題的處理,通常有兩個(gè)誤區(qū):一是做對(duì)就好,二是多多益善(刷題).殊不知,很多問(wèn)題的背后還有豐富的內(nèi)涵,有知識(shí)的,有方法的,有能力的.數(shù)學(xué)各個(gè)模塊之間存在千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,這種聯(lián)系只有在主動(dòng)應(yīng)用中才能織密織牢,只有掌握了理解了這些內(nèi)在的聯(lián)系才能應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的試題,才能培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,才能有創(chuàng)新的意識(shí),才能在將來(lái)的工作中得心應(yīng)手,高分高能.因此,解題研究,是我們教學(xué)的一個(gè)重要工作.