基于兩道高考概率題的深入思考

張軍偉

(東北師范大學(xué)附屬中學(xué),吉林 長(zhǎng)春 130021)

概率是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一,試題常以實(shí)際生活問(wèn)題為背景,與其他知識(shí)融合、滲透,情境新穎,充分體現(xiàn)了概率的工具性和應(yīng)用性.綜合來(lái)看,試題難度中等,不僅考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,更著重考查學(xué)生對(duì)概率知識(shí)的運(yùn)用能力.在教學(xué)中對(duì)經(jīng)典概率高考題進(jìn)行深度剖析,有利于學(xué)生進(jìn)一步完善解決概率問(wèn)題的基本思路,優(yōu)化運(yùn)算求解過(guò)程,提高解題效率.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;

(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;

(3)求丙最終獲勝的概率.

題2 (2006年高考全國(guó)Ⅱ卷第18題)某批產(chǎn)品成箱包裝,每箱5件．一用戶在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱,再?gòu)拿肯渲腥我獬槿?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品,其余為一等品．

(1)求抽檢的6件產(chǎn)品都是一等品的概率;

(2)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品,用戶就拒絕購(gòu)買這批產(chǎn)品,求這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率．

2 試題分析

兩道高考題均以生活情境為背景,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.在知識(shí)方面,前者考查相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算,后者考查古典概型、相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算;在能力方面,兩者都深度考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,考查層次分明、區(qū)分度較高,能使學(xué)生充分展示理性思維的廣度和深度;在素養(yǎng)方面,均考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

3 解法探究

3.1 題1解析

分析1 首先要弄清楚復(fù)雜的賽制,也就是弄清楚一次試驗(yàn),可以畫(huà)出每場(chǎng)比賽贏者的樹(shù)狀圖.

例如,畫(huà)出從第一場(chǎng)甲贏開(kāi)始的各場(chǎng)次贏者的樹(shù)狀圖(如圖1),類比得出第一場(chǎng)乙贏的情形.

圖1 分析1圖

從中可以得出:①比賽至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽;

②若甲贏,則打四場(chǎng)全贏,或打五場(chǎng),前四場(chǎng)輸一場(chǎng),第五場(chǎng)贏,乙贏同理;

③若丙贏,則打四場(chǎng),第2,3,4場(chǎng)贏,或打五場(chǎng),從第二場(chǎng)開(kāi)始的三場(chǎng)比賽輸一場(chǎng),第五場(chǎng)贏.

所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為

比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場(chǎng)開(kāi)始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為

分析2 由于賽制規(guī)定累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰,因此畫(huà)出每場(chǎng)比賽負(fù)者的樹(shù)狀圖更貼合題意.

例如,畫(huà)出從第一場(chǎng)甲勝乙開(kāi)始的各場(chǎng)次勝負(fù)的樹(shù)狀圖(如圖2),如甲勝乙記作甲>乙,類比得出第一場(chǎng)乙勝甲的情形.

圖2 分析2圖

從中可以得出:①比賽至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽;

②某選手負(fù)兩場(chǎng)即被淘汰,輪空制下不能連續(xù)負(fù)兩場(chǎng),除非已經(jīng)淘汰了一位選手;

③若甲贏,則打四場(chǎng),乙、丙各負(fù)兩場(chǎng),或打五場(chǎng),前四場(chǎng)只能輸一場(chǎng),第五場(chǎng)贏,乙贏同理;

④若丙贏,則打四場(chǎng),甲、乙各負(fù)兩場(chǎng),或打五場(chǎng),從第二場(chǎng)開(kāi)始的三場(chǎng)比賽只能輸一場(chǎng),第五場(chǎng)贏.

(2)設(shè)A為甲輸,B為乙輸,C為丙輸,則打四場(chǎng)比賽結(jié)束有四種情形:BCBC,ACAC,ABAB,BABA,所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為

(3)設(shè)A為甲輸,B為乙輸,C為丙輸,則丙最終獲勝的概率有兩類情形:一類是打四場(chǎng)勝ABAB,BABA;另一類是打五場(chǎng)勝ACBAB,ABCAB,ABACB,BCABA,BACBA,BABCA,ACABB,BCBAA,ABCBA,BACAB.所以丙最終獲勝的概率為

3.2 題2解析

解法1(1)設(shè)A=“抽檢的6件產(chǎn)品都是一等品”,則

(2)設(shè)B=“這批產(chǎn)品被用戶拒絕”,則

分析2 如果把一次試驗(yàn)理解成分別從第二、三箱中各任意抽取2件產(chǎn)品,彼此相互獨(dú)立,那么就可以結(jié)合相互獨(dú)立乘法公式及互斥事件加法公式進(jìn)行計(jì)算.

解法2 (1)設(shè)A=“抽檢的6件產(chǎn)品都是一等品”,則

(2)設(shè)B=“這批產(chǎn)品被用戶拒絕”,則

分析3如果把一次試驗(yàn)理解成分別從第二、三箱中各任意抽取2件產(chǎn)品,彼此相互獨(dú)立,而從每箱取產(chǎn)品第一次、第二次不相互獨(dú)立,那么就可以結(jié)合條件概率變形公式及互斥事件加法公式進(jìn)行計(jì)算.

解法3 (1)設(shè)A=“抽檢的6件產(chǎn)品都是一等品”,則

(2)設(shè)B=“這批產(chǎn)品被用戶拒絕”,則

4 變式練習(xí)

為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)某一類問(wèn)題的掌握,適當(dāng)?shù)貙?duì)同類題目加以練習(xí),會(huì)起到強(qiáng)化解題思想方法的積極作用.讓學(xué)生在親身實(shí)踐中尋求變通,悟出其中的來(lái)龍去脈,掌握科學(xué)的解題規(guī)律和法則,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣和提高解題的信心.下面給出兩道高考試題供讀者參考.

練習(xí)1 (2019年全國(guó)Ⅱ卷理18題)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．

(1)求P(X=2);

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率．

解析(1)X=2就是某局雙方10∶10平后,兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束,則這兩個(gè)球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.

(2)X=4且甲獲勝,就是某局雙方10∶10平后,兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束,且這4個(gè)球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.

因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.

練習(xí)2 (2015年湖南理18題)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng),每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球,在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒(méi)有紅球,則不獲獎(jiǎng)．

(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率;

(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解析(1)設(shè)B1={顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)},B2={顧客抽獎(jiǎng)1以獲二等獎(jiǎng)},C={顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}.

(2)X分布列為

X0123P6412548125121251125

5 教學(xué)啟示

通過(guò)對(duì)兩道高考真題的剖析和解答,我們知道破解這類題型的關(guān)鍵是突破試題的情境、理解題意,然后建立正確的概率模型,結(jié)合概率計(jì)算公式,就能順利求解.我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要注重落實(shí)好以下幾方面內(nèi)容:

5.1 依托實(shí)例,完善體系

在概率教學(xué)過(guò)程中,自始至終都要結(jié)合實(shí)例展開(kāi).教學(xué)中應(yīng)提供豐富的、典型的隨機(jī)現(xiàn)象實(shí)例,鼓勵(lì)學(xué)生提出有價(jià)值的概率問(wèn)題,使學(xué)生經(jīng)歷隨機(jī)現(xiàn)象—隨機(jī)試驗(yàn)—隨機(jī)事件的學(xué)習(xí)過(guò)程,真正搞清楚不同隨機(jī)事件的區(qū)別與聯(lián)系,進(jìn)而建立對(duì)高中階段概率學(xué)習(xí)的知識(shí)體系.體現(xiàn)在解題中,學(xué)生往往對(duì)試題中涉及的隨機(jī)試驗(yàn)下的隨機(jī)事件分析不清楚,不能準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的概率模型.因此教學(xué)中要加強(qiáng)訓(xùn)練,使學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn),完善概率認(rèn)知體系,提高分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力.

5.2 掌握模型,熟練方法

概率的基本性質(zhì)是概率論的重要理論基礎(chǔ),它直接給出了概率的計(jì)算方法,一是由互斥事件的和事件的概率加法公式直接求,二是由對(duì)立事件的減法公式間接求.類型上古典概型的特點(diǎn)是樣本點(diǎn)有限、等可能,相互獨(dú)立事件常以概率不變?yōu)闃?biāo)志,再結(jié)合具體的隨機(jī)試驗(yàn)可以梳理出拋硬幣、擲骰子、取球、比賽等模型.教學(xué)時(shí)可篩選高考真題講練,引導(dǎo)學(xué)生的解題思路——隨機(jī)試驗(yàn)有哪些情形、樣本點(diǎn)是什么、是否有限、是否概率不變,使學(xué)生掌握不同事件概率的求解思路以及相關(guān)的運(yùn)算技巧,從而轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的概率模型進(jìn)行計(jì)算.同時(shí)計(jì)算較復(fù)雜事件的概率,要使學(xué)生養(yǎng)成利用二維表或樹(shù)狀圖表示試驗(yàn)結(jié)果的好習(xí)慣,輔助學(xué)生全面地把握題意.

5.3 提煉思想,提高能力

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科,它為人們認(rèn)識(shí)客觀世界提供了重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法.教師在教學(xué)中需要關(guān)注:(1)關(guān)注學(xué)生審題能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力;(2)滲透培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建概率模型,分析數(shù)據(jù),提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模能力,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;(3)重視數(shù)據(jù)計(jì)算,規(guī)范學(xué)生的解題習(xí)慣和思維訓(xùn)練,提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力．概率素養(yǎng)是學(xué)生在掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上,經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)踐與反思而后逐漸深化形成,于是在教學(xué)中需要滲透思維訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣和提升其概率素養(yǎng)[2]．

總之,在教學(xué)過(guò)程中,教師要促進(jìn)發(fā)展學(xué)生認(rèn)識(shí)不確定現(xiàn)象的思維模式,使學(xué)生學(xué)會(huì)辯證地思考問(wèn)題,成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的人才.