例談求解二面角大小的幾種方法

解 曼 房維維

(哈爾濱師范大學(xué),黑龍江 哈爾濱 150025)

中學(xué)數(shù)學(xué)中的二面角是立體幾何的基礎(chǔ)概念,值得學(xué)生思考重視,對于學(xué)生而言,只有在平時(shí)學(xué)習(xí)中多多積累求解二面角的方法,才能在問題探索中不斷提高解題能力,提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文對求解二面角的方法進(jìn)行歸納和總結(jié),以供讀者借鑒和參考.

1 定義法

在定義法中,二面角的大小是用二面角的平面角來衡量的,就是在平面α和平面β的交線l上找一點(diǎn),過該點(diǎn)在平面α和平面β內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線.如圖1,射線OA與射線OB所夾的角∠AOB就是所求的二面角.在定義法中,二面角的大小是用二面角的平面角來衡量的.

圖1 二面角圖

適用范圍:定義法是最直接的做法,它適用于比較明顯的兩個(gè)平面相交圖形,在解題時(shí)只需要找出兩個(gè)平面、兩個(gè)射線及射線夾角即可,對于不太容易找出射線的圖形可以借助輔助線來解決,如例1中的圖形[1].

例1如圖2,在三棱錐S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°,SA=AB,SB=BC,求二面角A-SC-B的平面角的正弦值.

圖2 例1圖 圖3 例1定義法解析

解析如圖3,取SC中點(diǎn)E,連接BE,

因?yàn)镾B=BC,

所以△SBC是等腰三角形.

由等腰三角形三線合一知BE⊥SC.

過點(diǎn)A作AF⊥SC于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EM∥AF交AC于點(diǎn)M,連接BM,此時(shí)∠MEB就是所求的二面角的平面角.

設(shè)SA=2,則AB=2.

因?yàn)椤蟂AB=90°,

因?yàn)椤螦BC=90°,

因?yàn)椤蟂AC=90°,

由面積相等,知

因?yàn)椤鰿EM∽△CFA,

由余弦定理,知

BM2=AM2+AB2-2AM·ABcos∠CAB

2 補(bǔ)形法

這種方法也是求解二面角大小的重要方法,通過補(bǔ)形能夠順利地作出二面角的平面角,從而整體上把握點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系,與定義法有異曲同工之妙.

適用范圍:補(bǔ)形法顧名思義適用規(guī)則不完整的圖形,利用輔助線將平面的圖形完整化,使之有明確的交線,然后進(jìn)行解題[2].

圖4 例2圖 圖5 例2解析圖

所以AB∥CD,CD⊥AD,AB⊥AD,AE=AD=1.

因?yàn)镻A⊥平面ABCD,

所以PA⊥AB,PA⊥AD,DE=AE+AD=2.

所以DE2=PE2+PD2.

即PE⊥PD.

因?yàn)镻A∩AD于點(diǎn)A,

所以AB⊥平面PED,CD⊥平面PED.

所以CD⊥PE,CD⊥PD.

因?yàn)镻D∩CD于點(diǎn)D,

所以PE⊥平面PCD.

所以PE⊥PC.

又因?yàn)镻E⊥PD,

所以∠CPD就是平面PAD和平面PBC所成的二面角.

以上是在圖形中找二面角的平面角從而求出二面角的大小,除此之外,還可以用公式法來求解二面角,公式法的特點(diǎn)是代入公式中就可直接求出二面角的大小,使用方便,下面給出兩種用公式求二面角的方法[3].

3 射影面積法

適用范圍:這種方法適合一個(gè)面在另一個(gè)面內(nèi)的投影確定的圖形[4],對于這種方法我們依舊看例1.

解析如圖6,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,

圖6 例1射影面積法圖

因?yàn)椤蟂AB=∠SAC=∠ABC=90°,

所以SA⊥AB,SA⊥AC.

所以SA⊥平面ABC.

所以SA⊥BD.

又因?yàn)锽D⊥AC,

所以BD⊥平面SAC.

所以△SDC是△SBC在平面SAC內(nèi)的投影.

設(shè)二面角A-SC-B的平面角為θ,

4 向量法

圖7 兩條法向量方向相同時(shí) 圖8 兩條法向量方向相反時(shí)

適用范圍:向量法適用于所有能作平面直角坐標(biāo)系的圖形,通過找出兩個(gè)半平面的法向量進(jìn)而解出題目.其中,直角坐標(biāo)系的建立是基礎(chǔ),而判斷兩平面的法向量是相等還是互補(bǔ)是難點(diǎn)和關(guān)鍵[5].

例3 如圖9所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,求二面角A1-BD-C1的余弦值.

圖9 例9圖

設(shè)平面DA1B的法向量為m=(x,y,z),則

所以m=(1,-1,-1).

設(shè)平面DBC1的法向量為n=(a,b,c),則

所以n=(-1,1,-1).

設(shè)平面DA1B和平面DBC1所成的二面角為θ,

以上就是求解二面角大小的四種方法即相應(yīng)的例題,在求解二面角的大小時(shí)可以根據(jù)不同的題型采取不同的方法,其中有的題型可以用多種方法來進(jìn)行解決,需要視情況而定.