巧用數(shù)學(xué)思維 解答物理難題

吳宗德

(福建省連城縣冠豸中學(xué),福建 龍巖 366200)

在初中物理解題中經(jīng)常應(yīng)用的數(shù)學(xué)思維主要有:轉(zhuǎn)化思維、逆向思維、方程思維、極限思維、數(shù)形結(jié)合思維[1].在物理教學(xué)實(shí)踐中,教師若能運(yùn)用好上述常用數(shù)學(xué)思維,結(jié)合教學(xué)進(jìn)度,做好應(yīng)用示范,將提高學(xué)生的解題能力,增強(qiáng)學(xué)生解題自信.

1 轉(zhuǎn)化思維的應(yīng)用

解答初中物理難題時(shí)若采用常規(guī)做法難度較大,過程較為繁瑣,可考慮轉(zhuǎn)化思維的應(yīng)用,將看似復(fù)雜的過程進(jìn)行合理等效,化繁為簡,以達(dá)到高效解題的目的.轉(zhuǎn)化思維對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高,教學(xué)實(shí)踐中為使學(xué)生能夠跟上教學(xué)步伐,教師應(yīng)預(yù)留空白時(shí)間,要求學(xué)生認(rèn)真揣摩與反思,把握轉(zhuǎn)化本質(zhì),使其真正理解與掌握,體會(huì)轉(zhuǎn)化思維在解答物理難題中的應(yīng)用,增強(qiáng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維解題的意識(shí).

“浮力”是初中物理的難點(diǎn),對(duì)部分“浮力”問題而言采用常規(guī)方法作答,雖然能計(jì)算出最終答案,但是效率較低[2].教學(xué)實(shí)踐中,教師可啟發(fā)學(xué)生依據(jù)阿基米德原理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,借助數(shù)學(xué)中的“比例”知識(shí),迅速得出結(jié)果.

例1 如圖1,在水平面上放置一半徑為2R圓柱形薄壁容器.將密度為ρ,高為h,半徑為R的圓柱體木塊豎直放置在容器中,隨后向容器中注水.求使木塊豎直漂浮時(shí)向容器中注入水的最少質(zhì)量.

圖1 木塊置于容器中.

假設(shè)向容器中注入水的高度為h′時(shí),木塊剛好漂浮,此時(shí)其對(duì)容器底部的壓力為零,木塊受到的浮力和重力相等,由阿基米德原理可知木塊排開水的重力剛好為其自身重力.m水g=ρR2πhg,對(duì)應(yīng)該部分水的質(zhì)量m水=ρR2πh.木塊排開水的體積V排=R2πh′,將這部分體積看成水,則容器中可裝入水的體積為V=(2R)2πh′,則V/V排=4.表明實(shí)際上容器中的水為3份,1份水的質(zhì)量為m水=ρR2πh,則至少需加入水的質(zhì)量為3m水=3ρR2πh.如此通過轉(zhuǎn)化法解答該題,可減少復(fù)雜運(yùn)算,提高解題效率.

2 逆向思維的應(yīng)用

對(duì)于部分初中物理習(xí)題而言,大多數(shù)學(xué)生會(huì)想到正向思維,一步步地計(jì)算推理,效率并不高,而逆向思維則能節(jié)省不少時(shí)間.教學(xué)實(shí)踐中,教師應(yīng)講解逆向思維并展示具體應(yīng)用,認(rèn)識(shí)應(yīng)用逆向思維解題的必要性[3].

“電路故障的分析”是初中物理電學(xué)部分的熱門問題.分析該類問題的方法靈活多變,對(duì)于選擇題而言采用逆向思維,可迅速排除從而找到正確答案.

例2 如圖2,將燈泡L1和燈泡L2串聯(lián)(燈絲電阻保持不變)在電路中,其中L2的功率為4 W,且L1較L2亮,使用一段時(shí)間后L2燈突然熄滅,L1亮度增強(qiáng),L1的功率為25 W,則L2出現(xiàn)的故障以及L2未熄滅之前,L1的電功率為( ).

圖2 電路圖

A.短路,1 W B.短路,9 W

C.短路,16 W D.斷路,18 W

3 方程思維的應(yīng)用

方程思維是求解未知參數(shù)的重要思維.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),運(yùn)用方程思維解答物理難題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè):設(shè)出合理參數(shù)和根據(jù)物理定律構(gòu)建等式關(guān)系[4].教學(xué)實(shí)踐中,為使學(xué)生掌握運(yùn)用方程思維解題的技巧,教師引導(dǎo)學(xué)生具備列出多個(gè)方程的意識(shí),借助方程求解出目標(biāo)參數(shù).

“比熱容”相關(guān)的計(jì)算是中考的重要考點(diǎn).教學(xué)實(shí)踐中,為提高學(xué)生解題的靈活性,掌握運(yùn)用方程思維解題的具體思路,教師應(yīng)驅(qū)使學(xué)生主動(dòng)思考,確定方程參數(shù),構(gòu)建物理方程.

例3向盛有冷水的容器中倒入一杯熱水,冷水溫度升高10℃.繼續(xù)倒入一杯同樣質(zhì)量和同樣溫度的熱水,容器水溫升高6℃.若此后連續(xù)向其中倒入5杯同樣的熱水,忽略熱量損失,則容器水溫會(huì)升高( ).

A.14℃ B.12℃ C.9℃ D.4℃

由題意可得倒入熱水后,熱水放出的熱量和冷水吸收的熱量相等,據(jù)此列出方程.

設(shè)熱水質(zhì)量為m0,冷水質(zhì)量為m,開始時(shí)熱冷水的溫差為t.向冷水中倒入第一杯熱水時(shí):

cm0(t-10℃)=cm×10℃①;

倒入第二杯熱水后,有:

cm0(t-10℃-6℃)=c(m+m0)×6℃②;

同理,連續(xù)倒入5杯熱水,設(shè)容器水溫升高Δt,有:

5cm0(t-10℃-6℃-Δt)=c(m+2m0)×Δt③;

聯(lián)立①②得到:m=3m0,t=40℃.將這些數(shù)據(jù)代入到③解得Δt=12℃,選擇B項(xiàng).

4 極限思維的應(yīng)用

極限思維又稱極端思維,是向極端分析問題的一種思維.如將質(zhì)量看作無窮大或無窮小就屬于極限思維[5].

“杠桿”是初中物理中的重要知識(shí)點(diǎn).對(duì)于部分“杠桿”類的問題,如采用常規(guī)做法,設(shè)出參數(shù),列出方程,解題難度較大,而且也不一定得出正確結(jié)果.教學(xué)實(shí)踐中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生嘗試著使用極限思維分析問題,將看似復(fù)雜的問題直觀化、簡單化.

例4 如圖3所示,將質(zhì)量均勻等體積實(shí)心物體甲、乙分別掛在輕質(zhì)杠桿的A、B兩端,杠桿平衡.則( ).

圖3 甲乙物體在杠桿中的情形

A.兩物體切掉相等體積,杠桿右端下傾

B.兩物體切掉相等體積,杠桿仍保持平衡

C.兩物體切掉相等質(zhì)量,杠桿左端下傾

D.兩物體切掉相等質(zhì)量,杠桿仍保持平衡

該題如設(shè)出參數(shù)列出方程,計(jì)算非常繁瑣.為提高解題效率,解答該題應(yīng)應(yīng)用極限思維.因甲、乙體積相等,由圖可知甲的質(zhì)量小于乙的質(zhì)量.切掉相等體積,甲、乙質(zhì)量同比例減小,杠桿仍平衡.切掉等質(zhì)量時(shí),假設(shè)將甲的質(zhì)量全部去掉,乙還剩余部分質(zhì)量,杠桿右側(cè)會(huì)下傾,綜上分析選擇B項(xiàng).

5 數(shù)形結(jié)合思維的應(yīng)用

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維分析問題主要分為兩類:根據(jù)題干描述畫出對(duì)應(yīng)圖形,借助圖形將抽象、復(fù)雜的關(guān)系展現(xiàn)出來,更為高效地解題;從給出的圖形中挖掘隱含條件,將圖形與物理情境對(duì)應(yīng)起來,尋找解題的蛛絲馬跡[6].

“浮力”問題中,與圖形相關(guān)的問題難度一般較大,需學(xué)生自己構(gòu)建圖形與物理情境之間的內(nèi)在聯(lián)系.教學(xué)實(shí)踐中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析圖線為什么是這個(gè)形狀,拐點(diǎn)代表什么含義,幫助其找到解題切入點(diǎn),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維解答物理難題.

例5 使用細(xì)繩將底面積為0.01 m2的長方體木塊拴在空容器底部.而后向容器中緩慢加水,直到水和木塊上表面持平.其中木塊底部受到水的壓強(qiáng)與注入水的深度圖像如圖4所示,忽略細(xì)線體積,g取10 N/kg,則( ).

圖4 長方體在容器中的情境以及下表面所受壓強(qiáng)和水深圖像

A.細(xì)線的長度為7 cm

B.木塊重力為15 N

C.細(xì)線對(duì)木塊的最大拉力為6 N

D.木塊的密度為0.6×103kg/m3

綜上所述,在初中物理教學(xué)中,教師應(yīng)將數(shù)學(xué)思維滲透至物理知識(shí)講解中,尤其為提高學(xué)生的物理解題能力,應(yīng)做好習(xí)題的篩選,逐一展示不同數(shù)學(xué)思維在初中物理解題中的應(yīng)用,讓學(xué)生真正理解并吃透不同數(shù)學(xué)思維在物理解題中的應(yīng)用,促進(jìn)其物理解題水平的進(jìn)一步提升.