基于Box-Cox 變換與隨機(jī)系數(shù)回歸模型的非線性退化設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)方法

楊?？?，張建勛，李慧琴，司小勝

火箭軍工程大學(xué) 智劍實(shí)驗(yàn)室，西安 710025

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，各類設(shè)備呈現(xiàn)出集成化、智能化、多元化、復(fù)雜化的發(fā)展態(tài)勢(shì)（例如，航空發(fā)動(dòng)機(jī)、導(dǎo)彈、核電站等）。與此同時(shí)，這些設(shè)備的造價(jià)也愈發(fā)高昂。受內(nèi)在機(jī)制演化、外部環(huán)境改變等因素影響，設(shè)備往往會(huì)不可避免地發(fā)生退化，導(dǎo)致其使用性能降低及健康狀態(tài)劣化。如果單個(gè)設(shè)備模塊或者關(guān)鍵部件出現(xiàn)退化，則有可能造成整個(gè)設(shè)備發(fā)生故障，甚至引起失效并造成不可估量的人員財(cái)產(chǎn)損失。實(shí)踐表明，壽命預(yù)測(cè)與健康管理（Prognostics and Health Man‐agement，PHM）技術(shù)對(duì)于降低設(shè)備的故障率和提高設(shè)備的可靠性具有重要的理論研究?jī)r(jià)值與實(shí)際工程意義［1-4］。

剩余壽命（Remaining Useful Life，RUL）預(yù)測(cè)技術(shù)作為PHM 領(lǐng)域的核心，旨在通過(guò)設(shè)備的退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)設(shè)備的剩余使用壽命，是降低設(shè)備計(jì)劃外失效風(fēng)險(xiǎn)、及時(shí)對(duì)退化設(shè)備進(jìn)行維護(hù)、減少設(shè)備維護(hù)時(shí)間和費(fèi)用的關(guān)鍵技術(shù)［5-6］。作為一類典型的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)方法，基于隨機(jī)系數(shù)回歸模型的剩余壽命預(yù)測(cè)研究開(kāi)展較早。20 世紀(jì)90 年代初，Lu 和Meeker［7］首次提出了一般隨機(jī)系數(shù)回歸模型用于設(shè)備退化數(shù)據(jù)的建模及壽命預(yù)測(cè)。在該模型基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了很多進(jìn)一步的擴(kuò)展研究，例如：Elwany 和Gebraeel［8-9］對(duì)隨機(jī)系數(shù)回歸模型參數(shù)估計(jì)的方法進(jìn)行了改進(jìn)并應(yīng)用于剩余壽命預(yù)測(cè)中；Wang［10］對(duì)隨機(jī)系數(shù)回歸模型的建模思想和應(yīng)用中存在的問(wèn)題進(jìn)行了總結(jié)；Fang 等［11］提出一種自適應(yīng)預(yù)測(cè)缺失數(shù)據(jù)的回歸模型，利用自適應(yīng)回歸函數(shù)對(duì)信號(hào)特征及其相應(yīng)的失效時(shí)間進(jìn)行建模。目前，隨機(jī)系數(shù)回歸模型作為一類能較好體現(xiàn)退化過(guò)程隨機(jī)性的線性模型，國(guó)內(nèi)外學(xué)者不斷研究其在剩余壽命預(yù)測(cè)領(lǐng)域的應(yīng)用與創(chuàng)新。Yan等［12］利用一種迭代更新回歸模型刻畫(huà)軸承健康指標(biāo)的退化趨勢(shì)，并結(jié)合基于蒙塞爾變換的關(guān)鍵點(diǎn)檢測(cè)自適應(yīng)方法，提高軸承剩余壽命的預(yù)測(cè)性能；萬(wàn)昌豪等［13］克服工程實(shí)際中剩余壽命預(yù)測(cè)先驗(yàn)信息不足的問(wèn)題，基于非線性隨機(jī)系數(shù)模型進(jìn)行退化建模；Tang 等［14］針對(duì)一類軟故障退化系統(tǒng)，提出一種具有時(shí)間效應(yīng)的隨機(jī)系數(shù)自回歸模型描述退化過(guò)程，并利用Bayesian 理論周期性更新隨機(jī)系數(shù)，同時(shí)優(yōu)化了動(dòng)態(tài)條件下的維護(hù)策略；Ahsan 和Lemma［15］利用自回歸模型預(yù)測(cè)了燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)的剩余壽命。

然而，需要注意的是，隨機(jī)系數(shù)回歸模型較為依賴歷史退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量。在現(xiàn)有的基于隨機(jī)系數(shù)回歸模型的剩余壽命預(yù)測(cè)研究中，特別是對(duì)于一些非線性設(shè)備的退化數(shù)據(jù)，主要通過(guò)時(shí)間尺度變換［16］、對(duì)數(shù)變換［17］等變換技術(shù)進(jìn)行線性化處理，將非線性退化數(shù)據(jù)變換為近似線性退化數(shù)據(jù)，然后建立線性退化模型用于剩余壽命預(yù)測(cè)。例如，Zhou 等［18］構(gòu)建一種考慮退化速率與退化波動(dòng)率依賴關(guān)系的廣義非線性Wiener 退化模型，該模型具有時(shí)變的均值方差比，并推導(dǎo)出近似剩余壽命的封閉解，進(jìn)一步確定估計(jì)參數(shù)初始值和時(shí)間尺度函數(shù)的方法；Yu 等［19］利用年齡依賴狀態(tài)空間模型構(gòu)建了一種考慮三源不確定性的非線性漂移Wiener 模型，并用渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)退化數(shù)據(jù)和合金疲勞裂紋數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；Zhang等［20］提出了一種非線性漂移分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的鋰電池剩余壽命預(yù)測(cè)方法，該模型將非線性函數(shù)的所有參數(shù)定義為鋰離子電池退化模型的特定隱藏狀態(tài)變量；Xi 等［21］用與時(shí)間相關(guān)的非線性函數(shù)代替漂移項(xiàng)，用以描述系統(tǒng)退化過(guò)程復(fù)雜的非線性特征；Shahkar 和Khorasani［22］提出了一種非線性多變量Bayesian 模型，以解決單次測(cè)量無(wú)法得到足夠系統(tǒng)狀態(tài)信息的情況。但是，時(shí)間尺度變換、對(duì)數(shù)變換等技術(shù)的適用目標(biāo)較為單一、變換函數(shù)的形式較為有限，限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。同時(shí)，對(duì)于非線性退化數(shù)據(jù)，直接采用非線性隨機(jī)模型進(jìn)行建模的方法較大地依賴于非線性函數(shù)形式的選擇，而對(duì)于工程實(shí)際中的非線性退化數(shù)據(jù)選擇何種非線性函數(shù)本身是一個(gè)難題。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出基于Box-Cox 變換（Box-Cox Transformation，BCT）與隨機(jī)系數(shù)回歸模型的非線性退化設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)方法。相比于時(shí)間尺度變換、對(duì)數(shù)變換等變換技術(shù)，BCT 的優(yōu)點(diǎn)在于可以使變換后的回歸模型滿足線性、獨(dú)立性、齊方差性、正態(tài)性，同時(shí)BCT 的函數(shù)形式更具有一般性，可以將多種常見(jiàn)的變化包含在特例中。在采用BCT 和隨機(jī)系數(shù)回歸模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用Bayesian 理論與蒙特卡羅-期望最大化（Monte Carlo Expected Maximization，MCEM）算法對(duì)退化模型的參數(shù)進(jìn)行在線更新?？紤]到本文方法中，不僅需要在Bayesian 框架下進(jìn)行退化模型參數(shù)的后驗(yàn)估計(jì)，還需對(duì)模型其他未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，而常用的期望最大化（Ex‐pectation Maximization，EM）算法需要在其E 步求解完全數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)的條件期望，但該條件期望顯示表達(dá)式的獲得較為困難，因此本文采用MCEM 算法［23］來(lái)近似計(jì)算E 步的條件期望。根據(jù)模型參數(shù)的在線估計(jì)，推導(dǎo)剩余壽命的概率密度函數(shù)及點(diǎn)估計(jì)值，并通過(guò)數(shù)值仿真和鋰電池實(shí)際退化數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文所提方法的有效性。

1 基于BCT 與隨機(jī)系數(shù)回歸模型的退化建模

1.1 退化建模

對(duì)于非線性退化設(shè)備的退化量X(t)，首先采用Box-Cox 變換對(duì)退化數(shù)據(jù)進(jìn)行線性化處理，然后再采用線性隨機(jī)系數(shù)回歸模型對(duì)變換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。Box-Cox 變換是在1964 年由Box和Cox［24-25］提出的一種應(yīng)用非常廣泛的廣義冪變換方法，通過(guò)計(jì)算分析變換參數(shù)λ得到最優(yōu)的BCT，用以改善原始退化數(shù)據(jù)的線性、獨(dú)立性、齊方差性以及正態(tài)性，其一般形式可表示為

式中：X(t)為原始退化量；λ為變換參數(shù)；Z(t，λ)為變換后的退化量；相應(yīng)逆變換可表示為

針對(duì)變換后的退化變量Z(t，λ)，考慮到BCT的非線性數(shù)據(jù)線性化能力，采用式（3）線性隨機(jī)系數(shù)回歸模型對(duì)其時(shí)變演變過(guò)程進(jìn)行建模

1.2 模型參數(shù)估計(jì)

1）離線估計(jì)

2）參數(shù)在線更新

根據(jù)式（3）的性質(zhì)特點(diǎn)和Bayesian 公式，可知：tk時(shí)刻模型隨機(jī)參數(shù)φ、θ的后驗(yàn)分布為兩變量正態(tài)分布，相應(yīng)的后驗(yàn)分布參數(shù)為

1.3 基于MCEM 算法的參數(shù)校準(zhǔn)

由于隨機(jī)參數(shù)θ、φ無(wú)法直接測(cè)量，通過(guò)式（7）直接計(jì)算超參數(shù)Θ的極大似然估計(jì)值較為困難。現(xiàn)有研究中常用EM 算法解決此類參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，但對(duì)于EM 算法，難以求解其E 步積分的顯式表達(dá)式，且迭代優(yōu)化過(guò)程較長(zhǎng)。為解決這一問(wèn)題，本文引入MCEM 算法來(lái)優(yōu)化模型超參數(shù)估計(jì)過(guò)程，提高收斂速度，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下。

進(jìn)一步，結(jié)合式（8）、式（10）可得

2 剩余壽命預(yù)測(cè)

在1.2、1.3 節(jié)求出隨機(jī)參數(shù)的后驗(yàn)估計(jì)后，接下來(lái)是求解設(shè)備RUL 的分布。為此，本文假定退化過(guò)程Z(t，λ)到達(dá)給定的失效閾值時(shí)發(fā)生故障（失效閾值為w，且w>0），這樣，求解剩余壽命的分布就轉(zhuǎn)化為求解退化過(guò)程到達(dá)失效閾值的時(shí)間分布。

將退化過(guò)程中tk時(shí)刻至失效時(shí)刻之間的間隔表示為T(mén)，即為設(shè)備tk時(shí)刻的RUL，那么就有Z(λ)(tk+t)=w，則剩余壽命的條件累積分布函數(shù)為

根據(jù)剩余壽命的定義其取值為非負(fù)的，即T≥0，所以需要對(duì)增加這一約束條件，那么剩余壽命的分布函數(shù)可以進(jìn)一步表示為

基于以上結(jié)果，可以通過(guò)微分求得剩余壽命的條件概率密度函數(shù)為

式中：?(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。

直接對(duì)式（20）求解剩余壽命的點(diǎn)估計(jì)較為困難，而上文已經(jīng)得到Z(λ)(tk+t)=w，將式（17）中t+tk時(shí)刻預(yù)測(cè)的均值代替Z(λ)(tk+t)，即w=，則可以求得tk時(shí)刻RUL 的近似點(diǎn)估計(jì)為

式中：RULk為本文方法對(duì)應(yīng)RUL 的點(diǎn)估計(jì)。

3 數(shù)值分析與實(shí)例驗(yàn)證

3.1 數(shù)值分析

為驗(yàn)證本文模型的有效性，首先通過(guò)數(shù)值例子進(jìn)行仿真?；跀?shù)值仿真數(shù)據(jù)，對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行初始化：μφ0=0.02，=0.2，μθ0=0.05，=0.01，=0.004，λ=0.41，失效閾值給定為2.5，采樣間隔為5。為進(jìn)一步體現(xiàn)本文方法的優(yōu)越性，引入文獻(xiàn)［13］進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其模型為

式中：x0為初始狀態(tài)，且x0=0；Λ(t；θ)為非線性函數(shù)，一般傳統(tǒng)的非線性函數(shù)為exp(θt)?1 或tθ，本文令Λ(t；θ)=exp(θt)?1；

進(jìn)行數(shù)值仿真時(shí)，令φ～N(0.02，0.000 2)，θ～N(0.005，1.0×10?6)，σ2=0.000 1，文獻(xiàn)［13］參數(shù)設(shè)置與本文模型保持一致，仿真出的軌跡如圖1 所示?？梢钥闯鼋?jīng)過(guò)BCT 后的退化軌跡明顯比原始退化仿真軌跡更趨向于線性軌跡；由于文獻(xiàn)［13］采用典型的非線性隨機(jī)系數(shù)模型，擬合更一般的退化數(shù)據(jù)效果明顯不如本文方法。此外，變換后的退化數(shù)據(jù)共有100 個(gè)采樣點(diǎn)，超過(guò)失效閾值的時(shí)刻大概為496。

圖1 數(shù)值仿真與估計(jì)的退化軌跡Fig.1 Degradation trajectory of numerical simulation and estimation

通過(guò)選取21 組退化仿真數(shù)據(jù)估計(jì)，得到模型參數(shù)估計(jì)值，具體通過(guò)表1 對(duì)比真實(shí)值可以看出，數(shù)據(jù)量越大，參數(shù)估計(jì)越準(zhǔn)確。

表1 數(shù)據(jù)累積得到的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 1 Parameter estimation results obtained by data accumulation

為驗(yàn)證本文采用的BCT 對(duì)非線性退化數(shù)據(jù)線性化的效果，并進(jìn)一步量化本文模型擬合退化數(shù)據(jù)的精確度，引入平均預(yù)測(cè)得分、均方誤差、決定系數(shù)、相關(guān)系數(shù)作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)［27］。通過(guò)分析模型預(yù)測(cè)的性能，以佐證本文RUL 預(yù)測(cè)方法的有效性和性能提升程度。

1）平均預(yù)測(cè)得分（Score）計(jì)算公式為

式中：τi=Ti?；Ti為ti時(shí)刻非線性退化設(shè)備真實(shí)的RUL；為ti時(shí)刻非線性退化設(shè)備RUL 的預(yù)測(cè)值，本文用退化模型RUL 的點(diǎn)估計(jì)表示；n為設(shè)備退化總時(shí)間。該指標(biāo)越小，預(yù)測(cè)結(jié)果越準(zhǔn)確。

2）均方誤差（Mean Squared Error，MSE）計(jì)算公式為

式中：Z(ti，λ)為非線性退化數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)BCT 得到的退化數(shù)據(jù)；Z′(ti，λ)為經(jīng)過(guò)本文模型得到的退化數(shù)據(jù)。

MSE 描述了本文模型預(yù)測(cè)誤差平方的均值，該值越小誤差越小。

3）決定系數(shù)（也稱擬合優(yōu)度，R2）計(jì)算公式為

決定系數(shù)刻畫(huà)了模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)RUL 的密切程度，該指標(biāo)取值一般在[0，1]，取值越接近1 表明擬合程度越好。

4）相關(guān)系數(shù)（也稱為關(guān)聯(lián)系數(shù)，r）是統(tǒng)計(jì)學(xué)中重要的評(píng)價(jià)指標(biāo)之一，描述2 個(gè)變量之間的相互關(guān)系和密切程度。本文采用Pearson 相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)BCT 前的退化數(shù)據(jù)和變換后退化數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度，其中變換前的相關(guān)系數(shù)為

變換后的相關(guān)系數(shù)可表示為

相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值介于0～1，通常情況下，該值越接近于1，表明2 個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越密切，越接近于0，2 個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越弱。

5）線性度（又稱非線性誤差，δ）計(jì)算公式為

式中：δ為線性度；xmax、xmin分別為退化數(shù)據(jù)的最大值和最小值；F為退化數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)，可用最小二乘法擬合退化數(shù)據(jù)的回歸方程表示，即

式中：p、q常數(shù)。

線性度描述的是在規(guī)定變化范圍內(nèi)的實(shí)際軌跡偏離擬合特性直線的程度，本文用來(lái)描述設(shè)備退化數(shù)據(jù)偏離擬合模型的程度，線性度越接近于0，說(shuō)明偏離程度越小，線性程度就越好。

給定10、30、60、100 個(gè)采樣點(diǎn)的仿真退化數(shù)據(jù)，然后分別對(duì)BCT 后數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖2所示。結(jié)合圖1，發(fā)現(xiàn)每增加一定的數(shù)據(jù)量，擬合程度越高。觀察模型整體仿真退化軌跡，如圖2（c）所示，可以看出大約在15 個(gè)采樣點(diǎn)后，模型退化軌跡與變換后的退化軌跡重合；另外，模型仿真數(shù)據(jù)與BCT 后的數(shù)據(jù)之間的MSE 為0.001 4，表明本文模型能夠較為準(zhǔn)確地刻畫(huà)出變換后的退化數(shù)據(jù)，體現(xiàn)了本文方法的有效性。

圖2 不同采樣點(diǎn)下得到的仿真退化軌跡Fig.2 Simulation degradation trajectories obtained at different sampling points

圖3 給出了應(yīng)用本文提出的MCEM 算法更新模型超參數(shù)的過(guò)程。從圖3 可以得到，本文模型的隨機(jī)參數(shù)的均值μφ、μθ分別經(jīng)過(guò)大約21、15 個(gè)采樣點(diǎn)后與真實(shí)的參數(shù)值保持相等，收斂速度較快，可見(jiàn)本文采用的MCEM 算法與Bayes‐ian 思想結(jié)合的方法估計(jì)參數(shù)效果十分明顯。

圖3 模型參數(shù)估計(jì)Fig.3 Model parameter estimation

圖4為本文模型與文獻(xiàn)［13］中的模型在第49個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)的RUL 估計(jì)及其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)，從圖中可以看出，本文方法預(yù)測(cè)的結(jié)果幾乎與真實(shí)的RUL 重合，且相較于文獻(xiàn)［13］隨機(jī)性更小，可見(jiàn)本文模型能較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出相應(yīng)時(shí)刻的RUL。

圖4 第49 個(gè)采樣點(diǎn)RUL 的概率密度函數(shù)Fig.4 Probability density function of RUL at the 49th sampling point

圖5 給出的是通過(guò)時(shí)間累積得到的RUL 預(yù)測(cè)結(jié)果，圖6 為本文模型預(yù)測(cè)的RUL 及相應(yīng)的概率密度函數(shù)，明顯看出在預(yù)測(cè)初期，模型需要經(jīng)過(guò)約17 個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)間后可以得到接近真實(shí)的RUL，且后期預(yù)測(cè)效果精度較高，預(yù)測(cè)結(jié)果較為穩(wěn)定。

圖5 RUL 預(yù)測(cè)Fig.5 RUL prediction

圖6 本文方法得到RUL 的概率密度函數(shù)Fig.6 Probability density function of RUL obtained by this method

圖7 為文獻(xiàn)［13］方法預(yù)測(cè)得到的RUL，預(yù)測(cè)結(jié)果雖能較為迅速地收斂于真實(shí)RUL，但預(yù)測(cè)精度略低于本文模型。圖8 為原始數(shù)值仿真數(shù)據(jù)未經(jīng)過(guò)BCT、直接通過(guò)本文模型預(yù)測(cè)得到的RUL，與圖6 對(duì)比，可以看出雖然預(yù)測(cè)結(jié)果最終仍能收斂于真實(shí)RUL，但需要經(jīng)過(guò)約50 個(gè)采樣點(diǎn)才能較為精準(zhǔn)地估計(jì)出真實(shí)RUL，且隨機(jī)性較大?？梢?jiàn)非線性退化數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)BCT 后得到近似線性退化數(shù)據(jù)再進(jìn)行RUL 預(yù)測(cè)，效果要優(yōu)于未經(jīng)變換的退化數(shù)據(jù)。

圖7 文獻(xiàn)［13］方法預(yù)測(cè)的結(jié)果Fig.7 Results predicted by Ref.［13］

圖8 BCT 前數(shù)據(jù)估計(jì)RUL 的概率密度函數(shù)Fig.8 Probability density function of RUL estimated by data before BCT

3.2 實(shí)例驗(yàn)證

鋰電池具有輸出電壓高、能量密度高、使用壽命長(zhǎng)、環(huán)境污染低等特點(diǎn)，作為能源儲(chǔ)存介質(zhì)，廣泛應(yīng)用于航空航天、新能源汽車、新能源發(fā)電等領(lǐng)域［28-30］。鋰電池作為各種設(shè)備重要零部件之一，在循環(huán)使用時(shí)，由于其內(nèi)部復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)、材料的損耗，以及腐蝕、高溫環(huán)境影響或者使用不當(dāng)，就可能導(dǎo)致鋰電池性能降低和健康狀態(tài)劣化，直至壽命終止。2019 年4 月19 日，位于美國(guó)亞利桑那州的公共服務(wù)公用事業(yè)公司（APS）電池系統(tǒng)儲(chǔ)能電站發(fā)生爆炸，直接原因是電芯熱失控后爆炸氣體累積，和氧氣發(fā)生化學(xué)反應(yīng)后燃燒；2021 年4 月16 日，北京市豐臺(tái)區(qū)某儲(chǔ)能電站由于一座電池間鋰電池發(fā)生內(nèi)短路故障，電池模組過(guò)熱失控引發(fā)起火爆炸，事故造成了多人遇難，財(cái)產(chǎn)損失高達(dá)上千萬(wàn)［31］。因此，為了有效降低成本并維護(hù)設(shè)備及人員的安全，準(zhǔn)確估計(jì)出鋰電池的剩余壽命，預(yù)測(cè)健康工作時(shí)間就凸顯出重要意義。

采用馬里蘭大學(xué)的CS2-38 鋰電池的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例研究來(lái)驗(yàn)證本文模型的有效性［32-33］。該型號(hào)鋰電池是在標(biāo)準(zhǔn)的恒定電流/恒定電壓協(xié)議下，對(duì)所有的鋰電池進(jìn)行相同充電過(guò)程，在電壓達(dá)到4.2 V 之前，電流速率保持在0.5 C，之后電壓恒定在4.2 V，直至充電電流降到0.05 A 以下。放電過(guò)程的截止電壓為2.7 V，重復(fù)進(jìn)行充放電實(shí)驗(yàn)后，每組數(shù)據(jù)將會(huì)被隨機(jī)編號(hào)。目前，該數(shù)據(jù)集已被廣泛應(yīng)用于各類鋰電池退化與剩余壽命相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中。

結(jié)合2.2 節(jié)，對(duì)CS2-38 鋰電池實(shí)際退化數(shù)據(jù)應(yīng)用本文提出的BCT 方法，其對(duì)應(yīng)的變換參數(shù)的估計(jì)值為λ=3.35。計(jì)算得到變換前退化數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)和線性度分別為?0.890 7、22.17%，變換后的分別為?0.970 7、12.96%，并且通過(guò)圖9 可以看出，鋰電池退化數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)BCT 后線性度明顯高于變換前；此外，基于本文方法的擬合軌跡整體上與變換后的退化軌跡重合，但是本文模型由于考慮了退化過(guò)程樣本數(shù)據(jù)的差異性，導(dǎo)致整體退化過(guò)程的隨機(jī)性較高于參數(shù)φ=0 時(shí)的模型，二者M(jìn)SE 分別為0.045 1、0.005 0，驗(yàn)證了本文所提方法的合理性。

圖9 BCT 后及估計(jì)的退化軌跡Fig.9 Degradation trajectories after BCT and estimated

圖10、圖11 分別給出了鋰電池退化數(shù)據(jù)BCT 前、后經(jīng)過(guò)本文模型估計(jì)得到的RUL 及其概率密度函數(shù)。作為非線性退化數(shù)據(jù)，雖然通過(guò)本文模型也能較為準(zhǔn)確地估計(jì)出非線性設(shè)備的RUL，但隨著退化數(shù)據(jù)的累積，其預(yù)測(cè)精度和隨機(jī)性都大于經(jīng)過(guò)BCT 后的預(yù)測(cè)結(jié)果。對(duì)比圖10、圖11，明顯看出通過(guò)本文方法估計(jì)RUL 的隨機(jī)性逐漸減小，預(yù)測(cè)精確性也較高，證明了本文基于BCT 方法的優(yōu)越性。

圖10 本文模型RUL 的概率密度函數(shù)Fig.10 Probability density function for RUL of this model

圖11 BCT 前數(shù)據(jù)估計(jì)RUL 的概率密度函數(shù)Fig.11 Probability density function of RUL estimated by data before BCT

表2 給出了通過(guò)仿真退化數(shù)據(jù)與鋰電池退化數(shù)據(jù)在BCT 前后進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)時(shí)，Score、MSE、R2、r·，t、δ這5 個(gè)性能指標(biāo)對(duì)比結(jié)果。可以發(fā)現(xiàn)，仿真退化數(shù)據(jù)與鋰電池退化退化數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)BCT 后用于剩余壽命預(yù)測(cè)，對(duì)比采用文獻(xiàn)［13］非線性退化模型剩余壽命預(yù)測(cè)，對(duì)應(yīng)的模型性能指標(biāo)Score、MSE 均小于變換前的退化數(shù)據(jù)，而擬合度大于變換前的退化數(shù)據(jù)；此外，相關(guān)系數(shù)較BCT 前的退化數(shù)據(jù)分別有10.05%、8.98%的提升，線性度較變換前的退化數(shù)據(jù)分別有70.77%、41.54%的提升。綜合以上對(duì)比結(jié)果表明，本文提出的方法在非線性退化設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)中具有較好的適用性，與已有方法相比在預(yù)測(cè)性能上擁有一定的優(yōu)勢(shì)。

表2 本文模型預(yù)測(cè)性能對(duì)比Table 2 Comparison of model prediction performance

4 結(jié)論

針對(duì)非線性服役設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)問(wèn)題，提出了基于BCT 與隨機(jī)系數(shù)回歸模型的非線性設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)方法，采用BCT 對(duì)退化數(shù)據(jù)進(jìn)行線性化處理，在此基礎(chǔ)上通過(guò)隨機(jī)系數(shù)回歸模型構(gòu)建退化模型，運(yùn)用Bayesian 理論與MCEM 算法在線更新模型參數(shù)，推導(dǎo)出了剩余壽命的分布函數(shù)以及其點(diǎn)估計(jì)值。最后通過(guò)數(shù)值分析與鋰電池非線性退化數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證研究，結(jié)果表明：針對(duì)非線性退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)BCT 后的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行建模進(jìn)而預(yù)測(cè)剩余壽命，模型擬合度和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性均有顯著提升，從而驗(yàn)證了本文方法的有效性和潛在的工程應(yīng)用價(jià)值。