以能量表征的平面應(yīng)變及平面應(yīng)力Ⅰ型裂紋J 積分解

馮子夜，蔡力勛，于思淼

西南交通大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院，成都 610031

J 積分作為一個(gè)定義明確、理論嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膹椝苄詳嗔蚜W(xué)基礎(chǔ)參量，既能表征裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)程度，又能與加載過程中能量相關(guān)而可以通過試驗(yàn)進(jìn)行測(cè)定，因此， J 積分理論表征對(duì)于含裂紋結(jié)構(gòu)的安全評(píng)價(jià)有重要意義。

1921 年，Griffith［1］提出 了 能 量平 衡 理 論，奠定了斷裂力學(xué)基礎(chǔ)。1957 年，Irwin［2］提出了應(yīng)力強(qiáng)度因子概念，并與能量釋放率建立聯(lián)系，使斷裂力學(xué)進(jìn)入新階段。1967 年和1968 年，Cherepanov［3］和Rice［4］獨(dú) 立 提 出 了J 積 分 概 念，不 久，Rice［5］和Hutchinson［6］等，提 出 了 描 述 平 面 裂 紋的裂尖彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)理論解，即HRR 場(chǎng)奇異解，為彈塑性斷裂力學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。1972 年，Begley 和Landes［7］提 出 了 以J 積 分 為 控制參量的彈塑性斷裂準(zhǔn)則，將J 積分作為延性材料裂紋試樣斷裂判據(jù)，在材料與結(jié)構(gòu)彈塑性裂紋問題的安全評(píng)價(jià)中得到應(yīng)用。1981 年，Kumar等［8-9］基 于Shih 和Hutchinson［10-11］所 提 出 的 對(duì)Ⅰ型裂紋試樣J 積分與載荷關(guān)系的方程，針對(duì)6 種裂紋試樣，通過大量有限元計(jì)算編制了用于插值求解材料彈塑性J 積分的、含大量離散式有限元分析數(shù)據(jù)表格的EPRI（Electric Power Research Institute）手冊(cè)。EPRI 手冊(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)用繁瑣，并未得到廣泛工程應(yīng)用。20 世紀(jì)90 年代，為研究平面約束度對(duì)J 積分的影響，O’Dowd、Shih、Chao 和Nikishkov 等 陸 續(xù) 提 出 了 的J-Q［12-13］理 論、J-A2理論［14-15］、J-A 理論［16-18］，對(duì)不同的材料及幾何形狀進(jìn)行了一系列詳細(xì)的有限元分析，計(jì)算量很大。

在現(xiàn)有方法中，J 積分的計(jì)算可以分為2 大類：一是按照簡化模型或者工程估算方法進(jìn)行計(jì)算，如EPRI 法，二是通過有限元分析或試驗(yàn)方法獲取J 積分值。Qian 等［19］利用有限元分析對(duì)多種試樣的J 積分進(jìn)行了求解，但理論性不足。賀屹等［20］建立了J 積分-載荷半解析公式，僅求解了平面應(yīng)變條件下的J 積分。在現(xiàn)行的斷裂韌度試驗(yàn)方法［21-22］中，主要對(duì)裂紋尖端具有符合平面應(yīng)變條件的高約束度標(biāo)準(zhǔn)緊湊拉伸 （Compact Tension，CT） 試樣、單邊裂紋彎曲 （Single Edged notched Bending，SEB） 試 樣、圓 形 緊 湊 拉 伸（Round Compact Tensile，RCT）試樣［23］等進(jìn)行試驗(yàn)以獲得材料斷裂韌度。此外，中心穿透裂紋（Center Cracked Tension，CCT）板試樣［24］、雙邊裂紋拉伸（Double Edge-notched Tension，DET）試樣以及C 型拉伸（C-shaped Inside Edgenotched Tension，CIET）試樣［25］等也被應(yīng)用于斷裂韌性試驗(yàn)。

材料Ⅰ型裂紋試樣的J 阻力曲線均受到幾何尺寸的約束影響。在線彈性條件下，K 因子有大量數(shù)值公式與解析公式， 不同于K 因子，J 積分較缺乏描述公式，并未形成公式手冊(cè)。1973 年，Rice 等［26］針 對(duì)SEB 試 樣 首 次提 出J 積 分 塑 性 分量與2 倍純塑性應(yīng)變能成正比的解析方程，同期，陳篪等［27］也獨(dú)立提出了相同方程。1979 年，Hutchinson 和Paris［28］針對(duì)Ⅰ型裂紋提出了純塑性J 積分與塑性因子ηp的關(guān)系方程

式中： B 表示試樣厚度；W 為試樣寬度；a 為試樣裂紋長度；Up表示塑性應(yīng)變能，可由載荷位移曲線獲得；無量綱塑性因子ηp多由有限元分析確定，通過有限元模型計(jì)算提取J 積分值，減去彈性部分，根據(jù)式（1）逆向求解獲得。1980 年，Ernst 和Paris［29］進(jìn)一步證明了J 積分塑性分量與ηpUp呈正比關(guān)系。Donato［30］和Huang［31］等分 別在2006 年和2014 年通過有限元分析對(duì)SEB 試樣的因子進(jìn)行了綜合分析，認(rèn)為ηp與材料、幾何、變形均相關(guān)。

目前為止，學(xué)者們所提出的獲取J 積分的方法公式形式復(fù)雜，缺乏更簡易的方式獲得形式統(tǒng)一的表達(dá)式。本文基于能量密度等效［32-34］，考慮有效變形體積效應(yīng)對(duì)含裂紋試樣J 積分的影響，提出了以能量表征的、適用于平面Ⅰ型裂紋試樣J 積分半解析解。

1 Ⅰ型裂紋試樣應(yīng)變能

彈塑性力學(xué)中物理關(guān)系，即等效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可采用Ramberg-Osgood 律（R-O 律）來表征

式中：σeq、εeq、εe-eq和εp-eq分別為等效應(yīng)力、等效應(yīng)變、等效彈性應(yīng)變和等效塑性應(yīng)變；E、K、N 分別為彈性模量、應(yīng)變強(qiáng)化系數(shù)和應(yīng)力強(qiáng)化指數(shù)。

對(duì)于單向受載、各向同性、材料本構(gòu)關(guān)系為冪律或線性的任一構(gòu)元，根據(jù)積分中值定理，在其有效變形域內(nèi)存在一個(gè)能量密度中值點(diǎn)M［35-36］，使得構(gòu)元的總應(yīng)變能U 與點(diǎn)M 代表性體積單元（Representative Volume Element，RVE）的應(yīng)變能密度之間有如下關(guān)系

式 中：μM為點(diǎn)M 材料RVE 的應(yīng)變能密度；Veff為構(gòu)元的有效變形域體積。進(jìn)一步地，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下點(diǎn)M 材料RVE 的應(yīng)變能密度可等效轉(zhuǎn)換為單軸應(yīng)力狀態(tài)下RVE 的能量密度［37］，即

式中：σij和εij分別為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力張量和應(yīng)變張量；σeq和εeq分別為簡單應(yīng)力狀態(tài)下的等效應(yīng)力和等效應(yīng)變。

由式（3）和式（4），受載試樣在有效變形域內(nèi)的應(yīng)變能可表示為

在彈塑性條件下，根據(jù)文獻(xiàn)［8］，單向受載的Ⅰ型裂紋構(gòu)元試樣的總應(yīng)變能U 可以表為純彈性應(yīng)變能Ue與純塑性應(yīng)變能Up的工程疊加，即

式中：h、he和hp分別為載荷P 作用下加載線總位移、彈性位移和塑性位移。

結(jié)合式（4）、式（5）和式（6），Ⅰ型裂紋試樣的無量綱應(yīng)變能可表示為

式中：m 為有效體積折減指數(shù)。在純塑性條件下，假設(shè)

式中：k1和k2分別為塑性位移系數(shù)和塑性位移指數(shù)。考慮試樣點(diǎn)MRVE 的等效應(yīng)變與等效應(yīng)力與加載線位移有關(guān)，即

式中：k3和k4分別為應(yīng)變系數(shù)和應(yīng)變指數(shù)。則由式（7），塑性應(yīng)變能Up可表為

式中：mp為純塑性變形指數(shù)；ξp為純塑性能量-位移曲線的曲度。

在純線彈性條件下，N=1，由式（7），應(yīng)變能Ue關(guān)于位移的表達(dá)式可設(shè)為

式中：k0為彈性體積系數(shù)。

在彈塑性條件下

2 Ⅰ型裂紋試樣J 積分解

在彈塑性條件下，單向受載試樣的Ⅰ型裂紋試樣在變形過程中，總位移可由按工程疊加得到［9］

由功能原理即

考慮式（11）、（12），以he和hp分別對(duì)式（15）分別求導(dǎo)，并結(jié)合式（14）可得到表述Ⅰ型裂紋試樣彈塑性載荷-位移關(guān)系的半解析解

由J 積分的Rice 能量定義

式（11）對(duì)裂紋長度a 求導(dǎo)后，結(jié)合式（16）和式（17）得到載荷-J 積分方程，無量綱化后可得Ⅰ型裂紋試樣的純塑性J 積分

式中：J*為特征J 積分。結(jié)合式（11）、式（16）和式（18）可得Ⅰ型裂紋試樣純塑性能量-J 積分解

同理，可得到I型裂紋試樣純彈性能量-J積分解結(jié)合式（19）和式（20）可得到Ⅰ型裂紋試樣能量-J 積分解

無量綱簡化后可表示為

式中：U*為特征能量，式（22）或式（21）稱為基于能量的平面Ⅰ型裂紋J 積分半解析解。

3 模型參數(shù)的確定方法

本文模型參數(shù)均可由有限元計(jì)算確定，標(biāo)定方法由圖1 框圖流程所示，固定材料參數(shù)E、N 和K，計(jì)算不同a/W 的載荷-位移曲線獲得參數(shù)m；計(jì)算不同彈性模量E 確定參數(shù)k0；計(jì)算不同N 的載荷-位移曲線確定參數(shù)k1～k4，文中有限元模型均采用PLANE182 單元，彈性模量E=210 GPa，泊松比v=0.3。表1 給出了不同試樣的有限元（FEA）模型及模型適用尺寸。

表1 試樣FEA 模型及尺寸Table 1 FEA model and dimension of specimens

圖1 參數(shù)標(biāo)定Fig. 1 Parameter calibration

考慮到有限元模型關(guān)鍵部位網(wǎng)格密度會(huì)對(duì)計(jì)算精度產(chǎn)生較大影響，為提高計(jì)算精度，通過網(wǎng)格加密法選取合理的網(wǎng)格密度。定義裂紋尖端0.02 mm 半徑內(nèi)，單元數(shù)量為8 時(shí)為一倍網(wǎng)格密度，圖2 給出了CT 試樣裂尖網(wǎng)格劃分方式，圖3 給出了不同網(wǎng)格密度下計(jì)算得到的載荷-位移曲線對(duì)比。在保證計(jì)算精度的前提下，為提高計(jì)算效率，本文選取較疏網(wǎng)格密度模型進(jìn)行計(jì)算。表2 和表3 分別給出了不同試樣在平面應(yīng)變及平面應(yīng)力條件下的參數(shù)標(biāo)定結(jié)果。

表2 平面應(yīng)變模型參數(shù)標(biāo)定結(jié)果Table 2 Calibration results of plane strain model parameters

表3 平面應(yīng)力模型參數(shù)標(biāo)定結(jié)果Table 3 Calibration results of plane stress model parameters

圖2 裂尖網(wǎng)格劃分Fig. 2 Meshing of crack tip

圖3 CT 試樣有限元網(wǎng)格驗(yàn)證Fig. 3 Finite element mesh verification of CT

4 模型正確性驗(yàn)證

圖4 給出了SEB 試樣在平面應(yīng)變條件下不同的a/W、不同K 和N 下Jp/J*-Up/U*的幾何無關(guān)純塑性驗(yàn)證曲線。由圖可見，模型預(yù)測(cè)的Jp/J*-Up/U*曲線與有限元分析獲得的曲線吻合良好。

圖4 SEB 試樣純塑性Jp/J*-Up/U*曲線Fig. 4 Jp/J*-Up/U* curves for pure plastic SEB specimens under plane strain condition

圖5 和圖6 給出了不同試樣在平面應(yīng)變及平面應(yīng)力條件下不同應(yīng)變強(qiáng)化系數(shù)K、不同應(yīng)力強(qiáng)化指數(shù)N 下的J/J*-U/U*曲線。

圖6 平面應(yīng)力下彈塑性試樣J/J*-U/U*曲線Fig. 6 J/J*-U/U*curves for elastoplasticity specimens under plane stress condition

圖7給出了材料參數(shù)E=210 GPa，K=1 000 MPa，N=10 下6 種試樣不同裂紋長度a/W 與J 積分的預(yù)測(cè)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果的比較。

圖7 平面應(yīng)變下彈塑性試樣J -（1-a/W）曲線Fig. 7 J -（1-a/W） curves for elastoplasticity specimens under plane strain condition

結(jié)果表明，本文所提出的Ⅰ型裂紋全約束J積分關(guān)于能量的模型與有限元結(jié)果具有良好的一致性，在不同裂紋長度、材料參數(shù)下，模型預(yù)測(cè)曲線與計(jì)算結(jié)果誤差不超過3%，能夠很好地預(yù)測(cè)不同幾何尺寸，不同材料試樣的能量-J積分關(guān)系。

對(duì)于材料參數(shù)（E、K 和N）未知的試樣，可通過相同尺寸的Ⅰ型鈍裂紋試樣進(jìn)行加載，得到彈塑性載荷-位移曲線確定材料參數(shù)。以SEB 試樣為例，在平面應(yīng)變條件下，假設(shè)材料參數(shù)未知，對(duì)相同尺寸的SEB 鈍裂紋試樣加載得到彈塑性載荷-位移曲線，取線彈性段載荷-位移曲線，由式（16）可得到E 為

式中：S1為線彈性段剛度。彈塑性位移減去純彈性位移可得到純塑性載荷-位移曲線，由式（16），K和N為

式中：S2和mp′分別為純塑性載荷-位移曲線冪律擬合之后的系數(shù)與指數(shù)。圖8 給出了不同材料有限元輸入應(yīng)力-應(yīng)變曲線與預(yù)測(cè)材料參數(shù)所得應(yīng)力-應(yīng)變曲線，通過式（23）與式（24）所得材料參數(shù)E、K 和N 與輸入值誤差不超過2%。

圖8 彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系驗(yàn)證Fig. 8 Validation of elastoplasticity stress-strain relationship

5 結(jié) 論

1）基于能量密度等效，提出了基于能量的平面應(yīng)變和平面應(yīng)力Ⅰ型裂紋彈塑性J 積分的半解析解。

2）針對(duì)不同a/W、不同材料的6 類Ⅰ型裂紋試樣，基于能量的平面Ⅰ型裂紋J 積分半解析解預(yù)測(cè)的J 積分-能量關(guān)系與有限元分析結(jié)果密切吻合。