關(guān)注概念形成過程，優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)

［摘? 要］ 帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，能促進(jìn)學(xué)生思維的成長，為幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ). 文章以“平面向量”的概念教學(xué)為例，從“初步認(rèn)識概念”“剖析概念形成過程”“回歸教材查漏補(bǔ)缺”“課堂練習(xí)與小結(jié)”等方面展開教學(xué)，并針對概念教學(xué)從以下三方面談幾點(diǎn)思考：章起始課需從大局出發(fā)，概念本質(zhì)的概括是關(guān)鍵，要注重概念的自然生成.

［關(guān)鍵詞］ 概念教學(xué)；向量；概念形成

概念作為數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，是學(xué)生掌握“四基與四能”的核心，是滲透數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，也是實(shí)施準(zhǔn)確判斷與推理的前提. 然而，有些教師仍存在“重解題，輕概念”的教學(xué)行為，學(xué)生無法吃透概念的內(nèi)涵與外延，導(dǎo)致概念應(yīng)用時(shí)漏洞百出. 李邦河院士認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)科從本質(zhì)上來說就是玩概念的，所謂的技巧不足道也. 由此可以看出，注重概念的形成過程是優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵.

教學(xué)過程

1. 初步認(rèn)識概念

（1）情境引發(fā)向量意識.

情境1：已知甲乙兩車分別以40 km/h與50 km/h的速度從同一出發(fā)點(diǎn)同時(shí)向正南方向行駛，2小時(shí)后，兩車之間的距離為20 km.

情境2：已知甲乙兩車分別以40 km/h與50 km/h的速度從同一出發(fā)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，甲車向正南方向行駛，乙車向正北方向行駛，2小時(shí)后，兩車之間的距離為180 km.

問題1 以上兩個(gè)情境中，車子的行駛速度并沒有發(fā)生變化，為什么2小時(shí)后，兩車之間的距離卻有這么大變化？

設(shè)計(jì)意圖 任何數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生都有一定的緣由，向量的產(chǎn)生就是源于生活的需要. 這里應(yīng)用兩個(gè)簡單的情境讓學(xué)生感知速度不僅僅有大小之分，還存在方向上的區(qū)別，由此使學(xué)生對“有大小也有方向的量”形成初步印象.

（2）問題驅(qū)動(dòng)概念形成.

問題2 請舉一些既有大小又有方向的生活實(shí)例.

學(xué)生提出“重力、作用力、浮力”等一些在物理學(xué)科中接觸過的量.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際中探尋包含大小與方向的量，以激活學(xué)生已有的認(rèn)知體系，啟發(fā)學(xué)生思考.

追問：這些都是既有大小又有方向的量，那么是否存在只有大小沒有方向的量呢？舉例說明.

學(xué)生舉例：身高、年齡、面積等.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生感知不同量的存在，并能自主作出辨別. 任何概念的形成，都需要經(jīng)過大量典型的實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證. 教師在此處讓學(xué)生列舉相應(yīng)條件下的生活實(shí)例，以觀察學(xué)生對概念屬性的領(lǐng)悟情況，為接下來進(jìn)一步抽象概念奠定基礎(chǔ).

師：通過大家所列舉的生活實(shí)例可以看出，現(xiàn)實(shí)生活中存在很多不同的量，有的既有大小又有方向，有的只有大小沒有方向. 類似于一棵樹、一本書等，只能抽象出存在大小的數(shù)量“1”；而力、位移等量，具備大小與方向的特征，這就是我們本節(jié)課即將探究的一種量——向量. （用PPT投影向量的概念）

（3）向量的幾何表示.

當(dāng)學(xué)生掌握了向量的文字表示后，進(jìn)入符號表示的探索環(huán)節(jié).

問題3 如何將實(shí)例中所陳述的向量用符號表示出來呢？

面對這個(gè)問題，學(xué)生呈現(xiàn)出了較豐富的表示方法，如用有箭頭的字母來表示力，但沒有標(biāo)注起點(diǎn)與終點(diǎn)，更沒有標(biāo)注大小等. 經(jīng)過師生的互動(dòng)與交流，最終將向量形象地表示為“有箭頭的線段”. 有些學(xué)生為向量標(biāo)出了單位長度，以比較兩個(gè)向量的大小.

師：在之前的學(xué)習(xí)中，我們都習(xí)慣用符號AB，CD，…來表示線段，如今我們給這些線段符號加上箭頭來表示向量. 在我們的認(rèn)知中，線段AB與BA所表示的是同一線段，那么如今我們研究的與表示的是同一向量嗎？說說你的理由.

生1：不是，帶的箭頭表示它的方向，與的方向恰好相反.

師：不錯(cuò)，向量的研究需要關(guān)注其方向，除此之外，向量還有一個(gè)重要屬性是什么？

生2：大小.

師：很好！

表示向量的大小，我們稱

為向量的模. 與之類似，還可以用a來表示向量a的模. 由于向量存在方向與大小兩個(gè)屬性，因此僅用代數(shù)或幾何形式不能確定一個(gè)向量，只有兩者結(jié)合才行.

（4）特殊向量的分析.

師：通過以上探索，我們可將向量建立成一個(gè)集合，集合中的每個(gè)向量都有一個(gè)名稱，其中特殊的向量有哪些？

生3：單位向量與零向量是最特殊的.

師：為什么說它們最特殊？說說你們的想法.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)特殊向量，并通過思維過程的挖掘，引導(dǎo)學(xué)生類比向量集與實(shí)數(shù)集.

在此過程中，學(xué)生從長度出發(fā)，提出“1”為單位向量的長度，“0”為零向量的長度，這兩個(gè)向量最特殊. 從這一點(diǎn)來看，學(xué)生在不知不覺中將向量集和實(shí)數(shù)集進(jìn)行了類比，自然而然地發(fā)現(xiàn)單位向量與零向量的特殊性.

教師充分肯定了學(xué)生的想法，強(qiáng)調(diào)類比實(shí)數(shù)的研究更利于向量特殊性的發(fā)現(xiàn). 在實(shí)數(shù)中，“0”為正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，只要有0存在，就能確定相反數(shù)；“1”作為“單位”，具有重要作用. 通過實(shí)數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)——“運(yùn)算—運(yùn)算律”的研究，可以預(yù)見向量首先研究的是運(yùn)算，然后是運(yùn)算律或法則等.

設(shè)計(jì)意圖 通過向量集與實(shí)數(shù)集的類比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)特殊向量的存在. 類比分析意在讓學(xué)生明確后續(xù)向量的研究方向，讓學(xué)生站到宏觀的角度來看待問題，掌握數(shù)的基本研究方法.

2. 親歷概念形成過程

問題4 如圖1所示，已知六邊形ABCDEF為一個(gè)正六邊形，請給圖中的線段加上箭頭來表示向量，舉例說說你所標(biāo)注的向量之間具有怎樣的關(guān)系. （給予學(xué)生充足的時(shí)間探索）

問題5 你是怎么發(fā)現(xiàn)各種不同向量的？各種向量之間存在著怎樣的聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生親歷概念定義過程，感知概念是數(shù)學(xué)現(xiàn)象的自然產(chǎn)物. 同時(shí)，讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)概念不僅要有明確的結(jié)論，更要注重過程的探索，這樣才能從真正意義上促進(jìn)思維發(fā)展.

此處，若教師先給學(xué)生平行向量、相等向量、共線向量與相反向量的定義，學(xué)生就喪失了自主探索的機(jī)會，即使后面通過練習(xí)來夯實(shí)知識基礎(chǔ)，仍有不少學(xué)生會因缺乏概念定義過程而出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.

在實(shí)際探索過程中，有學(xué)生從向量的大小出發(fā)，有學(xué)生從向量的方向出發(fā)，認(rèn)為大小與方向相同的向量為相等向量；有學(xué)生畫出類似于與的向量，認(rèn)為這是一對共線向量……整個(gè)課堂研究氛圍良好，學(xué)生的探索熱情高漲.

教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)提出，向量具有自由性，可以平移. 由此，學(xué)生通過互動(dòng)交流，認(rèn)為和也能稱為共線向量. 隨著研究的逐漸深入，學(xué)生的思維也得到有效發(fā)散. 在教師的引導(dǎo)下，平行向量與相反向量的概念由學(xué)生自主抽象而來，雖然過程稍微曲折，卻很圓滿.

將以上研究過程歸納如下：①從方向來分析，方向相同或方向相反的向量為平行向量，若a與b為平行向量，用數(shù)學(xué)符號表示為a∥b. ②從大小來看，相等向量的模相等，若a與b為相等向量，用數(shù)學(xué)符號記作a=b. ③同時(shí)從大小與方向來看，若a，b為相等向量，則a=b；若a，b互為相反向量，則a=-b；零向量和任意向量都是平行的關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號記為0∥a.

問題6 通過向量的概念來看，方向與模決定著向量. 那么今天我們所學(xué)的向量和物理學(xué)科中的矢量具有怎樣的聯(lián)系呢？平行向量、共線向量與線段中的平行和共線分別存在什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方式，對向量與矢量的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行分析，并對向量的性質(zhì)與線段的性質(zhì)進(jìn)行類比，以暴露向量的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生對向量概念的內(nèi)涵與外延產(chǎn)生深刻理解.

3. 回歸教材，查漏補(bǔ)缺

師：請大家現(xiàn)在閱讀教材，看看以上探究結(jié)論與教材中的描述是否一樣，有無什么遺漏或異同處.

設(shè)計(jì)意圖 回歸教材是對探究活動(dòng)的總結(jié)，起到查漏補(bǔ)缺、鞏固提升的效果，同時(shí)也讓學(xué)生明白教材是教學(xué)的依托，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要地位.

4. 練習(xí)與課堂小結(jié)

課堂小結(jié)之前，組織學(xué)生有針對性地進(jìn)行練習(xí)訓(xùn)練（具體略）.

師：本節(jié)課我們主要研究了平面向量的概念，根據(jù)課堂教學(xué)過程與內(nèi)容，現(xiàn)在請大家應(yīng)用思維導(dǎo)圖的方式將本節(jié)課的內(nèi)容梳理一遍.

學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)的方式繪制出了思維導(dǎo)圖，雖然形狀各異，但整體結(jié)構(gòu)基本一樣（比如圖2）.

師：本節(jié)課我們主要探索了平面向量的基本概念與表示方法，初步認(rèn)識了向量集以及特殊向量，對于向量間存在的一些關(guān)系也有所了解. 誰來說說整個(gè)過程的研究思路？

生4：從同類事物中抽象出相同特征—對這一類特征下定義—用數(shù)學(xué)符號表示—發(fā)現(xiàn)特殊情況—研究特殊關(guān)系.

師：總結(jié)得非常到位！值得注意的是向量的方向，單純用代數(shù)無法表達(dá)清楚，需要結(jié)合幾何進(jìn)行描述，由此也能看出向量具備代數(shù)與幾何雙重特征. 同時(shí)，我們都知道數(shù)和運(yùn)算是不離不棄的關(guān)系，如想要解方程x2=2，就需要借助無理數(shù)的概念，應(yīng)用到“開方”的運(yùn)算. 今天我們認(rèn)識了“向量”，接下來應(yīng)該探索它的哪些問題呢？

設(shè)計(jì)意圖 總結(jié)這節(jié)課，具有承上啟下的作用，這里教師應(yīng)用類比的方法為下節(jié)課教學(xué)奠定了基礎(chǔ).

教學(xué)思考

1. 章起始課需從大局出發(fā)

本節(jié)課為章起始課，對于平面向量來說，不僅僅是概念教學(xué)那么簡單，還充當(dāng)著“統(tǒng)領(lǐng)全章”的重要作用. 因此教學(xué)目標(biāo)的制定應(yīng)從以下幾點(diǎn)出發(fā)：①讓學(xué)生在向量概念的形成過程中，感知向量具有集“數(shù)”與“形”于一體的特征；②讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)研究需要從知識的聯(lián)系出發(fā)，應(yīng)用類比思想能更好地揭示知識本質(zhì)；③類比數(shù)與運(yùn)算的研究過程，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)研究數(shù)學(xué)問題的基本思路與方法.

2. 概念本質(zhì)的概括是關(guān)鍵

本節(jié)課涉及的概念不僅數(shù)量多，還比較抽象，教師若以傳統(tǒng)的“注入”模式授課，難免讓課堂死氣沉沉，而帶領(lǐng)學(xué)生親歷概念本質(zhì)的探索過程，不僅讓課堂充滿著生機(jī)與活力，還能提高教學(xué)效率，讓學(xué)生真正掌握概念的內(nèi)涵與外延.

帶領(lǐng)學(xué)生自主探索概念本質(zhì)，一方面教師可以結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知體系，應(yīng)用一定的方法激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生產(chǎn)生探索欲；另一方面教師應(yīng)為學(xué)生提供積極參與的機(jī)會，讓學(xué)生全身心地投入到概念的探索中來.

3. 要注重概念的自然生成

知識發(fā)展具有一定的自然規(guī)律，同樣概念教學(xué)應(yīng)注重概念的自然生成. 這里的自然生成主要涵蓋以下兩個(gè)方面：①知識的自然邏輯順序；②學(xué)生心理的自然邏輯規(guī)律. 例如本節(jié)課，教師帶領(lǐng)學(xué)生從向量產(chǎn)生的背景出發(fā)，讓學(xué)生感知向量源于生活實(shí)際的需要，其產(chǎn)生具有必然性. 在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生都積極地參與其中，充分感知每一個(gè)環(huán)節(jié)、每一個(gè)步驟都那么和諧自然、水到渠成.

總之，概念是數(shù)學(xué)的核心，是思維的起點(diǎn). 概念教學(xué)應(yīng)返璞歸真，引導(dǎo)學(xué)生積極地參與到概念形成與發(fā)展的過程中來，讓學(xué)生感知概念凝聚了數(shù)學(xué)家的思維，是人類對現(xiàn)實(shí)事物認(rèn)識的思想精華. 在概念學(xué)習(xí)過程中形成的思維能力與研究方法，具有更強(qiáng)的遷移力，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).

作者簡介：陸青（1991— ），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.