證明兩直線互相垂直的幾種思路

姜曉玲

【摘要】兩條直線相互垂直屬于兩條直線之間的一種特殊位置關(guān)系，求證兩直線互相垂直也是初中幾何證明題中較為常見的一種問題，需要學(xué)生充分理解直線位置的相關(guān)知識點(diǎn)，同時(shí)也需要有一定的平面與空間想象能力，針對不同的題型，靈活運(yùn)用不同技巧.

【關(guān)鍵詞】直線；垂直；初中數(shù)學(xué)

證明兩直線互相垂直，也就是證明兩直線之間形成的夾角為90°，能夠直接證明兩直線垂直的定理往往不是很多，故在解題時(shí)需要分析具體的題目，運(yùn)用各類知識點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，證明兩直線形成了90°夾角，即兩直線互相垂直.

1利用三角形的高線交于一點(diǎn)

經(jīng)過學(xué)習(xí)可知：三角形的三條高交于同一點(diǎn)，在解題時(shí)，若給出的三角形內(nèi)部的線有兩條為三角形的高，并且第三條線連接三角形的端點(diǎn)和兩條高線的交點(diǎn)，就能夠判斷該線即為三角形的另一條高，即可以找到兩直線垂直.

例1將兩個(gè)含有30°角的直角三角板，如圖1擺放，點(diǎn)D在BC上，連接BE、AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F，問AF與BE是否相互垂直，并說明原因.

解如圖1，延長ED交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螪EC=30°，∠CAB=60°，

所以∠AGE=90°，

所以EG是三角形ABE的一條高，而BC也是三角形ABE的另外一條高，所以點(diǎn)D是三角形ABE高的交點(diǎn)，又因?yàn)锳F經(jīng)過點(diǎn)D，所以AF⊥BE.

對于三角形ABE來說，BC是一條高，延長ED交AB于點(diǎn)G，EG是三角形ABE的另一條高.又因?yàn)槿切蔚娜龡l高均交于同一點(diǎn)，就可以找到第三條高AF，所以可以得到兩直線AF、BE相互垂直.

2利用相似三角形證明

當(dāng)所給的圖形中存在著含有直角的三角形時(shí)，就需要找兩直線的部分線段所在的三角形是否存在與直角三角形相似的情況，若存在，就可以利用相似三角形來證明這兩條線段互相垂直.

例2如圖2，P，Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BP=BQ，過點(diǎn)B作PC的垂線，垂足為H，求證：DH⊥HQ.

本題巧妙地借助了三角形相似的知識點(diǎn)證明兩直線垂直，遇到此類題目，學(xué)生往往可以從需求的目標(biāo)來倒推想要的條件，通過證得條件來一步步證得直線垂直.

3證明兩條直線相交所成的鄰補(bǔ)角相等

鄰補(bǔ)角為兩條直線相交后得到一個(gè)公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角，由于鄰補(bǔ)角的和為180°，當(dāng)鄰補(bǔ)角相等時(shí)，兩個(gè)角就均為90°，即兩條直線是垂直的，所以在證明兩直線相互垂直時(shí)就可以運(yùn)用鄰補(bǔ)角知識.

4利用等腰三角形性質(zhì)

等腰三角形有一個(gè)很明顯的特征，就是底邊的高、底邊的中線、頂角的角平分線三線合一，故有時(shí)在遇到等腰三角形時(shí)，就可以利用三線合一的性質(zhì)加上其他的條件從而幫助解題.

例4如圖4所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，EC⊥BC，EC=BD，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.

解連接AD、AE.因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC，所以∠B=∠ACB=45°，所以∠ACE=90°－∠ACB=45°=∠B，又因?yàn)锳B=AC，BD=CE，所以△ABD≌△ACE，所以AD=AE，又因?yàn)镈F=FE，所以AF⊥DE.

首先通過題目給出的條件，就可以判斷△ABC是一個(gè)等腰直角三角形，再利用條件證得△ABD≌△ACE，從而可得AD=AE，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就能夠解決該類問題.

5結(jié)語

證明兩條直線互相垂直始終都離不開垂直的定義，也就是證明其中有直角，針對不同的問題與條件要善于運(yùn)用不同的知識點(diǎn)，尋找有效的轉(zhuǎn)化方法，從而合理并快速地解決問題.