數(shù)學思想方法在高中數(shù)學解題中的應用

賀海梅

摘 要：數(shù)學思想的實質(zhì)，是建立在對數(shù)學本質(zhì)和知識方法的探討之上，并與學生的實際學習需要相結合而形成的一種有效的學習手段。在數(shù)學學習過程中，有一種思想方法，它可以使數(shù)學的學習變得更加容易。因此，數(shù)學思想方法是一種非常重要的方式，也是一種表現(xiàn)學習思想方法的主要手段。從宏觀的觀點來看，數(shù)學思想方法的差異所帶來的不同，會對數(shù)學學習產(chǎn)生不同的影響，而且，它在高中數(shù)學的求解過程中，占有非常重要的位置。

關鍵詞：數(shù)學思想；高中數(shù)學；數(shù)學解題方式

在高中階段，雖說學生的基礎知識鞏固與經(jīng)驗技能非常重要，不過數(shù)學思想作為學習方法的統(tǒng)一歸納，在學習過程中所呈現(xiàn)的意義和作用也非常明顯。因為在目前的學習階段，數(shù)學思想通過對基礎知識的分類、轉化、歸攏等，能夠幫助學生建立正確的學習思路和解決問題的思想方法，并且樹立遠大的學習目標。

一、化歸數(shù)學思想方法

（一）化歸數(shù)學思想方法在高中數(shù)學中的應用

解析幾何的變換?？偟膩碚f，解析幾何的核心是“數(shù)形結合”，也就是將幾何學中的問題轉換成代數(shù)，從而達到幾何條件代數(shù)化、代數(shù)運算幾何化的局面。將問題從復雜變得簡單，將抽象的問題變得具體，使學生更容易理解問題核心，并學會優(yōu)化解題過程。二次曲線一直是高考中的一個考點，對考生來說，這是一道難題。造成這種情況的原因就是，學生沒有對圓錐曲線問題中蘊含的某些數(shù)學思想和方法進行全面理解，只是一味生硬盲目地解題，不善于把考試中的問題變成日常中的問題，不善于運用所學到的知識來解決新的問題，這是學生解題過程中最大的問題。解析幾何的中心目標是用代數(shù)的方法來對幾何問題進行分析，對于一些圓錐曲線問題，如果用代數(shù)的方法來進行計算，就會變得非常困難，但是如果將圓錐曲線運用到平面幾何中，就會得到很好的解決。

數(shù)列的轉化也是一道重要的題目，而數(shù)列題的求解則是數(shù)列題的核心。運用遞推法，找出它的一般表達式，是近年來各省市高考的一種常見試題。此類問題的形式多種多樣，但在解決這些問題時，應根據(jù)具體情況選擇適當?shù)慕鉀Q方法。對于一般的遞推數(shù)列，一般都可以用等差數(shù)列的方法求解。一般情況下，用遞推法求解數(shù)列所用的一般方法有幾種，每一種方法都有其對應的求解方法。

函數(shù)的變換。函數(shù)反映了在實際生活中，兩個變量之間的聯(lián)系，在解題的時候，學生可以利用對運動與變化的觀察，來分析在自然界中特定問題之間量的依賴關系，將問題中所涵括的非數(shù)學條件排除掉，這樣，就可以利用函數(shù)的方法，將這一類數(shù)量關系表現(xiàn)出來。這樣就可構造函數(shù)將原來的處于靜態(tài)關系下的兩個量轉化為具有動態(tài)關系的兩個量，然后再利用函數(shù)運動的特征進行求解。在此基礎上，對功能進行了動靜轉換，即實現(xiàn)了化歸概念。

（二）培養(yǎng)學生數(shù)學化歸思想的策略

深挖教科書。教材絕不只是學生得到知識信息的載體，它更是學生發(fā)展綜合能力的基礎，是激發(fā)學生發(fā)散性思維、發(fā)展智慧的重要工具。所以，對教材進行深度剖析，充分發(fā)掘其中蘊含的思想方法是十分必要的?；瘹w思維是數(shù)學思想方法的精華，在數(shù)學的教學和學習中，它是一種無法避免的重要思想方法，它不僅僅屬于數(shù)學這一門學科，還可以是一種超越一般數(shù)學知識，并成為一種思維方法的源泉。在高中數(shù)學教科書中，一些數(shù)學知識本身就包含了有關的化歸思想方法，在這種情況下，教師要根據(jù)教科書的特定內(nèi)容，將其挖掘出來。在講解數(shù)學知識的同時，充分挖掘其背后的數(shù)學思想，從而讓學生既知道了知識，又能感受到數(shù)學思想的價值。綜上所述，在普通數(shù)學的教學內(nèi)容中，包含了非常豐富的運用化歸思想方法來解決問題的材料。數(shù)學中的許多定理、公式和規(guī)律的證明，都蘊含著化歸思維的方法。稍微考察一下，我們就會發(fā)現(xiàn)，這種思想方法是無所不在的。所以，在教學過程中，教師要引導學生一步一步地去發(fā)掘課本中的化歸

思想。

運用“變式”的教學方法。在課堂上，可以將“變式”與課堂教學相結合。“變式”訓練實質(zhì)上是一種化歸處理的方式，而“變式”訓練則是將一個不知道的問題變?yōu)橐粋€學生已經(jīng)知道的問題，再經(jīng)過對這個問題的探究，最終得到答案。“變式”的思想方法就是數(shù)學中的一種思想方法。“變式”訓練可以幫助化歸概念由抽象變?yōu)榫唧w，并為學生提供了解決問題的方向和思路。因此，在課堂上，我們要時刻注意“變式”的教學，加強對學生的數(shù)學思想方法的訓練。

拓展解決問題的思維。毫無疑問，當一個人面對一道數(shù)學問題的時候，他會有更多的選擇和解題的思路。所謂一題多解，就是要讓學生能夠從多個角度來考慮問題，并從多個角度來解決問題。在教學過程中，教師可以適當?shù)夭捎靡活}多解的訓練方式，拓寬學生解題思路，提高學生的化歸解題能力。

學習歸納。在長期的練習和答題訓練中，學生的數(shù)學思想能力一定會得到提高，可以通過日常的思維訓練，來加強他們自己的思維能力。解題是進一步提升學生化歸思想的一個重要途徑，而學會對問題進行歸納，將有助于學生更好地掌握化歸思想的途徑、思路以及方法。只有在學生已有知識經(jīng)驗的基礎上積極建構，才能真正地掌握教師所教授的數(shù)學知識。如果教師僅僅是向?qū)W生講解化歸的策略，或者是讓他們機械地去復制，那他們就不可能了解化歸的思想方法，更不可能將它應用于數(shù)學問題的解決。所以，教師要在數(shù)學解題的過程中創(chuàng)造條件，讓學生去經(jīng)歷問題的發(fā)現(xiàn)、探索、討論、求解的過程，在訓練過程中，在遇到一個新的、復雜的數(shù)學問題時，學生會發(fā)現(xiàn)可以實現(xiàn)化歸的方式有很多，但如果沒有絕對確定的方式，就必須對每個途徑進行分析，找出更好的方式，從而讓學生能夠靈活地使用化歸思想方法。在平常的時候，教師就要對學生進行訓練，讓他們在腦子里想一想如何解決這個問題，然后再動手去解決，而不是在沒有認真思考的情況下，就去做題。此外，在學生解決了問題之后，教師還要指導他們對自己的解題思路進行回顧、分析、總結、評價，進一步學習總結解題的方法，并把它提高到思想方法上來。通過總結，使學生對化歸思想在數(shù)學解題中的重要性有一個最大的認識，從而能夠?qū)瘹w思想方法有一個相對的了解，從而提升自己的思考能力?？傊瘹w思想方法是一種重要的思想方法，對解決問題具有直觀、具體和強大的作用。“形”和“數(shù)”之間的轉換，“動”和“靜”之間的轉換，可以幫助學生更好地解決問題，幫助他們更好地掌握問題的解決方法，從而更好地發(fā)揮他們的學習潛力。

二、分類討論思想方法

（一）分類討論思想方法在高中數(shù)學中的應用

如果在高中數(shù)學題目中，所給出的研究對象不能按照統(tǒng)一的對象來進行分析和解決，就需要以特定的分類標準為依據(jù)，將所給出的研究對象劃分為多種條件，并分別對每一種情形都要展開分析和研究，并將每一種情形下的分析結果綜合起來，從而得出最后的答案，這被稱作是分類討論思想，它可以對數(shù)學問題進行全面的分析。在高中數(shù)學知識內(nèi)容中，使用分類討論思想的關鍵和困難，就是要找出一個合適的分類標準，同時要把所有的情形都考慮進去。分類討論思想方法是一種高效地解決和處理高中數(shù)學問題的方式，它可以使研究對象變得更加簡單，同時還可以提升學生的數(shù)學邏輯思維能力，促進他們的數(shù)學思維。由此，可以得出一個結論。比如：已知函數(shù)：，所以需要繪制該函數(shù)的圖形，對于高中生來說，在對這類含有絕對值的函數(shù)進行分析與求解時，要清楚地知道這類函數(shù)是一類分段函數(shù)，首先要對其自變量的取值范圍做一個合理的劃分，再按特定的準則將函數(shù)分為三個區(qū)，每個區(qū)內(nèi)的函數(shù)表現(xiàn)式都是不相同的，依據(jù)這些表現(xiàn)式繪制出一幅很好的函數(shù)圖，最后，把這三個區(qū)的函數(shù)表現(xiàn)式綜合起來，得到一個分段函數(shù)的表達式。

（二）培養(yǎng)學生分類討論思想的策略

通過創(chuàng)設情境，引導學生進入課堂。在高中數(shù)學的教學過程中，有較多的定理、法則、公式和習題都需要選擇分類討論思想，分類討論思想要在整個高中數(shù)學的教學過程中進行貫徹。在教學過程中，教師要與教學內(nèi)容相結合，對學生的分類討論思想進行全面的加強，讓學生在各種問題的分類討論中，對每一個問題進行簡化，促進大多數(shù)復雜問題具體化、形象化、簡單化。在高中數(shù)學分段函數(shù)的教學過程中，要在講授之前，注意創(chuàng)設相應的教學情境，合理地引入新的課程內(nèi)容[1]。比如：某城市的出租車價格是“5公里以內(nèi)8塊錢，其中包括5公里。如果行車距離超過5公里，但又不足15公里，則按每公里1.5元計算費用。超過15公里，每公里2塊錢?！边@種生活情境的問題可以有效激發(fā)學生的興趣，這時，教師可以對學生提出問題：當一名乘客坐車行駛了9公里，他要給出租車司機支付多少元車費？在此基礎上，提出了行車里程與票價的函數(shù)關系，從而利用情境讓學生更有興趣進行做題。

進行調(diào)研，樹立觀念。在一個生動的情境下，讓學生積極地參加對部分函數(shù)的學習，并以各種類型的解析式為主要內(nèi)容。在教學過程中，教師應對知識的生成和發(fā)展過程進行分析。在實際操作中，需要學生做出函數(shù)，的圖像，再做出，（2，）的圖像。現(xiàn)在，需要做一個總結。在一個函數(shù)的定義范圍內(nèi)，一個自變量的取值范圍很大，其相應的規(guī)律也很多，這就是一個函數(shù)。分段函數(shù)是一種統(tǒng)一的函數(shù)，因為其自變量的取值范圍與其對應的關系會有很大的差別。依照圖像構建分段函數(shù)基本概念，使學生能掌握分段函數(shù)的功能。在對概念知識進行解析時，可以促進學生充分把握分類討論思想在解決分段函數(shù)問題時的運用價值。

三、數(shù)形結合思想方法

（一）數(shù)形結合思想方法在高中數(shù)學中的應用

高中數(shù)學的研究對象，可以分為數(shù)與形兩大模塊。數(shù)形之間有著緊密的聯(lián)系，這種聯(lián)系的關系通常被我們稱為數(shù)形結合結構。數(shù)形結合是一種先進的學習思想，也是一種突破傳統(tǒng)模式的數(shù)學思想。通過數(shù)形結合的特殊理念，可以明確一些數(shù)字之間、數(shù)與圖形、圖形與圖形之間的聯(lián)系。通過數(shù)形結合的特殊理念，可以使一些數(shù)字的精確效果和一些圖形的特殊屬性得到明確。通過形式與數(shù)字的有機結合，可以使問題的理解變得簡單，從而提高解題

效率。

（二）培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想的策略

高中教材側重于知識的傳授，卻并沒有將其蘊含的數(shù)學內(nèi)涵的觀念給清楚地表達出來，因此，學生的水平受到限制，要想真正地把握住這些知識的具體內(nèi)容，就必須要有教師的協(xié)助。盡管一些知識可以通過自己的理解、記憶和聯(lián)系來提高，但對數(shù)學觀念的領悟卻不是一蹴而就的，這些意識都是要一點一滴地累積起來的[2]。

提高學生對學習的興趣。在進行教育的時候，教師們要注意運用數(shù)學自身的美，來激發(fā)他們的學習興趣，把抽象的數(shù)字和直觀的形象聯(lián)系起來，從而提高他們在學習方面的興趣。例如在講圓錐曲線、指數(shù)函數(shù)等數(shù)字圖像時，讓學生感受圖像所帶來的美，通過從網(wǎng)上找的圖片，讓學生沉浸于數(shù)學的這種精彩之中。在數(shù)形結合的基礎之上，教師要加強對學生思維的引導。

在此基礎上，加強對數(shù)形結合的思考。在解題、尋找答案的時候，我們要做的就是利用逆向思維，創(chuàng)造新的形象，建立新的思想，通過數(shù)形結合，來對生活中的數(shù)學問題進行歸納。

改革教育方法。按照新課程標準，數(shù)形結合的理論，在讓學生解決問題的時候，他們要看到自己的教育理念，讓他們知道自己的作用。不能一味地只是幫助學生解決問題，而是要讓數(shù)形結合理論實現(xiàn)真正的意義。在數(shù)形結合的教育中，學生要學會“自主探索”“理論與實踐相結合”，這就要求他們要打破過去的習慣，在用數(shù)形結合的方法解決問題的時候，要學會自己去探索，去尋找突破口。光靠聽講，很容易出現(xiàn)“眼高手低”的問題，最后也會落得個一事無成的下場。最好的教學，就是要在遵守基本理論的前提下，做到自主提問、自主探究，這也是現(xiàn)在教師們要鼓勵學生去做的[3]。

完成典型例子的錯誤解析。教師通常使用數(shù)形結合的方式，來分析一些典型的題目，特別是對于一些比較麻煩的問題，教師可以讓學生用自己的方法來嘗試解決問題，在講題的時候，教師可以通過數(shù)形結合的方式來引導學生去思考，并讓他們對這些解題方法的優(yōu)劣好壞進行對比，最后，就可以對有關問題進行總結和歸納。要培養(yǎng)學生的數(shù)學思考能力，要對數(shù)學教學的思想內(nèi)涵有一個整體的把握，提倡他們自己去發(fā)現(xiàn)，去學習，從而做到對學習的舉一反三。

結束語

總而言之，在高中生進行數(shù)學學習的過程中，教師不僅僅要重視學生對數(shù)學基礎知識的理解和掌握，更要重視在思想方面的學習。通過對數(shù)學思想方法進行分析和處理，可以有效培養(yǎng)并提升學生的數(shù)學思想能力和創(chuàng)新意識，從而拓寬他們的解題思路，讓他們可以做到舉一反三，這對他們的數(shù)學成績有很大的幫助，并且對他們的全面發(fā)展有著很大的影響。

參考文獻

[1]項華.試論數(shù)學思想在高中化學解題中的應用[J].數(shù)理化解題研究，2023，25（1）：123-125.

[2]陳林.數(shù)學思想方法在高中數(shù)學解題中的應用[J].數(shù)學之友，2022，36（24）：61-63.

[3]陳林.數(shù)學思想方法在高中數(shù)學解題中的應用[J].數(shù)理天地（高中版），2022，33（21）：85-87.