基于連續(xù)滑?？刂频乃聼o人航行器航向跟蹤研究

楊晨宇，劉 丹，劉 璐，王永華，齊向東，劉雙峰，薛晨陽

(中北大學 儀器科學與動態(tài)測試教育部重點實驗室, 山西 太原 030051)

0 引 言

水下無人航行器（UUA）自主、智能、靈活且能長時間工作需要具備良好的控制性能，。但是因為水下環(huán)境復雜，水流多變，干擾不可控制，航向穩(wěn)定性及其精度無法得到保證仍是一個需要解決的問題。

目前實現(xiàn)UUA 向控制的主要方法包括PID 控制、反步法控制、模糊控制及滑?？刂频萚1]。PID 控制算法較為簡便且控制性能較強，在航向控制方面受到廣泛應用。但對于模型復雜的控制對象而言，PID 控制無法滿足其設計需求，通常需要與其他的控制方法相結合來實現(xiàn)較復雜系統(tǒng)的控制，這會使得其設計變得更為復雜[2]。反步法控制的本質是先拆分，再集成，其主要思想是將高復雜度、高階數(shù)的非線性系統(tǒng)逐一拆分成若干個低階數(shù)子系統(tǒng)，再根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性原理對每個子系統(tǒng)分別設計模擬控制量，再將各部分子系統(tǒng)集成，最終實現(xiàn)總體系統(tǒng)控制[3]。該方法針對模型較為簡單的系統(tǒng)設計精確，而且當系統(tǒng)存在不確定項時，可以放寬匹配條件。但是設計過程較為繁瑣，在航向控制問題中，系統(tǒng)控制量求解時隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加，微分計算越來越復雜，較難在實際控制中應用。模糊控制方法是一種借助模糊規(guī)則和論域分割來實現(xiàn)將復雜系統(tǒng)簡單化的控制方法，其不完全依賴于系統(tǒng)數(shù)學模型，從而具有較強魯棒性[4]，但由于模糊控制自身局限性，難以實現(xiàn)復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及整體化設計，使得無法精確控制系統(tǒng)，使得其動態(tài)品質變差。

滑?？刂葡噍^于其他控制方法而言，其系統(tǒng)結構可以根據(jù)當前的狀態(tài)有針對性地不斷優(yōu)化，且其對外界干擾及模型參數(shù)變化不敏感，從而表現(xiàn)出較強的自適應能力和魯棒性[5]?；谏鲜?，本文采用滑?？刂品椒?，在模糊運動學模型的基礎上，采用干擾觀測器模擬外界干擾，對系統(tǒng)進行干擾補償，結合連續(xù)滑?？刂破鲗崿F(xiàn)水下無人航行器的航向跟蹤。

1 水下無人航行器建模

1.1 坐標系構建

UUV 的空間運動分解成兩部分，第1 部分忽略其形變將其看成在空間中運動的質點，第2 部分為UUA 自身繞重心定點轉動。此次建模主要應用了地面坐標系[6]（固定坐標系）和潛航器坐標系（運動坐標系）對其空間運動進行分析。

為了分析UUV 在整個空間中的運動，首先建立一個地面坐標系。在地面適合處選擇固定點E 將其設置為坐標原點，ζ軸垂直于水平面向下，稱為鉛垂軸；ξ軸平行于水平面，且UUV 前進方向為正方向；η軸垂直于另外兩軸，整個坐標軸滿足右手系，如圖1 所示。

圖1 固定坐標與運動坐標系Fig. 1 Fixed and moving coordinates

1.1.2 UUV 坐標系（運動坐標系）O-xyz

為了分析UUV 在水下的俯仰、首搖、轉動問題，建立一個UUV 坐標系[7]（運動坐標系）。坐標原點設置在UUV 的重心處，x軸水平于UUV 艇身，前進方向為正方向；z軸垂直x軸，下為正方向；y軸與另兩軸垂直且整個坐標系滿足右手系。

1.2 運動參數(shù)

1.2.1 姿態(tài)角

偏航角Ψ：坐標系的x軸在水平面上的投影與地面坐標系ξ 軸的夾角。

俯仰角θ：x軸與水平面的夾角。

橫滾角?：z軸與地面坐標系ζ 軸的夾角。

1.2.2 坐標系之間的轉化

一般UUV 運動問題需要用到2 個坐標系之間相互轉換，適用于航向追蹤問題的坐標系轉換滿足方程[8]

1.3 數(shù)學模型

在UUV 系統(tǒng)中，依然滿足牛頓第二定律。忽略UUV 的形變將其看做一個剛體，并對其整體進行分析，滿足基礎動力學方程：

式中：mi為剛體質量；vi為表示剛體質心的速度矢量；Fi為剛體所受的外力。

1.3.1 運動學模型（固定坐標系下）

UUV 行器通常有6 個自由度，并且它的運動可以看做是剛體運動[9]。在UUV 運動過程中，令表示潛航器只有沿著x軸的線速度，其他方向線速度為0，令T為沿x，y，z軸方向的角速度。推導可得

將上式轉化為廣義向量的矩陣形式為：

由于UUV 運動學模型是在線速度存在非完整約束的條件下得到的[10]，減少了速度的維數(shù)。統(tǒng)有2 個非完整約束，分別為繞y軸的線速度和繞z軸的線速度。因為速度維度的減少，所以速度在這2 個方向為0。這2 個約束可表示為：

將s、a、p展開并且用表示為：

用向量場f1(g),f2(g),f3(g)和f4(g)線性組合稱行的矩陣A(q)來描述速度，則建立如下運動模型：

式中：v1=vx；v2=ωx；v3=ωy；v4=ωz。

《辦法》的另一大亮點是將走逃(失聯(lián))企業(yè)納入重大稅收違法失信案件。將“具有偷稅、逃避追繳欠稅、騙取出口退稅、抗稅、虛開發(fā)票等行為，經(jīng)稅務機關檢查確認走逃(失聯(lián))的”明確作為重大稅收違法失信案件的標準之一，包括稅務局稽查局作出行政決定前已經(jīng)走逃(失聯(lián))，以及稅務局稽查局作出行政決定后走逃(失聯(lián))的。

1.4 模型簡化

1.4.1 縱向運動模型

對于UUV，縱向運動可獨立存在，將UUV 縱向運動單獨拆分出來，為空間的垂直平面運動。對于縱向運動，依然遵循牛頓定律和基礎動力學方程[11]，則有：

1.4.2 側向運動模型

由于縱向參數(shù)在任何時候都不會完全為0，所以側向運動并不會單獨存在。假設UUV 是理想的直鰭舵上下對稱，那么此時的側向運動不含橫滾，此時的側向運動方程為：

式中：；Λ=κ-β；δr為直舵偏向角；v0為潛航器的額定速度，可由方程解出。

1.4.3 橫滾運動模型

UUV 繞x軸轉動被稱之為橫滾，用滾角?來表示其程度大小。分析可得包括橫滾的側向運動模型[12]關于速度v的運動模型為：

式中，δd為差動舵偏角

2 基于數(shù)學模型的航向滑?？刂?/h2>

航向控制可以不考慮橫滾運動，但側向運動不能單獨存在[13]，所以將UUV 看做一個以重心為質點的剛體，考慮其縱向及包含橫滾的側向運動。

將簡化模型中的縱向運動模型和包含橫滾的側向運動模型合并，得

航向控制問題[14]可以表現(xiàn)為。

式中：x1為航向角；a，b為時間常數(shù)；u為簡單系統(tǒng)模型；F為不確定性總干擾。

2.1 干擾觀測器設計

建立一個標稱模型[15]，把建模誤差，噪聲，還有實際的外部干擾都給增廣為一個新的狀態(tài)變量，將新的狀態(tài)變量等效輸入到控制端，進行干擾補償，實現(xiàn)對干擾的完全控制。

定義Lyapunov 函數(shù)：

合適的參數(shù)選取能夠更加精準實現(xiàn)外界干擾補償[16]，增強系統(tǒng)魯棒性。取a=5，b=0.15，d=150 sin（0.1t），k1=500，k2=200。

仿真結果如下

圖2 為設計的干擾觀測器干擾及觀測仿真結果，虛線為實際干擾值，點線為觀測器估計值。仿真結果顯示虛線與點線很好的貼合，說明設計的干擾觀測器可以很好實時估計干擾值。

圖2 干擾及觀測結果Fig. 2 Interference and results of their observations

2.2 基于干擾觀測器的連續(xù)滑?？刂?/h3>

將期望航向角設為xd，誤差取Z1=xd-x1，則滑模函數(shù)為:

基于干擾補償?shù)幕？刂破髟O計為：

選擇Lyapunov 函數(shù)為：

仿真中，用sat(t)飽和函數(shù)代替符號函數(shù)sgn(s)來降低抖動影響[17]。取a=5，b=0.1，d=150sin(0.1t)，xd=sint，k1=500，k2=200，η=5.0，c= 1 5 ， Δ =0.10。

圖3 為干擾值及其誤差對比圖?？梢钥闯?，實際干擾值越大，那么觀測器估計值就越精確，實際干擾值越小，觀測器估計值的偏差越大，但誤差最大不超過5%，符合設計要求。

圖3 干擾及其估計值之間的誤差Fig. 3 Error between the interference and its estimate

當預設航向為一個固定值即為一條直線xd=1 時，圖4 為航向跟蹤仿真結果。實線為預設航向，虛線為航向跟蹤。由仿真結果可以看出，隨著時間增加，航向跟蹤曲線快速和預設航向曲線貼合，說明當預設航向為固定值時，采用基于干擾補償?shù)暮较蚧？刂破骺梢詫崿F(xiàn)對設定簡單航向的穩(wěn)定跟蹤，并且對干擾具有強擼棒性和自適應性。

圖4 預設定航向及航向跟蹤Fig. 4 Pre-set heading and course tracking

當預設航向角設為一個正弦波xd=3sin(3.15t+1.5)時，更方便看出航向角追蹤是否出現(xiàn)偏差。圖5 為預設航向及航向追蹤仿真結果，實線為預設航向，虛線為航向跟蹤。由仿真結果可以看出，隨著時間增加，預設航向曲線和航向跟蹤曲線逐漸貼合，說明采用基于干擾補償?shù)暮较蚧？刂破骺梢詫崿F(xiàn)對設定較復雜航向的穩(wěn)定跟蹤，并且對干擾具有強擼棒性和自適應性。

圖5 預設正弦航向及航向跟蹤Fig. 5 Preset sinusoidal heading and course tracking

當預設航向為一個自定函xd=acot(cot(theta)/sin(PSI)+tan(PSI)/sin(theta))，PSI=atan(xact(2,: ))，theta=-atan(xact(4,:)./sec(PS I))。由圖6 的仿真結果了知，當預設航向角出現(xiàn)航向變化速度過快，變化角度過大時，會使得反饋控制信號具有不連續(xù)性，具體體現(xiàn)為高頻率切換函數(shù)。這對整個控制系統(tǒng)帶來了不利影響，導致跟蹤結果出現(xiàn)較大偏差。但隨時間最終預設航向與實際航向會重合。由以上3 種不同函數(shù)類型的預設航向仿真結果表明，該連續(xù)滑模控制算法在跟蹤方面效果較好。

圖6 預設自定義航向及航向跟蹤Fig. 6 Preset custom heading and course tracking

3 結 論

本文對水下無人航行器進行模糊運動學建模，并對包含不確定因素的系統(tǒng)模型設計一種變結構控制和干擾補償?shù)倪B續(xù)滑?？刂破鬟M行航向跟蹤仿真研究。當預設航線為一條直線時，系統(tǒng)可以快速調整航向，并與預設航向重合。接著以正弦波預設航向，改變固定頻率時，系統(tǒng)能夠快速調整航向與預定航向重合，雖然其間會產(chǎn)生一定誤差但在系統(tǒng)可控范圍。最后設置自定義無規(guī)律預設航向，若預設航向變化速度過快或變化角度過大時，系統(tǒng)由于反饋控制信號的不連續(xù)性導致無法及時調整航向，但隨著時間增加最終會與預設航向重合。以上3 個仿真實驗證明基于干擾補償?shù)幕？刂破骺梢詫崿F(xiàn)對于航向的穩(wěn)定跟蹤，并且具有較強的魯棒性。