基于Copula函數(shù)的黃海波高周期聯(lián)合統(tǒng)計(jì)分析

張 琦,梁丙臣,邵珠曉

(中國海洋大學(xué)工程學(xué)院,山東 青島 266100)

波浪是影響海洋結(jié)構(gòu)物和海上運(yùn)輸?shù)闹匾Ｑ蟓h(huán)境動(dòng)力因素之一[1-2],波浪的穿透性和能量強(qiáng)弱與其波高和周期要素的大小息息相關(guān),波浪的波高和周期越大對工程的破壞越強(qiáng)[3-4]。劉文通[5]通過模擬試驗(yàn)和理論計(jì)算得出,對于沿岸建筑物和海上孤立式建筑物,波高和周期具有同等重要性,只是表現(xiàn)形式不同。近年來,海洋平臺(tái)損壞事故頻發(fā)[6],原因之一是固有振動(dòng)周期長,容易與長波共振,導(dǎo)致整體響應(yīng)過大,從而影響結(jié)構(gòu)強(qiáng)度[7]。因此,建立合理預(yù)測波浪波高和周期設(shè)計(jì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)模型,對于海上工程建筑物安全穩(wěn)定運(yùn)行是十分關(guān)鍵的。

傳統(tǒng)的波高周期聯(lián)合概率密度計(jì)算要求波高與周期的單變量分布屬于同一類型,但實(shí)際上波高和周期擬合出的單變量分布往往不屬于同一類型,因此根據(jù)傳統(tǒng)聯(lián)合分布模型得到的設(shè)計(jì)值與實(shí)際值存在較大誤差。Copula函數(shù)可以靈活地將不同類型的單變量分布聯(lián)結(jié)在一起,同時(shí)還將隨機(jī)變量之間的相關(guān)性考慮在內(nèi),目前該函數(shù)被廣泛用于海洋工程各設(shè)計(jì)參數(shù)間聯(lián)合分布的研究。Wist等[8]利用二維Gaussian Copula函數(shù)建立了波高周期聯(lián)合分布,并將其應(yīng)用于日本海域的海洋工程。秦振江等[9]建立了最大有效波高和最大風(fēng)速的聯(lián)合分布,結(jié)果表明Copula函數(shù)可以較好地模擬實(shí)際數(shù)據(jù)。陳超等[10]采用Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)和Clayton Copula函數(shù)構(gòu)造年極值波高與相應(yīng)風(fēng)速的聯(lián)合分布,并與混合耿布爾分布以及耿布爾邏輯分布進(jìn)行了對比分析,發(fā)現(xiàn)Copula函數(shù)聯(lián)合分布可以更好地表現(xiàn)單變量的非正態(tài)性。陳子燊等[11]研究了粵東汕尾海區(qū)的最大波高和平均周期,擇優(yōu)選取Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)建立二維聯(lián)合分布,提出同現(xiàn)重現(xiàn)期和聯(lián)合重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)值可作為設(shè)計(jì)波高和相應(yīng)周期的上下限。宋春艷等[12]利用Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)構(gòu)建波高周期聯(lián)合分布函數(shù),研究表明Copula函數(shù)可較好擬合波高周期聯(lián)合分布。

黃海是太平洋西部最大的邊緣海,針對該海域的波浪周期聯(lián)合分布研究較少,且以往的研究多采用年極值波高及其對應(yīng)的周期進(jìn)行聯(lián)合分布研究,但年極值波高并不一定對應(yīng)年極值周期。本文基于中國黃海中部海域后報(bào)波浪數(shù)據(jù),對該海域3個(gè)位置點(diǎn)的年極值波高和年極值周期進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,以期為黃海海域海上平臺(tái)建設(shè)提供參考。

1 研究方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

近岸波浪模擬軟件SWAN是基于第三代海浪模型開發(fā)的軟件,可用于任何尺度下風(fēng)生表面重力波的計(jì)算[13],適用于沿海和近海區(qū)域的波浪預(yù)報(bào)[14]。Shao等[15]利用近岸波浪模擬數(shù)值模型SWAN(simulating waves nearshore)對1979—2018年中國近海的波浪場進(jìn)行了數(shù)值模擬,并將模擬的后報(bào)數(shù)據(jù)與浮標(biāo)實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比分析,模擬結(jié)果與實(shí)測波浪數(shù)據(jù)吻合較好。本文以圖1所示的黃海海域3個(gè)位置點(diǎn)(1號(hào) 位置點(diǎn)位于123°E、35°N,2號(hào) 位置點(diǎn)位于 124°E、36°N,3號(hào) 位置點(diǎn)位于 125°E、35°N)1999—2018年海浪的后報(bào)數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)來源,所選用的參數(shù)為每小時(shí)記錄1次的有效波高和譜峰周期,對3個(gè)位置點(diǎn)的年極值波高和年極值周期進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。代表位置點(diǎn)的選取依據(jù)為位置點(diǎn)之間距離較遠(yuǎn)且分散于黃海海域,位置點(diǎn)之間可以構(gòu)成一個(gè)平面以體現(xiàn)區(qū)域性和空間性。

圖1 黃海海域3個(gè)位置點(diǎn)示意圖

1.2 理論分布

對波高和周期年極值數(shù)據(jù),本文采用常見的單變量分布進(jìn)行擬合,包括廣義極值(generalized extreme value,GEV)分布、對數(shù)正態(tài)分布、含有尺度參數(shù)和位置參數(shù)的t分布、威布爾(Weibull)分布、伽馬(Gamma)分布及皮爾遜Ⅲ型(P-Ⅲ)分布。

常用的二維Copula函數(shù)類型有Gaussian Copula函數(shù)、tCopula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù),其中Gaussian Copula函數(shù)和tCopula函數(shù)屬于橢圓Copula函數(shù),Clayton Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)屬于阿基米德Copula函數(shù)。

1.3 擬合優(yōu)度評價(jià)

為了評價(jià)不同概率分布模型的擬合效果,采用Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗(yàn)、赤池信息準(zhǔn)則(akaike information criterion,AIC)、貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian information criterion,BIC)和均方根誤差(root mean square error,RMSE)來評價(jià)模型的擬合優(yōu)度,并據(jù)此選擇最優(yōu)概率分布。

2 結(jié)果與分析

2.1 單變量分布

提取1999—2018年的年極值波高和年極值周期分別建立波高和周期的單變量分布,分別采用廣義極值分布、對數(shù)正態(tài)分布、t分布、威布爾分布、伽馬分布及P-Ⅲ分布對年極值波高和年極值周期序列進(jìn)行概率擬合,波高單變量分布和周期單變量分布的擬合參數(shù)及擬合優(yōu)度評價(jià)結(jié)果分別見表1和表2。

表1 波高單變量分布擬合參數(shù)及擬合優(yōu)度評價(jià)結(jié)果

表2 周期單變量分布擬合參數(shù)及擬合優(yōu)度評價(jià)結(jié)果

對比K-S值、AIC值和RMSE可知,3個(gè)位置點(diǎn)的波高最優(yōu)單變量分布均為廣義極值分布,周期最優(yōu)單變量分布均為對數(shù)正態(tài)分布。

2.2 聯(lián)合分布

對于海洋環(huán)境要素,其特征變量波高和周期之間存在一定的相關(guān)性。經(jīng)計(jì)算,位置點(diǎn)1、2、3年極值波高和年極值周期的Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs分別為0.0716、0.1306和0.1122,可以看出年極值波高和年極值周期之間存在弱的正相關(guān)性。

采用二維正態(tài)聯(lián)合分布對3個(gè)位置點(diǎn)的年極值波高和年極值周期建立傳統(tǒng)二維聯(lián)合分布模型,其概率密度函數(shù)為

(1)

式中:μ1、μ2為位置參數(shù);σ1、σ2為尺度參數(shù);x、y分別對應(yīng)兩種不同的變量值。

計(jì)算得到3個(gè)位置點(diǎn)年極值波高與年極值周期二維正態(tài)聯(lián)合分布累積概率與經(jīng)驗(yàn)分布累積概率散點(diǎn)圖如圖2所示。

圖2 二維正態(tài)聯(lián)合分布累積概率與經(jīng)驗(yàn)分布累積概率散點(diǎn)圖

分別采用Gaussian Copula函數(shù)、tCopula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)進(jìn)行擬合,采用極大似然估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并計(jì)算擬合優(yōu)度評價(jià)指標(biāo),二維Copula函數(shù)擬合優(yōu)度評價(jià)結(jié)果見表3,3個(gè)位置點(diǎn)年極值波高與年極值周期二維Copula函數(shù)聯(lián)合分布累積概率與經(jīng)驗(yàn)分布累積概率見圖3,3個(gè)位置點(diǎn)二維Copula函數(shù)聯(lián)合分布累積概率等值線見圖4。

表3 二維Copula函數(shù)擬合優(yōu)度評價(jià)結(jié)果

圖3 二維Copula函數(shù)聯(lián)合分布累積概率與經(jīng)驗(yàn)分布累積概率散點(diǎn)圖

圖4 二維Copula函數(shù)聯(lián)合分布累積概率等值線

經(jīng)計(jì)算可以得出,位置點(diǎn)1、2、3的年極值波高和年極值周期最優(yōu)二維Copula聯(lián)合函數(shù)均為Frank Copula函數(shù),可見Frank Copula函數(shù)適用于構(gòu)建黃海中部海域所選位置點(diǎn)波高周期二維聯(lián)合分布。對比圖2與圖3可以看出,相較于傳統(tǒng)二維正態(tài)聯(lián)合分布模型,二維Copula函數(shù)對于波高周期二維聯(lián)合分布的擬合效果更好,Copula函數(shù)可以不受單變量分布類型和相關(guān)關(guān)系的限制,更加靈活地構(gòu)造波高周期二維聯(lián)合分布。

2.3 重現(xiàn)期計(jì)算與分析

重現(xiàn)期計(jì)算是對海浪災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行中長期預(yù)測預(yù)警的重要參考,在海洋和港口工程應(yīng)用中是十分重要的[16]。定義單變量重現(xiàn)期為

(2)

式中:T為重現(xiàn)期;F(x)為變量的累積概率;x為變量值。

兩變量聯(lián)合重現(xiàn)期是指變量X1或X2超過某個(gè)特定值的重現(xiàn)期,其計(jì)算公式為

(3)

式中:T0(x1,x2)為兩變量聯(lián)合重現(xiàn)期;x1,x2分別為兩種不同的變量值;P((X1>x1)∪(X2>x2))為任一變量超過某個(gè)特定值的聯(lián)合概率;C(F1(x1),F2(x2))為兩變量均未超過某個(gè)特定值的聯(lián)合概率。

由概率論可推導(dǎo)出條件概率為

(4)

式中:P(H≥h|T≥t)為當(dāng)周期超過某一特定數(shù)值時(shí)出現(xiàn)超過某一設(shè)計(jì)波高的概率,可定義為風(fēng)險(xiǎn)概率,其倒數(shù)即為條件重現(xiàn)期;h為波高;t為周期;FH(h)為波高超過h的累積概率;FT(t)為周期超過t的累積概率;C(FH(h),FT(t))為聯(lián)合累積概率。

單變量重現(xiàn)期是根據(jù)單變量分布推導(dǎo)出的重現(xiàn)期,但單一要素不足以綜合反映海洋災(zāi)害的影響,且任一海洋環(huán)境要素超過一定數(shù)值都會(huì)引起海洋極端事件的發(fā)生,聯(lián)合重現(xiàn)期采用的是“或”重現(xiàn)期,即任一變量超過某一特定值的重現(xiàn)期。條件概率可作為工程建筑物損毀風(fēng)險(xiǎn)率,聯(lián)合重現(xiàn)期可作為海洋工程建筑物波高和周期設(shè)計(jì)值的最大值,對安全系數(shù)要求高的海洋工程建筑物可基于此設(shè)計(jì)。

分別由最優(yōu)二維Copula聯(lián)合函數(shù)計(jì)算3個(gè)位置點(diǎn)年極值波高和年極值周期對應(yīng)的聯(lián)合重現(xiàn)期和條件概率,將其與單變量分布設(shè)計(jì)值進(jìn)行對比,結(jié)果見表4和表5,各位置點(diǎn)不同波高和周期設(shè)計(jì)頻率下單變量重現(xiàn)期、條件重現(xiàn)期及聯(lián)合重現(xiàn)期計(jì)算結(jié)果見表6。

表4 單變量重現(xiàn)期和二維聯(lián)合重現(xiàn)期

表5 年極值波高和年極值周期條件概率

表6 不同波高和周期設(shè)計(jì)頻率下重現(xiàn)期

由表4可知,50a和100a重現(xiàn)期對應(yīng)的波高,位置點(diǎn)3最大,位置點(diǎn)1次之,位置點(diǎn)2最小;50a和100a重現(xiàn)期對應(yīng)的波浪周期,位置點(diǎn)1最大,位置點(diǎn)3次之,位置點(diǎn)2最小;聯(lián)合重現(xiàn)期較單變量重現(xiàn)期小,約是單變量重現(xiàn)期的1/2。按照同頻率原理[16],年極值波高和年極值周期聯(lián)合分布設(shè)計(jì)值大于單變量分布設(shè)計(jì)值, 5～100a重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)波高相對差值為0.61%～3.67%, 設(shè)計(jì)周期相對差值為7.81%～12.53%。

表5顯示,在一定周期設(shè)計(jì)頻率條件下,條件概率隨波高設(shè)計(jì)頻率的減小而減小:同波高和周期設(shè)計(jì)頻率下年極值波高和年極值周期的條件概率位置點(diǎn)1為1.31%～53.57%,位置點(diǎn)2為1.36%～54.11%,位置點(diǎn)3為1.29%～53.36%。由表5和表6可知,3個(gè)位置點(diǎn)波高和周期設(shè)計(jì)頻率0.02的條件概率分別為2.60%、2.70%、2.56%,條件重現(xiàn)期分別為38.46、37.04、39.06a;波高和周期設(shè)計(jì)頻率0.01的條件概率分別為1.31%、1.36%、1.29%,條件重現(xiàn)期分別為76.34、73.53、77.52a。

由表6可知,在相同波高和周期設(shè)計(jì)頻率下,單變量重現(xiàn)期最大,條件重現(xiàn)期次之,聯(lián)合重現(xiàn)期最小。

3 結(jié) 論

a.3個(gè)位置點(diǎn)的波高最優(yōu)擬合分布均為廣義極值分布,周期最優(yōu)擬合分布均為對數(shù)正態(tài)分布。

b.3個(gè)位置點(diǎn)的年極值波高和年極值周期的最優(yōu)二維Copula聯(lián)合函數(shù)均為Frank Copula函數(shù),黃海中部海域年極值波高周期聯(lián)合分布特征相似。

c.單變量重現(xiàn)期較兩變量聯(lián)合重現(xiàn)期大,約為聯(lián)合重現(xiàn)期的2倍。50年一遇和100年一遇對應(yīng)的波高,位置點(diǎn)3最大,位置點(diǎn)1次之,位置點(diǎn)2最小;50年一遇和100年一遇對應(yīng)的波浪周期,位置點(diǎn)1最大,位置點(diǎn)3次之,位置點(diǎn)2最小。同波高和周期設(shè)計(jì)頻率條件下年極值波高和年極值周期聯(lián)合分布設(shè)計(jì)值高于單變量分布設(shè)計(jì)值,其中周期設(shè)計(jì)值的相對差值較波高設(shè)計(jì)值的相對差值略大。

d.在一定周期設(shè)計(jì)頻率條件下,條件概率隨波高設(shè)計(jì)頻率的減小而減小;相同波高和周期設(shè)計(jì)頻率下,單變量重現(xiàn)期最大,條件重現(xiàn)期次之,聯(lián)合重現(xiàn)期最小。