基于波像差理論的實數(shù)編碼遺傳算法優(yōu)化XUV 光學(xué)系統(tǒng)

曾濤　呂麗軍

摘要：由鏡和光柵組成的 XUV 光學(xué)系統(tǒng)具有平面對稱的性質(zhì)，結(jié)合 Lu平面對稱光柵系統(tǒng)的波像差理論和均方根像差評價函數(shù)得到用以優(yōu)化 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的多參量目標(biāo)函數(shù)。為求解該多自變量且大取值區(qū)間的目標(biāo)函數(shù)，提出了一種基于十進制的實數(shù)編碼遺傳算法，并將其用于兩種 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化求值。將求得的優(yōu)化值用光學(xué)仿真軟件 Shadow進行追跡，并和參考文獻進行對比。結(jié)果顯示本文優(yōu)化后的光學(xué)系統(tǒng)在成像質(zhì)量上有明顯上升，表明波像差理論及本文的實數(shù)編碼遺傳算法可以有效地優(yōu)化 XUV 光學(xué)系統(tǒng)，為此類系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計提供了新的思路。

關(guān)鍵詞：波像差理論；實數(shù)編碼；XUV 光學(xué)系統(tǒng)；點列圖

中圖分類號： TN 23；TH 744；O 435 文獻標(biāo)志碼： A

Optimization of XUV optical system by real-coded genetic algorithm based on wave aberration theory

ZENG Tao，LYU Lijun

（Department of Precision Mechanical Engineering， Shanghai University， Shanghai 200072， China）

Abstract： The XUV optical system composed of mirrors and gratings has the property of plane- symmetry. Combining the wave aberration theory of the Lu plane symmetric grating system and the root mean aquare aberration evaluation function， the multi-parameter objective function for optimizing the XUV optical system is obtained. In order to solve the objective function with multiple independent variables and a large value interval， a real-coded genetic algorithm based on decimal is developed in this paper， and it is used for the optimization of two XUV optical systems. The optimized value obtained is traced with the optical simulation software Shadow， and compared with the reference. The results show that the optical system optimized in this paper has a significant improvement in imaging quality， indicating that the wave aberration theory and the real-codedgenetic algorithm in this paper are effective in optimizing the XUV optical system， which provides a new idea for the optimal design of such systems.

Keywords： wave aberration theory；real number coding；XUV optical system；spot diagram

引言

在同步輻射研究中，基于平面對稱布置的 XUV 光學(xué)系統(tǒng)有著重要的應(yīng)用[1]。不同的文獻中對 XUV 的定義頗為不同，本文將 XUV 定義為從軟 X 射線到極紫外波段的光源。超短脈沖的 XUV 光源具有高的空間分辨率和時間分辨率，有助于人們獲得晶體、分子結(jié)構(gòu)和電子軌道的結(jié)構(gòu)信息和動力學(xué)信息，進而更好地認(rèn)識物質(zhì)世界[2]。在以往的 XUV 光學(xué)儀器設(shè)計中，人們傾向于選擇在某個固定工作波長的條件下，分別使由光程函數(shù)得到的幾個像差（目標(biāo)函數(shù)）達到最小，或在一定波長范圍內(nèi)相互抵消[3-4]。這對于單個光學(xué)元件的優(yōu)化設(shè)計來說是準(zhǔn)確且有效的，但是當(dāng)光學(xué)元件數(shù)量增多，且光學(xué)元件的子午焦點與弧矢焦點不重合時，光程函數(shù)發(fā)展而來的像差系數(shù)并不能準(zhǔn)確描述 XUV光學(xué)系統(tǒng)最終的成像位置[5]。因而針對多元件光學(xué)系統(tǒng)成像的精確像差理論以及對成像質(zhì)量進行分析評價的目標(biāo)函數(shù)在 XUV 儀器設(shè)計中顯得格外重要。

2008年，呂麗軍教授在Chrisp的全息光柵波像差理論[6]的基礎(chǔ)上發(fā)展了多個光學(xué)元件的平面對稱光柵系統(tǒng)的波像差理論（Lu 波像差理論）[7]，這個理論對入射光源在光學(xué)元件表面的孔徑光線采取了線性近似處理，采用多項式擬合得到了比光線追跡解析法更簡潔的成像像差計算公式，非常適用于具有平面對稱特性的 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的成像。1994年，Koike 等[5]提出了對光柵系統(tǒng)成像點列圖進行像質(zhì)評估的均方根（rms）評價函數(shù)，它的定義為成像點在光譜色散方向（子午） rms 與垂直色散方向（弧矢）rms 的加權(quán)求和[5]。該評價函數(shù)納入了所有可能的像差以及入瞳高度等因素，因而比以往的單個像差作為評價函數(shù)更具有優(yōu)勢。

在優(yōu)化算法方面，過去的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計常采用阻尼最小二乘法，但該算法是一種局部優(yōu)化算法，遇到極值容易過早收斂[8]。遺傳算法因具有隱含并行性和全局搜索能力強等特點[9-10]，在當(dāng)前的光學(xué)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計中得到了廣泛應(yīng)用。徐挺等[11-12]在優(yōu)化極紫外光譜儀時采用了一種基于二進制編碼的合作型協(xié)同進化遺傳算法，提高了常規(guī)遺傳算法的尋優(yōu)能力，但當(dāng)搜索空間較大時種群仍會過早收斂陷入局部極值。王澤民等[13]在優(yōu)化超大視場光學(xué)系統(tǒng)時，在實數(shù)編碼遺傳算法的基礎(chǔ)上混入了逃逸函數(shù)，改善了算法的魯棒性。方翔等[14]在優(yōu)化魚眼鏡頭時將自適應(yīng)變異概率加入實數(shù)編碼算法中，并將參數(shù)進行歸一化處理，從而大大提高了算法脫離局部極值的能力。本文采用實數(shù)編碼遺傳算法，并結(jié)合逃逸函數(shù)以及自適應(yīng)變異概率來提高全局尋優(yōu)能力。

本文擬對一個單元件的全息球面光柵單色儀和一個具有前置超環(huán)面聚焦鏡的超環(huán)面全息光柵光譜儀進行優(yōu)化設(shè)計：將平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的波像差理論和 rms 評價函數(shù)結(jié)合得到本設(shè)計的非線性多元目標(biāo)函數(shù)，在波像差理論的基礎(chǔ)上發(fā)展伴有逃逸函數(shù)的自適應(yīng)歸一化實數(shù)編碼遺傳算法，并用其對目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化求值。第1節(jié)主要介紹 Lu 波像差理論以及其在像質(zhì)評價函數(shù)中的應(yīng)用，第2節(jié)闡述本文運用的實數(shù)編碼遺傳算法，第3節(jié)分析待優(yōu)化的兩套光學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)設(shè)計參數(shù)并對其進行優(yōu)化，運用光學(xué)仿真軟件 Shadow 對本文優(yōu)化結(jié)果和參考文獻[15]的結(jié)果進行對比驗證分析。結(jié)果表明本文建立的針對 XUV 光學(xué)系統(tǒng)進行優(yōu)化的算法求取的結(jié)果對提高系統(tǒng)的成像質(zhì)量有明顯的效果。

1 Lu 波像差理論與 rms 像差評價函數(shù)

1.1 多光學(xué)元件系統(tǒng)的 Lu 波像差理論

Lu 波像差理論是在單個元件被主光線斜入射的基礎(chǔ)上得到各像差系數(shù)。此處說明各物理參量的意義。圖1為其平面對稱元件的光學(xué)成像示意圖。其中，超環(huán)面光學(xué)元件（鏡或光柵）的頂點位于點，是用于描述該元件表面形狀的坐標(biāo)系，原點位于，且是系統(tǒng)的對稱平面。是一個平面外的光源，發(fā)出的主光線與光學(xué)元件表面交于點，反射后成像于點。在點建立的坐標(biāo)系稱為孔徑（aperture stop）坐標(biāo)系，用以描述入射光線在光學(xué)元件表面的位置，其 z 軸沿著點處的法線方向。光源在對稱平面的投影為，對稱平面內(nèi)的稱為基光線。垂直于的像平面為，為像平面上的像點，場角（field angle）和分別表示和的夾角、和的夾角，為入射角和反射角，為物距和像距。

當(dāng)存在多個光學(xué)元件時，圖 2 為連續(xù)相鄰的光學(xué)元件在弧矢平面中的光路示意圖。一般的光學(xué)元件面的形狀可由如下四階方程[7] 表達，為面形系數(shù)：

u 和 γ 一般都非常小，且通常用 γ 表示物方視場角，表示物方弧矢焦距，表示物方子午焦距。為了表征在 η 軸的方向與點 O 的距離，引入一個非物理參量：

由圖 2 中的幾何關(guān)系容易導(dǎo)出如下關(guān)系式：

式中：；。本文中參數(shù)帶有一撇（'）則表示的是像方參數(shù)，。以上參數(shù)將用于波像差系數(shù)中。文獻 [7] 給出系統(tǒng)的總波像差 W 為

式中：wijk是波像差系數(shù)，由物方波像差系數(shù)Mijk（α; rm ; rs; l）和像方波像差系數(shù)Mijk（β; rm（′）; rs（′）; l′）組成；Mijk由文獻[7]的式（78）～（93）給出；ΛNijk項考慮了光柵刻槽的影響，對于鏡元件該項的值為0，Λ=（）Γ ， m 是光柵級次，λ是工作波長，系數(shù)Nijk和光柵刻槽密度分布系數(shù)nij相關(guān)，文獻[7]的表1給出了Nijk的表達式，Γ和nij由文獻[16]的式（20）～（22）給出。

由文獻[7]的下述像差公式可以得到圖1像平面 x′ O1y′上任一已知入射光線的像點位置：

式中：dijk和hijk叫作橫向像差系數(shù)，由文獻[7]的式（94）～（113）給出； x和 y 是入射光線在光學(xué)元件表面的照射點在孔徑坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)； u為物方場角。當(dāng)系統(tǒng)中存在多個光學(xué)元件時，成像公式（8）中各參數(shù)都應(yīng)替換成被入射光線照射的最后一個光學(xué)元件的物理參數(shù)。如何從一個元件的位置參數(shù)計算得到最后一個元件的相應(yīng)參數(shù)，需要用到相關(guān)的轉(zhuǎn)化系數(shù)。對于有 n 個光學(xué)元件的系統(tǒng)，第 h（h =1，2，··· ， n-1）個元件與第 n 個元件由文獻[7，17-18]給出了如下轉(zhuǎn)換關(guān)系式

式中： x（h）、y（h）、 u（h）為光線在第 h 個光學(xué)元件上的投影點坐標(biāo)和場角； A（h）、 B（h）是第 h 個元件與最后一個元件間的轉(zhuǎn)換系數(shù)。由上述公式，系統(tǒng)總波像差 W[式（9）]的計算可以轉(zhuǎn)化為最后一個元件的波像差計算：

式中： Wijk是總波像差系數(shù)；wijk（h）是第 h 個光學(xué)元件的波像差系數(shù)。現(xiàn)在，對于多元件光學(xué)系統(tǒng)的成像計算來說，式（8）也同樣適用，只需要在求dijk、hijk時，用式（14）的Wijk替換wijk，其他物理參數(shù)用最后一個光學(xué)元件的參數(shù)。至此已完成平面對稱的多元件光學(xué)系統(tǒng)任意一條入射光線的成像數(shù)值計算。

1.2 rms 像差評價函數(shù)

當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)最終成像的像面坐標(biāo)可以由式（8）確定后，我們就可以對成像點進行像質(zhì)分析。對于某一工作波長λt 下物距為 r0的物點光源，可以追跡有限數(shù)量的點。參考文獻[5]定義的 rms 像質(zhì)評價函數(shù)為

式中：！是衡量像點的 x′對 y′相對重要性的權(quán)重因子（！<1）。X、Y 是第一個光學(xué)元件表面被入射光照射的區(qū)域在孔徑坐標(biāo)系xyz中的xOy面上投影的寬度和高度。在 XUV 光學(xué)儀器中，入射光的主光線一般會經(jīng)過光學(xué)元件的中心 O，即圖1中點 P（?）和點 O 會重合，故 x 和 y 的積分域是對稱的（（? ;）、（? ;））。 x′用于衡量像點在 x′方向上的平均分散程度，由于此類光學(xué)系統(tǒng)是水平對稱的，所以 y′方向平均分散程度 y ′積分計算后為0。U 是考慮入瞳高度時物點光源對光學(xué)元件的場角。將式（8）和式（17）代入式（16）和式（18）就得到本文的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù) Q（λt ）的關(guān)鍵兩項Qx′（λt ）、Qy′（λt ）的表達通式：

目標(biāo)函數(shù) Q（λt ）有一個很重要的特點：完全由系統(tǒng)中各光學(xué)元件的物理參數(shù)決定。這給我們后續(xù)優(yōu)化光學(xué)元件的結(jié)構(gòu)參數(shù)指明了方向。為了使儀器光譜分辨率更高，成像應(yīng)該越小越好，即選擇最佳的光學(xué)元件結(jié)構(gòu)參數(shù)使目標(biāo)函數(shù) Q（λt ）達到最小。在優(yōu)化 XUV 光學(xué)儀器時，通常在工作波長范圍內(nèi)選擇 n 個波長同時進行優(yōu)化，最終的像質(zhì)評價函數(shù) Q 為

式中ε（λt ）是各波長λt 對應(yīng)的像質(zhì)權(quán)重因子。

2 混入逃逸函數(shù)的自適應(yīng)歸一化實數(shù)編碼遺傳算法

本文像質(zhì)評價的非線性目標(biāo)函數(shù)公式（21）中，在設(shè)計之初先確定常量 X、Y、U，那么變量就完全由各像差系數(shù)dijk、hijk組成，而這些像差系數(shù)又是只和光學(xué)系統(tǒng)中各個鏡或光柵的物理參數(shù)相關(guān)，如何選擇各物理參數(shù)使得像質(zhì)評價函數(shù)最小的問題實際上是多元函數(shù)求最小極值的問題。光學(xué)設(shè)計領(lǐng)域中常用的牛頓迭代法和阻尼最小二乘法在求極值時很容易陷入局部極值的尷尬，在近年來的文獻調(diào)研中，遺傳算法（GA）被廣泛用于多參量的光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計中，其尋優(yōu)能力較以往的方法有很大改善。

傳統(tǒng)的二進制編碼（編碼符號集為{0，1}）的 GA 在優(yōu)化多維高精度連續(xù)函數(shù)時存在如下缺點：1）表示同一變量域時，二進制代碼串比十進制代碼串長很多，同時還要頻繁地編碼和解碼，極大地增加了計算量和內(nèi)存，導(dǎo)致算法運算效率低[19]；2）當(dāng)變量域較大時，若采用較短的二進制編碼長度則會人為地將連續(xù)變量空間離散化（比如相鄰的兩個編碼串對應(yīng)的變量差值可能相差好幾個整數(shù)量）[14]，該類編碼串大概率會遺漏最優(yōu)解，若采用長的編碼串雖然可以提高精度，但卻導(dǎo)致 GA 的運算量急速增大，尋優(yōu)能力下降；3）實數(shù)域下相鄰的整數(shù)變量對應(yīng)的二進制編碼可能有很大的海明距離，但歐氏距離很小，也就是海明懸崖問題[20]，這會影響交叉和變異操作，從而降低遺傳算子的搜索效率[13]。

為克服上述二進制編碼存在的缺點，本文引入實數(shù)編碼的遺傳算法（ RCGA）來求解目標(biāo)函數(shù)的極值。實數(shù)編碼（編碼符號集為{0，1，2，···，9}）采用解空間的形式進行編碼，以變量的取值數(shù)來確定編碼長度，與同精度的二進制編碼串相比短很多，能對整個尋優(yōu)空間進行搜索，且保持足夠的精度。將每個變量均編碼到[0， 1）內(nèi)的實數(shù)范圍，相當(dāng)于一個歸一化的過程，取各小數(shù)位作基因。以自變量取值[0， 600]為例，可取編碼位數(shù)為4，編碼歸一化為0.0000～0.9999，對應(yīng)的編碼則是0000～9999，相鄰的兩個編碼對應(yīng)的變量差值約為0.06，則能達到0.1的精度，編碼位數(shù)為其他值時亦可同理計算。

本文的適應(yīng)度函數(shù)采用式（21）的倒數(shù)，采用輪盤賭選擇算子，交叉算子采用均勻交叉和多點交叉并行的方式，變異算子采用基因變異。 RCGA 的交叉、變異算子沒有二進制編碼靈活，擺脫局部極值的能力較弱，因此考慮改善不同適應(yīng)度個體的變異能力、提高算法搜索能力，在基因變異階段，引入文獻[21]中的自適應(yīng)公式來動態(tài)調(diào)整種群中各個體的變異概率：

式中：Pm 是個體的變異概率； f 是個體的適應(yīng)度；favg是種群的平均適應(yīng)度； Pm_ max 和Pm_min是預(yù)設(shè)的最大與最小變異概率，這里分別為0.1和0.025。 fmax 一favg是用來衡量算法的收斂程度的尺度，當(dāng)算法收斂到局部最優(yōu)， fmax 一favg值減小，Pm 會增大，從而使算法盡快脫離局部最優(yōu)。 fmax 一f 是衡量個體優(yōu)良程度的尺度，當(dāng)個體的適應(yīng)度 f 低于種群的平均適應(yīng)度favg時，說明個體性能不好，此時取最大的變異概率；而性能好的個體的適應(yīng)度高于favg， fmax 一f 也較小，取較小的變異概率來保證優(yōu)良個體不因變異而被破壞[21]。

為了進一步增強算法跳出局部極值的能力，本文引入逃逸函數(shù)，其思想是當(dāng)算法搜尋到一個已知的局部極小值時，在逃逸函數(shù)的影響下，此時“局部地形”發(fā)生改變，從而跳出極小值[13]。逃逸函數(shù)表達式如下：

式中： xi是第i個優(yōu)化參量；xiL是用不帶逃逸函數(shù)的 RCGA 得到的第i個優(yōu)化參量的極小值。H 和 W 的值通過 k、次試驗計算得到，初值 H0=0.8 ， W0=0.1。圖3是本文的算法流程圖。

3 XUV 光學(xué)系統(tǒng)優(yōu)化實例

3.1 球面全息光柵單色儀的優(yōu)化

當(dāng)超環(huán)面光柵或者變線距光柵被用于 XUV 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計時，光學(xué)元件的數(shù)量可以減少，而單個光學(xué)元件的單色儀一般可以通過采用球形或者超環(huán)面光柵來實現(xiàn)[4]。文獻[15]給出了圖4所示的固定偏轉(zhuǎn)角的 XUV 單色儀裝置，其主要的光學(xué)工作元件是一塊變線距球面全息光柵，工作點光源 A 以及全息刻錄相干點光源 C、D 均位于對稱平面內(nèi)，此時孔徑坐標(biāo)系xyz與全局坐標(biāo)系χηz、重合，場角 u 為0，且參量 l =一l、=0。全息記錄的角度參數(shù)δ、γ和記錄波長λ0要滿足關(guān)系式

由于該單色儀裝置的光學(xué)元件面形為半徑已知的球形，并且放置參數(shù)（α、β、r0、r0（、））也預(yù)先固定，那么待優(yōu)化的參數(shù)只剩下光柵的全息記錄參數(shù)（δ、γ、rc、rd），這幾項與式（7）相關(guān)。由式（25）可以得到δ和γ的關(guān)系，則待求參數(shù)變?yōu)椋é?、rc、rd）。

系統(tǒng)的總體參數(shù)見表1，固定偏轉(zhuǎn)角 K =α一β=69.733O ，某一工作波長為λ的光源入射角α和衍射角β要滿足如下光柵方程（衍射級次m =一1）：

該單色儀工作光源的波長為200…600nm ，可以選擇優(yōu)化波長λ1=200 nm ，λ2=250 nm ，λ3=400 nm ，λ4=600 nm 代入目標(biāo)評價函數(shù)[式（21）]，ε（λt ）均取1，ω取0.8。最終的目標(biāo)函數(shù)可以抽象為 Q = Q（λ1）+ Q（λ2）+ Q（λ3）+ Q（λ4）= f（rc ; rd ;δ），在 MATLAB 中利用本文第2節(jié)所闡述的算法（RCGA）進行求解，計算20次的結(jié)果如圖5所示。

取上述結(jié)果中的最小 Q 值對應(yīng)的各個變量，則本文的優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

通過式（26）和式（27）可以求得不同波長光源的入射角和衍射角，利用幾何關(guān)系可以求得在仿真軟件中設(shè)置的光源發(fā)散角，如表3所示。在 MATLAB 中，將我們的優(yōu)化結(jié)果代入基于波像差理論[式（8）]編寫的點列圖成像程序（追跡大約2500條光線），并在光學(xué)仿真軟件 Shadow 中光線追跡模擬實際的成像結(jié)果，兩者結(jié)果對比如圖6所示。

3.2 前置超環(huán)面聚焦鏡的超環(huán)面全息光柵光譜儀的優(yōu)化

采取與3.1節(jié)相同的優(yōu)化策略，對文獻[15]給出的 XUV 光譜儀進行優(yōu)化并和原文比較。該光譜儀具有平直的光譜聚焦面，適合用光電探測儀器測量空間分辨或時間分辨光譜[22]，故也稱為平場光柵光譜儀。圖7為該 XUV 平場光譜儀的系統(tǒng)示意圖。光譜儀工作波段為3～6 nm，該波段的光源在光學(xué)元件表面的反射率極低，通常采用掠入射的方式提高反射率。其前置超環(huán)面聚焦鏡可以有效地聚焦弧矢方向的能量，從而減小像散[23]；采用后置的選取了適當(dāng)參數(shù)的全息光柵可以有效校正成像面子午方向的離焦。主光線通過第一個光學(xué)元件的中心，第一塊元件對應(yīng)的非物理參量 l1=?l1（′）=0，利用式（4）計算得到第二塊光學(xué)元件對應(yīng)的非物理參量 l2=?l2（′）= e ，其中 e 是兩個光學(xué)元件間的間隔。

此系統(tǒng)由兩個光學(xué)元件組成，所以要先利用式（14）計算系統(tǒng)的總波像差系數(shù)Wijk。其中光學(xué)元件間的轉(zhuǎn)換系數(shù) A 、B 計算公式為

然后利用式（8）計算系統(tǒng)最終的成像像差，在代入計算時，用總波像差系數(shù)Wijk代替dijk、hijk中的wijk ，其他參數(shù)使用最后一個光學(xué)元件的參數(shù)。

該系統(tǒng)的可優(yōu)化參數(shù)為：前置聚焦鏡的弧矢半徑（ρ1），超環(huán)面全息光柵的子午方向與弧矢方向的曲率半徑（R2、ρ2），全息光柵的記錄參數(shù)（δ、γ、rc、rd）。根據(jù)式（25）可知，只需要求取6個參數(shù)（ρ1、R2、ρ2、δ、rc、rd）即可。其他的系統(tǒng)參數(shù)與參考文獻相同，如表4所示。

取優(yōu)化波長λ1=3 nm ，λ2=4：4 nm ，λ3=6 nm ，ε（λt ）依次取1、2、1，！取1，同時代入式（21）得到目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)：

利用第2節(jié)所述算法對上式進行優(yōu)化求解，結(jié)果如表5所示。利用 Shadow對本文的優(yōu)化結(jié)果和文獻[15]結(jié)果分別進行光線仿真追跡，如圖8所示。

本文與參考文獻的光線追跡點列圖在水平方向、垂直方向的半峰全寬（FWHM）值（ F_X 、 F_Y ）對比如表6所示。

4 優(yōu)化結(jié)果分析

球面全息光柵單色儀優(yōu)化結(jié)果分析。對比圖6的（A1、A2、A3、A4）與（B1、B2、B3、B4）點列圖，可以看到由本文程序得到的點列圖很好地描述了系統(tǒng)成像的位置，這也表明 Lu 波像差理論在預(yù)測系統(tǒng)成像像差上的準(zhǔn)確性。對比圖6的（B1、B2、B3、B4）和（ C1、C2、C3、 C4）點列圖，在波長較短時，基于本文算法優(yōu)化得到的系統(tǒng)參量能與參考文獻達到近乎一致的成像品質(zhì)，在工作波長較長時成像更為清晰。表2中可以看到本文優(yōu)化得到的 Q 值比參考文獻的數(shù)據(jù)得到的 Q 值略小。這說明本文采用的像質(zhì)評價函數(shù)以及優(yōu)化算法對于優(yōu)化 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的參量是有效的。

前置超環(huán)面聚焦鏡的超環(huán)面全息光柵光譜儀優(yōu)化結(jié)果分析。對比圖8的（A1、A2、A3）和（B1、B2、B3）點列圖，基于直觀結(jié)果分析，本文優(yōu)化值得到的像點在橫向和縱向的像差均比參考文獻值更小。一般以 FWHM 值作為成像分辨率的評價指標(biāo)?；诒?進行定量分析，工作波長在3 nm 和6 nm 時，本文優(yōu)化后得到的系統(tǒng)分辨率只在水平方向較優(yōu)，而在中心工作波長4.4 nm 處，水平方向和垂直方向結(jié)果均優(yōu)于參考文獻的系統(tǒng)分辨率。利用式（30）計算可得本文優(yōu)化后Qmine =1：6736，參考文獻Qref =1：9105，再次驗證了較小的目標(biāo)函數(shù)值對于系統(tǒng)成像質(zhì)量的提升是有效的。

5 結(jié)論

XUV 光學(xué)系統(tǒng)通常具有多個參量，且參量取值跨度大，將本文基于波像差理論的實數(shù)編碼遺傳算法應(yīng)用于 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化，可以得到各變量取值的較優(yōu)組合，較以往的方法更易實現(xiàn)全局尋優(yōu)。通過光線追跡驗證了用本文方法優(yōu)化得到的兩種光學(xué)系統(tǒng)在成像質(zhì)量上有一定程度的提升。當(dāng)光學(xué)元件的數(shù)量增多時，依然可以結(jié)合 Lu波像差理論和 rms 像質(zhì)評價函數(shù)得到目標(biāo)函數(shù)，再用本文方法進行優(yōu)化求解。綜上，本文的研究具有延伸意義。

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（編輯：張磊）