W玻色子質(zhì)量精確測(cè)量背后的精確計(jì)算

李釗

（中國(guó)科學(xué)院高能物理研究所 100049）

1.永不缺席的W玻色子

標(biāo)準(zhǔn)模型中，W玻色子是負(fù)責(zé)傳遞弱相互作用的媒介粒子。像現(xiàn)在核電站發(fā)電涉及的核裂變反應(yīng)，是由重元素的放射性衰變過(guò)程啟動(dòng)的，該衰變過(guò)程本質(zhì)上是由W玻色子傳遞誘導(dǎo)的。此外，1957年由李政道、楊振寧和吳健雄一起合作發(fā)現(xiàn)的弱相互作用中的宇稱不守恒背后的機(jī)制(圖1)也是由W玻色子傳遞的純粹左手的弱相互作用。

圖1 從左至右依次是李政道、楊振寧、吳健雄三位發(fā)現(xiàn)弱作用中宇稱不守恒的物理學(xué)家

1983 年歐洲核子中心CERN 的對(duì)撞機(jī)捕捉到了W玻色子，物理學(xué)家們對(duì)這個(gè)傳遞弱相互作用的帶電粒子進(jìn)行了深入細(xì)致的研究。目前，W玻色子的各種性質(zhì)早已被物理學(xué)家們廣泛應(yīng)用在諸如頂夸克自旋關(guān)聯(lián)、希格斯玻色子衰變、B 物理中CP 破壞、超對(duì)稱粒子信號(hào)的研究中。

目前能量最高的對(duì)撞機(jī)LHC 依然在積累大量W 玻色子相關(guān)的數(shù)據(jù)。而上一代能量最高的對(duì)撞機(jī)是美國(guó)費(fèi)米實(shí)驗(yàn)室的Tevatron，在其于1983 至2011 的28 年運(yùn)行時(shí)間里，依托于該對(duì)撞機(jī)的D0 和CDF合作組做出很多重要貢獻(xiàn)，例如首次在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了頂夸克，積累了大量重要的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。雖然物理學(xué)家們已經(jīng)在最終關(guān)機(jī)前分析了其中大部分?jǐn)?shù)據(jù)，但仍然有可能利用新方法新技術(shù)從這些數(shù)據(jù)中挖掘更多有價(jià)值的信息。

2.出乎意料的高精度W質(zhì)量測(cè)量

2022 年4 月8 日，依然堅(jiān)持分析Tevatron 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的CDF組正式發(fā)表了關(guān)于W玻色子質(zhì)量高精度測(cè)量的結(jié)果(圖2)。

圖2 目前各個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)W玻色子質(zhì)量的測(cè)量結(jié)果，可見(jiàn)本次CDF Ⅱ的結(jié)果與其他實(shí)驗(yàn)相比與電弱標(biāo)準(zhǔn)模型理論預(yù)言中心值有較大的偏差的同時(shí)測(cè)量誤差相應(yīng)的也較小，很可能預(yù)示著某種不為人知的新物理效應(yīng)或是原先標(biāo)準(zhǔn)模型計(jì)算結(jié)果有尚未考慮清楚的部分

圖3 Z玻色子與W玻色子不同的輕子衰變機(jī)制

圖4 擬合抽取W玻色子質(zhì)量的橫向質(zhì)量分布圖示

CDF 組的這一結(jié)果引起了物理學(xué)家們極大的興趣，因?yàn)榇私Y(jié)果的中心值與過(guò)去Tevatron上D0組的結(jié)果、LHC上ATLAS組和LHCb組的結(jié)果以及電弱全局?jǐn)M合結(jié)果(包含大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的理論計(jì)算值)都有著明顯的差異。

其中最令大家意外的是CDF 最新的結(jié)果有著非常小的誤差。通常情況下，實(shí)驗(yàn)測(cè)量值會(huì)在誤差范圍內(nèi)圍繞真值呈現(xiàn)高斯分布，因此這種顯著大于誤差的偏離往往意味著某種不可調(diào)和的沖突存在。

3.W玻色子質(zhì)量的“抽取”

在對(duì)撞機(jī)探測(cè)器上，大多數(shù)不穩(wěn)定粒子雖然無(wú)法被直接測(cè)量，但可以通過(guò)收集其衰變產(chǎn)物來(lái)重建不穩(wěn)定粒子的各種物理量。例如，Z 玻色子可以衰變到電子和正電子，雖然無(wú)法直接測(cè)量到Z 玻色子，但可以通過(guò)探測(cè)器非常清楚地測(cè)量到正負(fù)電子這兩個(gè)穩(wěn)定粒子，從而比較精確地確定出Z玻色子的各物理量。

但在輕子衰變道中，W玻色子會(huì)衰變到帶電輕子(電子、繆子或陶子)和一個(gè)中微子，對(duì)撞機(jī)探測(cè)器是無(wú)法捕獲中微子的，故而W玻色子質(zhì)量的重建就缺失了中微子帶走的一部分信息，這使得W玻色子的質(zhì)量測(cè)量存在著較大的難度。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，物理學(xué)家往往要選取一個(gè)形狀上對(duì)W玻色子質(zhì)量比較敏感的觀測(cè)量，比如橫向質(zhì)量分布。物理學(xué)家可以通過(guò)對(duì)橫向質(zhì)量分布的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與相應(yīng)的理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)而反解出W玻色子的質(zhì)量。

因此，W 玻色子的質(zhì)量實(shí)際上并不是被直接“測(cè)量”出來(lái)，而是被間接“抽取”出來(lái)的。這就導(dǎo)致了W 玻色子質(zhì)量的誤差不僅依賴于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量統(tǒng)計(jì)誤差，還依賴于理論計(jì)算的穩(wěn)定性“誤差”。

4.理論“誤差”的起源

理論計(jì)算為什么會(huì)存在“誤差”呢？這主要來(lái)源于目前人們采用的理論方法。在高能粒子物理的研究中，理論物理學(xué)家主要使用的是量子場(chǎng)論的理論框架，其可以兼顧狹義相對(duì)論與量子力學(xué)。在量子場(chǎng)論中，所有粒子的相互作用行為都是由拉格朗日量所決定的，簡(jiǎn)稱拉氏量，例如著名的標(biāo)準(zhǔn)模型的拉氏量(圖5)。

圖5 標(biāo)準(zhǔn)模型拉氏量，其中包含了著名的電弱規(guī)范理論、量子色動(dòng)力學(xué)、Higgs機(jī)制以及夸克輕子諸多耳熟能詳?shù)男畔?，目前高能物理最前沿的研究?jī)?nèi)容幾乎都在這樣一個(gè)公式中

其中包括了電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用。然而，想要直接解這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型的拉氏量是非常困難的，目前人們常用的主流方法有格點(diǎn)計(jì)算和微擾計(jì)算。格點(diǎn)計(jì)算主要采用大規(guī)模數(shù)值計(jì)算的方法解決部分非微擾的物理問(wèn)題。

高能對(duì)撞機(jī)上的散射碰撞問(wèn)題主要依賴微擾計(jì)算。微擾計(jì)算的核心思想是由于耦合常數(shù)普遍小于1，對(duì)應(yīng)某一特定物理過(guò)程，涉及相互作用越多，其發(fā)生的概率越小。因此對(duì)最終結(jié)果有主要貢獻(xiàn)的應(yīng)該對(duì)應(yīng)于涉及相互作用最少的情況，這也是最容易計(jì)算的部分，而更精確的結(jié)果可以通過(guò)逐次考慮加入更多的相互作用，即增加更高階的輻射修正效應(yīng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

這一點(diǎn)可以類比于大家非常熟悉的圓周率π的測(cè)量，古代的數(shù)學(xué)家祖沖之在1500年前利用有限的技術(shù)手段就算出圓周率π是3.1415926 到3.1415927之間，而后隨著技術(shù)不斷進(jìn)步人們算出圓周率π的位數(shù)越來(lái)越多，相應(yīng)的圓周率π的“誤差”也就越來(lái)越小(圖6)。

圖6 圓周率π

在量子場(chǎng)論中，微擾計(jì)算的廣泛使用得益于費(fèi)曼(Richard Feynman)(圖7)發(fā)明的費(fèi)曼圖計(jì)算方法。這個(gè)方法能夠讓稍加訓(xùn)練的大學(xué)本科生計(jì)算出，例如粒子散射截面、粒子衰變寬度等曾經(jīng)非常復(fù)雜的理論問(wèn)題。

圖7 這是邦戈鼓及其鼓手費(fèi)曼先生，他很會(huì)畫圖

在各種計(jì)算技術(shù)相當(dāng)發(fā)達(dá)的今天，經(jīng)過(guò)眾多理論物理學(xué)家不懈的努力，在個(gè)人筆記本計(jì)算機(jī)上就可以對(duì)簡(jiǎn)單費(fèi)曼圖進(jìn)行自動(dòng)化計(jì)算。例如W 玻色子產(chǎn)生過(guò)程的最低階樹(shù)狀費(fèi)曼圖(圖8)。

圖8 W玻色子產(chǎn)生過(guò)程的最低階樹(shù)狀費(fèi)曼圖，感謝邦戈鼓手費(fèi)曼為我們帶來(lái)的簡(jiǎn)明圖示

然而，微擾計(jì)算雖然方便，但是相應(yīng)的問(wèn)題也隨之到來(lái)：人們只能計(jì)算一定數(shù)量相互作用的修正效應(yīng)，計(jì)算的結(jié)果總是缺少更高階的修正效應(yīng)，而這正是所謂的理論“誤差”的主要來(lái)源。

5.精算掌控理論“誤差”

從微擾計(jì)算的邏輯出發(fā)，加入更高階的修正效應(yīng)來(lái)讓理論計(jì)算更為精確，但涉及更多相互作用的費(fèi)曼圖的計(jì)算會(huì)變得非常復(fù)雜。例如在高一階相互作用的情況下費(fèi)曼圖的計(jì)算會(huì)出現(xiàn)費(fèi)曼積分：

很多同學(xué)都曾經(jīng)苦于大學(xué)高數(shù)課的一維積分題目，但是費(fèi)曼積分卻是一個(gè)非整數(shù)D 維的積分，其復(fù)雜度著實(shí)會(huì)嚇退很多同學(xué)。而在更高階的費(fèi)曼積分中，甚至有可能會(huì)出現(xiàn)求解橢圓積分這種在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也是世紀(jì)難題的任務(wù)。

此外，人們?cè)谟?jì)算研究這些微擾逐階修正效應(yīng)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)在橫動(dòng)量分布中理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果有著極大的差異(圖9)。

這個(gè)差異是無(wú)法通過(guò)加入有限的高階修正效應(yīng)能夠改善的，為了解決這個(gè)問(wèn)題，物理學(xué)家需要求助于“重求和”的方法，通過(guò)重整化群方程外推出無(wú)窮階的修正效應(yīng)，最終使得理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合一致。在相應(yīng)的具體分析中，人們也發(fā)現(xiàn)由重求和技術(shù)修正過(guò)后的理論計(jì)算“誤差”確實(shí)降低了(圖10)。

圖10 重求和修正過(guò)理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)的對(duì)比

隨著高能對(duì)撞機(jī)技術(shù)的不斷進(jìn)步，實(shí)驗(yàn)上獲取的數(shù)據(jù)中的誤差在不斷降低，提供相匹配精度的理論計(jì)算就成為了理論家必須完成的任務(wù)。所幸，經(jīng)過(guò)幾十年的努力，物理學(xué)家們已經(jīng)將理論計(jì)算的精度提高到了足夠匹配Tevatron 和LHC 這樣的前沿實(shí)驗(yàn)誤差的程度。

在本次的W玻色子質(zhì)量的高精度結(jié)果中，CDF合作組采用了Z 玻色子數(shù)據(jù)做標(biāo)定等手段降低實(shí)驗(yàn)誤差，同時(shí)還使用了能夠提供高精度理論計(jì)算結(jié)果的程序ResBos(圖11)。

圖11 ResBos啟動(dòng)字符畫

ResBos 由美國(guó)密歇根州立大學(xué)的袁簡(jiǎn)鵬教授開(kāi)發(fā)，歷經(jīng)20 多年的維護(hù)和升級(jí)，參與這個(gè)程序的很多人都已經(jīng)成為前沿領(lǐng)域各方向的專家。

ResBos 可以為W 玻色子產(chǎn)生等過(guò)程快速提供高精度的包含有橫動(dòng)量重求和的理論預(yù)言，并長(zhǎng)期以來(lái)與Tevatron 和LHC 上的各個(gè)實(shí)驗(yàn)組保持著緊密聯(lián)系，ResBos也因此成為了前沿物理分析的標(biāo)準(zhǔn)工具。

近幾年人們也陸續(xù)開(kāi)發(fā)了不同風(fēng)格的用于提供矢量玻色子產(chǎn)生過(guò)程的高精度理論預(yù)言的計(jì)算程序，例如DYturbo和Radish等。

在W玻色子質(zhì)量精確測(cè)量中，控制誤差的關(guān)鍵除了上面提到的微擾論提供的精確理論計(jì)算之外，部分子分布函數(shù)的誤差控制也極其重要。而其中就依賴于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的把控、非微擾QCD 的初始函數(shù)形狀以及描述能標(biāo)演化的DGLAP方程。

目前主流的部分子分布函數(shù)合作組有CTEQ、MMHT和NNPDF。其中CTEQ合作組是美國(guó)密歇根州立大學(xué)的董無(wú)極教授發(fā)起，目前由袁簡(jiǎn)鵬教授領(lǐng)導(dǎo)。CTEQ 合作組有著嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的傳統(tǒng)，其開(kāi)發(fā)的部分子分布函數(shù)也被廣泛地應(yīng)用到實(shí)驗(yàn)分析和理論研究中。

6.挑戰(zhàn)和機(jī)遇

面對(duì)來(lái)自實(shí)驗(yàn)學(xué)家的不斷提高精度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，或者未來(lái)進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，理論學(xué)家也在利用各種手段逐步解決各種高難度的挑戰(zhàn)，在這個(gè)過(guò)程中，物理學(xué)家也深化了對(duì)量子場(chǎng)論理論本身的理解。

同時(shí)，這一次W 玻色子質(zhì)量精確測(cè)量的結(jié)果也提醒著物理學(xué)家們，在已經(jīng)成熟的物理測(cè)量中依然存在大量值得深入分析的物理問(wèn)題，細(xì)致的工作往往也能夠帶來(lái)出人意料的結(jié)果。未來(lái)將依舊充滿挑戰(zhàn)與機(jī)遇。