基于改進三點估計的概率諧波潮流計算

徐艷春，闞銳涵，謝莎莎，MI Lu

（1.梯級水電站運行與控制湖北省重點實驗室（三峽大學(xué)），湖北宜昌 443002；2.德克薩斯農(nóng)工大學(xué)電氣與計算機工程系，美國德州 77840）

0 引言

在能源結(jié)構(gòu)低碳化轉(zhuǎn)型背景下，構(gòu)建以新能源為主體的新型電力系統(tǒng)將成為實現(xiàn)碳達峰、碳中和目標的重要手段，這使得電力系統(tǒng)從確定性系統(tǒng)向強不確定性系統(tǒng)轉(zhuǎn)變[1]。在源側(cè)，可再生能源發(fā)電受到氣象條件與環(huán)境因素的影響，其出力表現(xiàn)出間歇性與波動性；在荷側(cè)，供需日益頻繁，伴隨著用戶側(cè)光伏與儲能的發(fā)展[2]，負荷表現(xiàn)出時變性和隨機性[3]。新型電力系統(tǒng)中的分布式電源因含有非線性逆變器裝置，其給系統(tǒng)帶來的諧波問題越來越受到廣泛重視[4]。因此，研究不確定性背景下[5-9]的概率諧波潮流對提高電能質(zhì)量有著重要意義。

概率諧波潮流的研究方法主要分為模擬法、解析法、近似法3 類。蒙特卡洛法[10]（Monte Carlo，MC）在不確定性問題的建模上由于采樣數(shù)量多、精度高、計算效率偏低，通常被用作衡量其他方法的標準[11]。解析法計算復(fù)雜，會造成更大的近似誤差，難以求解。而近似法所得結(jié)果可近似于真實值，主要以點估計法（Point Estimate Method，PEM）為代表[12]。文獻[13]提出一種基于改進的三點估計法和局部電壓穩(wěn)定指標的含風(fēng)電場電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定評估方法。文獻[14]分析了不同分布特征的風(fēng)機在大型傳輸系統(tǒng)下的概率諧波傳播。文獻[15]將點估計法與區(qū)間仿射法相結(jié)合，提供了一種處理背景諧波電壓與光伏諧波電流相互作用的方法。但文獻[14-15]都為單一諧波源，且輸出結(jié)果受輸入隨機變量分布的限制。文獻[16]將點估計法與最大熵分布結(jié)合，提升了計算效率。

綜上所述，目前概率諧波潮流計算的難點在于如何兼顧以下多方面的需求：一是要將輸出隨機變量的統(tǒng)計特征、概率密度全部求出；二是既要保證計算精度，又要提高計算效率。為此，本文提出了一種基于改進三點估計法與最大熵理論（Improved Three-point Estimate Method and Maximum Entropy，ITPEM&ME）的概率諧波潮流計算方法，以便有效解決概率諧波潮流計算中存在的問題。

本文從概率理論出發(fā)，針對配電網(wǎng)中不確定因素導(dǎo)致的諧波問題展開研究：在傳統(tǒng)三點估計法基礎(chǔ)上通過增加1 組估計點改變原有權(quán)重，重新構(gòu)建風(fēng)-光-荷的概率模型，避免了引入輸入隨機變量的高階矩而造成的較大誤差，進而在保證精度的前提下提高工作效率；在所構(gòu)建的概率模型的基礎(chǔ)上引入最大熵理論，對輸出變量的概率密度函數(shù)進行重構(gòu)，從而對其分布特征進行精確擬合；在IEEE33 節(jié)點系統(tǒng)上分別對不同工況下的諧波潮流進行分析，從改善諧波電壓精度方面證明了所提方法的可行性和實用性，可用以提高電能質(zhì)量[17-18]。

1 改進三點估計與最大熵理論

1.1 改進三點估計

本節(jié)從統(tǒng)計特征求取以及概率密度函數(shù)擬合兩方面對改進三點估計法進行改進，提出一種基于ITPEM&ME 的概率諧波潮流算法，用以分析評估系統(tǒng)狀態(tài)。

點估計法根據(jù)求得的n個風(fēng)機、光伏和負荷的出力作為輸入隨機變量Xi(i=1,2,...,n)的m個估計點xi,j(j=1,2,...,m)及權(quán)重wi,j，來獲得一系列概率分布，估計出待求輸出變量諧波電壓Z的數(shù)字特征。估計點xi,j和權(quán)重wi,j如式（1）和式（2）所示：

式中：xi,j為第i個風(fēng)機、光伏和負荷出力的第j個估計點；μi和σi分別為第i個風(fēng)機、光伏和負荷出力波動的期望和標準差；ξi,j為第i個風(fēng)機、光伏和負荷出力的第j個估計點xi,j所對應(yīng)的位置系數(shù)，由風(fēng)機、光伏和負荷出力波動的標準化中心矩獲得。

式中：wi,j為第i個風(fēng)機、光伏和負荷出力波動的第j個估計點對應(yīng)的權(quán)重。

為了提高諧波電壓在期望值處的權(quán)重，新增估計點處的新位置系數(shù)ξ′i,j及相對應(yīng)的權(quán)重如式（3）所示：

式中：ξ′i,1，ξ′i,2分別為第i個風(fēng)機、光伏和負荷出力波動的第1，2個估計點的新位置系數(shù)；w′i,j為第i個風(fēng)機、光伏和負荷出力波動的第j個估計點對應(yīng)的新權(quán)重。

新位置系數(shù)ξ′i,j忽略了峰度系數(shù)λi,3，能夠更好地改善尾部特征，因此只需考慮新估計點的權(quán)重w′i,j的前3 階矩即可使計算結(jié)果更加精確。

將式（3）中的ξ′i,1，ξ′i,2帶入式（1），得到1 組新的估計點x′i,j如式（4）所示：

進而估計待求輸出變量諧波電壓Z的原點矩E′(Zl)如式（5）所示：

式中：g(Xμ)為風(fēng)機、光伏和負荷出力取各自數(shù)學(xué)期望時對應(yīng)的函數(shù)值，反映了風(fēng)機、光伏和負荷出力與諧波電壓之間的非線性關(guān)系；μn為第n個隨機變量的期望值；w0為當(dāng)估計點取期望值時對應(yīng)的權(quán)重；l為待求變量諧波電壓的原點矩階數(shù)。

所提算法在兩點估計基礎(chǔ)上額外增加1 組估計點x′i,j構(gòu)造多重采樣點，以實現(xiàn)隨機變量統(tǒng)計特征的精確求解，其期望值取自所有函數(shù)值線性疊加后的算數(shù)平均值。與多點估計法相比，改進三點估計法僅考慮前3 階矩，避免了計算高階矩的需求，從而既保證了計算精度，又可避免引入高階矩，使三點采樣更具實際價值。

1.2 最大熵理論

傳統(tǒng)點估計（Point Estimate Method，PEM）常與Gram-Charlier（GC）級數(shù)展開[19]相結(jié)合（PEM&GC）求取輸入隨機變量的概率密度。針對輸出結(jié)果統(tǒng)計特性描述的需要，本文通過將改進三點估計與最大熵理論結(jié)合對統(tǒng)計特征的求取方面做出進一步改進。

最大熵理論是以Z的熵取最大值為目標函數(shù)，以Z的前4 階原點矩作為約束條件，通過求解非線性方程可獲取Lagrange 系數(shù)λ0,λ1,...,λ4，最終得到的最大熵概率密度函數(shù)如式（6）所示：

式中：fZ(z)為諧波電壓Z的概率密度函數(shù)；exp 為自然常數(shù)e 為底的指數(shù)函數(shù)；λ0和λl分別為Lagrange系數(shù)的初值和第l階原點矩；zl為Z的第l階原點矩。

由此可見，最大熵的概率擬合只需要隨機變量的前4 階統(tǒng)計矩作為有限的約束條件。相比于GC級數(shù)需要求取隨機變量的前7 階統(tǒng)計矩甚至更多的情況，最大熵理論對未知信息作最少的設(shè)定，從而獲得更客觀的概率分布。

2 概率諧波潮流計算實現(xiàn)框架

2.1 諧波潮流計算模型

電力系統(tǒng)中的諧波源包括傳統(tǒng)的非線性設(shè)備及現(xiàn)代電力電子裝置兩大類。當(dāng)系統(tǒng)中接入分布式電源時，其中存在的非線性電力電子器件通過頻繁開關(guān)實現(xiàn)電力轉(zhuǎn)換，因而產(chǎn)生一系列諧波分量，其來源如圖1 所示。

圖1 諧波源來源示意圖Fig.1 Schematic diagram of source of harmonic

現(xiàn)有諧波潮流計算方法主要有統(tǒng)一迭代法、交替迭代法、直接求解法和解耦法4 種求解方法。由于諧波潮流是基波潮流在非線性元件中轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的，因此基波潮流與諧波潮流兩者之間存在相互耦合的關(guān)系，計算時可將非線性元件進行線性化處理[20]，由各諧波源節(jié)點的注入諧波電流通過諧波網(wǎng)絡(luò)方程求解各節(jié)點諧波電壓，如式（7）所示:

式中：Ih為h次諧波電流矩陣；Yh為h次諧波導(dǎo)納矩陣；Uh為h次諧波電壓矩陣。

本文采用解耦法[21]并根據(jù)文獻[22]所提的諧波潮流模型來求解計及配電網(wǎng)中風(fēng)-光-荷不確定性的概率諧波潮流問題，在提高計算精度的同時進一步減少計算量。

2.2 基于ITPEM&ME的諧波潮流的計算

假設(shè)源荷之間只考慮風(fēng)速、光照強度及負荷的波動且彼此獨立互不干擾。將各節(jié)點的負荷需求、風(fēng)電機組的有功無功出力以及光照強度不同的出力看作輸入隨機變量，節(jié)點電壓看作輸出變量，帶入ITPEM&ME 算法中將不確定性問題確定化。

基于ITPEM&ME 的概率諧波潮流求解流程如圖2 所示。其中，k和k′為諧波潮流計算的次數(shù)。

圖2 基于ITPEM&ME的概率諧波潮流計算流程圖Fig.2 Flow chart of probabilistic harmonic power flow calculation based on ITPEM&ME

3 算例分析

3.1 仿真系統(tǒng)

本文基于IEEE 33 節(jié)點系統(tǒng)[23]展開分析，系統(tǒng)的接線圖如圖3 所示。其中，OLTC 為有載分接開關(guān)，PV 為16 節(jié)點接入風(fēng)機電源，W 為30 節(jié)點接入光伏電源。

圖3 IEEE33系統(tǒng)節(jié)點接線圖Fig.3 Node connection for IEEE 33 system

風(fēng)機模型采用正態(tài)分布，光伏模型采用Beta 分布。當(dāng)風(fēng)機與光伏之間相互獨立時，分別在節(jié)點16與節(jié)點30 接入風(fēng)機與光伏，并作為諧波源節(jié)點，本文以諧波源產(chǎn)生的5 次諧波和7 次諧波為例，諧波電流含有率分別取自文獻[24]和文獻[25]，各次諧波的諧波含有率如表1 所示。

表1 各次諧波含有率Table 1 Each harmonic ratio

3.2 算例分析

3.2.1 統(tǒng)計特征比較

計及風(fēng)速波動對接入風(fēng)機出力影響較大，為證明本文所提方法的準確性與可行性，通過4 種工況對概率諧波潮流進行分析計算。

1）工況1：5 次諧波，風(fēng)速7 m/s。

2）工況2：5 次諧波，風(fēng)速13.5 m/s。

3）工況3：7 次諧波，風(fēng)速7 m/s。

4）工況4：7 次諧波，風(fēng)速13.5 m/s。

以10 000 次MC 模擬得到的概率諧波電壓結(jié)果作為參考，將期望值及標準差的誤差指標作為算法準確度的評價指標，對所求得的概率諧波潮流的精確性進行分析。

定義期望的相對誤差如式（8）所示：

式中：μMC為由MC 得到的Z的期望值；μPEM為不同點估計法得到的Z的期望值。

定義標準差的相對誤差如式（9）所示：

式中：σMC為由MC 得到的Z的標準差；σPEM為由不同點估計法得到的Z的標準差。

2 種算法計算得到的相對誤差結(jié)果如表2 所示。

表2 2種算法的諧波電壓統(tǒng)計特征相對誤差Table 2 Relative error of statistical characteristics for harmonic voltages with two algorithms /%

從表2 中可以看出，2 種算法在求解風(fēng)光兩諧波源節(jié)點的諧波電壓時，ITPEM&ME 法的相對誤差更小。2 種方法在期望值的相對誤差上差異性并不大，均未超過0.000 1%，在標準差方面，ITPEM&ME算法在16 節(jié)點所求得的相對誤差在4 種工況下分別比PEM&GC 法低0.016 4%，0.016 4%，0.016 6%和0.016 3%，在30 節(jié)點所求得的相對誤差在4 種工況下分別比PEM&GC 法低0.036 6%，0.034 1%，0.037 4%和0.035 8%，最高相對誤差達到了近0.04%。這是因為標準差是通過1 階、2 階原點矩計算得到的，在估計點采樣時，ITPEM&ME 更加完善了采樣點的尾部特征，而PEM&GC 忽略了這一點，導(dǎo)致隨機變量的各階原點矩因誤差累積逐漸增大。因此，在處理輸入變量不確定的問題時，本文提出的ITPEM&ME 算法使用少量采樣點即可得到精確的輸出諧波電壓，有效提高了傳統(tǒng)模型的效率，相比于其他方法優(yōu)勢明顯。

表3—表6 為不同變異系數(shù)約束下4 種工況在采用2 種不同算法時計算得到的諧波電壓的相對誤差。其中，表示PEM&GC 的期望相對誤差，表示ITPEM&ME 的期望相對誤差，表示PEM&GC的標準差相對誤差，表示ITPEM&ME 的標準差相對誤差。

表3 工況1下2種算法的諧波電壓相對誤差Table 3 Relative error of harmonic voltages with two algorithms under condition 1 %

表4 工況2下不同算法的諧波電壓相對誤差Table 4 Relative error of harmonic voltages with two algorithms under condition 2 %

表5 工況3下不同算法的諧波電壓相對誤差Table 5 Relative error of harmonic voltages with two algorithms under condition 3 %

表6 工況4下不同算法的諧波電壓相對誤差Table 6 Relative error of harmonic voltages with two algorithms under condition 4 %

從表3—表6 可以看出，變異系數(shù)的增大導(dǎo)致風(fēng)-光-荷之間的不確定性增強，因此算法之間求得統(tǒng)計特征的誤差也隨著不確定性的增大而增大。當(dāng)變異系數(shù)為0.20 時，IPEM&ME 相較于PEM&GC的相對誤差更小。因此，IPEM&ME 在不同風(fēng)速及不同次諧波下的諧波電壓的統(tǒng)計特征仍具有較高的精度，說明本文所提出的ITPEM&ME 方法準確性更高，有效提高了傳統(tǒng)模型的效率。

3.2.2 分布特征比較

在4 種工況下，針對ITPEM&ME 與PEM&GC和 MC 在概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）重構(gòu)上的不同進行對比分析，結(jié)果如圖4—圖7 所示。

圖4 工況1下諧波源節(jié)點的PDFFig.4 PDF for photovoltaic and wind turbine nodes under condition 1

圖5 工況2下諧波源節(jié)點的PDFFig.5 PDF for photovoltaic and wind turbine nodes under condition 2

圖6 工況3下諧波源節(jié)點的PDFFig.6 PDF for photovoltaic and wind turbine nodes under condition 3

圖7 工況4下諧波源節(jié)點的PDFFig.7 PDF for photovoltaic and wind turbine nodes under condition 4

由圖4—圖6 可以看出，本文提出的ITPEM&ME方法相比于傳統(tǒng)的PEM&GC 方法在4 種不同工況下的概率密度估計曲線均最貼近MC 模擬出的真實情況。這是因為當(dāng)系統(tǒng)接入風(fēng)機后，由于風(fēng)速的波動性極強，風(fēng)機節(jié)點的出力一般具有較高的高階累積量，導(dǎo)致在概率密度擬合時最大熵理論只以輸入的諧波電壓的前4 階原點矩作為約束條件，通過拉格朗日乘數(shù)法求出概率密度函數(shù)，而PEM&GC 求出諧波電壓的前7 階原點矩和半不變量對級數(shù)進行展開擬合，因此累積造成誤差。由此證明了利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)得出的各階統(tǒng)計矩作為約束條件來近似得出待求隨機變量的概率密度函數(shù)更為合理，也進一步驗證了所提ITPEM&ME 方法在具備高度精確性的同時也可有效地保證概率密度估計的準確性。

4 結(jié)論

本文針對配電網(wǎng)中存在風(fēng)機、光伏及負荷的出力不確定問題，提出了ITPEM&ME 方法，從統(tǒng)計特征求取以及概率密度函數(shù)擬合兩方面對其進行改進，實現(xiàn)了對諧波電壓及其統(tǒng)計特征高效求解的效果，既保證了計算精度，又提高了計算效率。具體結(jié)論如下：

1）考慮到風(fēng)-光-荷的隨機性與波動性對配電網(wǎng)造成的影響，提出改進三點估計模型解決諧波潮流問題。所提算法計算效率更高，能夠?qū)﹄S機性輸入變量作出更精確近似。

2）通過最大熵理論對求得的諧波電壓分布進行精確擬合，簡化計算的同時提高了精度，且求得的概率密度函數(shù)更接近實際情況。

3）所提算法準確度較高，統(tǒng)計得到的諧波電壓的期望和方差等統(tǒng)計特征均優(yōu)于PEM&GC 方法，因此可更精確地處理配電網(wǎng)中存在的風(fēng)-光-荷不確定性問題。

在對諧波電壓的統(tǒng)計信息進行估計時，忽略了風(fēng)機和光伏之間存在的相關(guān)性造成誤差，故在下一步的研究中應(yīng)添加風(fēng)機與光伏的相關(guān)性，進一步分析其對諧波潮流的影響。