壓電作動(dòng)器的高斯過程回歸建模

梁晉華,王貞艷,劉思源

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,太原 030024)

壓電作動(dòng)器具有熱量小、精度高、驅(qū)動(dòng)力大、噪聲小、應(yīng)變速度快等特性,在超精密加工制造[1],微機(jī)電系統(tǒng)[2],主動(dòng)控制及減振降噪[3]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。但存在于壓電作動(dòng)器的遲滯非線性不僅會(huì)降低系統(tǒng)控制精度,還有可能造成系統(tǒng)紊亂,使得系統(tǒng)難以控制,不能滿足輸出要求。

針對(duì)壓電作動(dòng)器的遲滯問題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究,提出了各種遲滯非線性模型,目前的建模方法主要有三種,第一種是物理模型,物理模型是基于不同的遲滯物理機(jī)制描述具體遲滯過程的模型,包括Jile-Atherton(JA)模型[4],Bouc-Wen模型[5],Duhem模型[6],Maxwell模型[7]等;第二種是唯象模型,唯象模型是依靠系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系進(jìn)行遲滯建模,將整個(gè)系統(tǒng)作為黑箱來進(jìn)行描述,包括Preisach模型[8],PI模型[9]等;第三種是智能模型,智能模型是利用智能算法良好的逼近性能,對(duì)一些非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模,具有很高的建模精度。文獻(xiàn)[10]針對(duì)壓電作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯非線性特性,采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型表征遲滯非線性。文獻(xiàn)[11]采用Preisach模型與最小二乘支持向量機(jī)(LS-SVM)的混合建模法構(gòu)建壓電作動(dòng)器模型以表征其遲滯非線性。文獻(xiàn)[12]為了準(zhǔn)確描述壓電作動(dòng)器的遲滯特性,提出了一種基于非線性自回歸移動(dòng)平均的支持向量機(jī)(SVM)遲滯模型。

作為一種新興的機(jī)器學(xué)習(xí)方法,高斯過程具有簡(jiǎn)單、靈活、容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn),適合處理小樣本、高維度等復(fù)雜問題,采用高斯過程回歸的數(shù)學(xué)模型對(duì)壓電作動(dòng)器進(jìn)行建模,同時(shí)采用粒子群算法辨識(shí)模型參數(shù),有效避免了傳統(tǒng)共軛梯度法求解導(dǎo)致的依賴初值以及陷入局部最優(yōu)問題。最后,通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了高斯過程回歸模型的有效性。

1 壓電陶瓷作動(dòng)器的遲滯建模

1.1 高斯過程回歸模型

高斯過程(GP)是由均服從聯(lián)合高斯分布的有限個(gè)隨機(jī)變量所組成的集合,它是由協(xié)方差函數(shù)k(xp,xq)、均值函數(shù)m(x)所決定:

f(x)～GP(m(x),k(xp,xq))

(1)

式中:

(2)

式中:f是將某個(gè)輸入空間X映射到R:X→R的函數(shù),給定輸入x其輸出f(x)遵循聯(lián)合高斯分布。

初始化m(x)=0,協(xié)方差函數(shù)是xp,xq的函數(shù),選擇平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù),即:

(3)

在噪聲ε存在時(shí)得到y(tǒng)的協(xié)方差函數(shù)為:

(4)

式中:I為單位矩陣,X為N維輸入向量(x1,x2,…,xN),K(X,X)表示協(xié)方差矩陣,該矩陣包含所有輸入之間的協(xié)方差:

(5)

N個(gè)訓(xùn)練輸出值y與N*個(gè)測(cè)試輸出值y*組成的聯(lián)合高斯先驗(yàn)分布為:

(6)

式中:K(X,X*)和K(X*,X)是訓(xùn)練點(diǎn)與測(cè)試點(diǎn)之間的協(xié)方差矩陣,K(X*,X*)是測(cè)試點(diǎn)與自身的協(xié)方差矩陣。

利用貝葉斯原理可以通過訓(xùn)練輸入X和輸出y,預(yù)測(cè)出測(cè)試輸入為X*時(shí)的輸出y*的概率最大的預(yù)測(cè)分布為:

(7)

式中:

(8)

為測(cè)試點(diǎn)的預(yù)測(cè)均值;

cov(y*)=K(X*,X*)-K(X*,X)

(9)

為相應(yīng)的預(yù)測(cè)方差。

y=f(x)+ε

(10)

2 超參數(shù)辨識(shí)

高斯過程回歸模型中的關(guān)鍵問題是尋找準(zhǔn)確的超參數(shù),可通過共軛梯度法求解獲得,但共軛梯度算法對(duì)初始值具有很強(qiáng)的依賴性,同時(shí)容易導(dǎo)致尋優(yōu)過程陷入局部最優(yōu),不容易得到全局最優(yōu)解,而粒子群優(yōu)化算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力、且收斂速度較快,也可以通過調(diào)整粒子的更新速度來更快的找到全局最優(yōu)解,所以選擇使用粒子群優(yōu)化算法來對(duì)高斯過程回歸模型進(jìn)行超參數(shù)的求解。

粒子的位置及速度更新過程如下式所示:

(11)

式中:ω為慣性權(quán)重,在迭代過程中改變粒子的更新速度,如式(13);c1和c2為權(quán)重系數(shù),這里取值為2;r1和r2為隨機(jī)數(shù),取值范圍為[0,1].

(12)

采用標(biāo)準(zhǔn)均方根誤差作為目標(biāo)函數(shù),以目標(biāo)函數(shù)最小作為優(yōu)化目標(biāo),公式如下所示。

(13)

超參數(shù)辨識(shí)過程如圖1所示。

圖1 PSO算法優(yōu)化流程

圖2 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

3 模型驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)與數(shù)據(jù)采集

該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要由壓電作動(dòng)器(型號(hào)PSt150/7/100VS12)、壓電驅(qū)動(dòng)電源、電渦流位移傳感器、控制系統(tǒng)dSPACE組成。實(shí)驗(yàn)采樣頻率為10 kHz,由Matlab/Simulink信號(hào)發(fā)生器生成輸入信號(hào),通過D/A轉(zhuǎn)換經(jīng)過功率放大器傳遞到壓電作動(dòng)器,使壓電作動(dòng)器產(chǎn)生位移變化,然后利用逆壓電效應(yīng)使電渦流傳感器將位移信號(hào)轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào),并通過A/D轉(zhuǎn)換傳遞回dSPACE系統(tǒng),最終得到輸出數(shù)據(jù)。

3.2 模型檢驗(yàn)

使用頻率為(1～100)Hz內(nèi)的正弦電壓信號(hào)作為壓電陶瓷作動(dòng)器的輸入,并獲得它的輸出數(shù)據(jù),同時(shí)在相同的輸入信號(hào)下獲得所建GP模型的輸出數(shù)據(jù)。通過對(duì)兩個(gè)輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比來驗(yàn)證GP模型的有效性,圖3-圖6分別為輸入頻率10 Hz、50 Hz、80 Hz、100 Hz下的GP模型遲滯曲線和輸出曲線與作動(dòng)器實(shí)際遲滯曲線和輸出曲線的比較。

圖3 10 Hz模型檢驗(yàn)

圖4 50 Hz模型檢驗(yàn)

圖5 80 Hz模型檢驗(yàn)

圖6 100 Hz模型檢驗(yàn)

使用均方根誤差RMSE和相對(duì)誤差RE作為檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),如式(14)和式(15).并將誤差結(jié)果與經(jīng)典Bouc-Wen模型下所得到的結(jié)果進(jìn)行比較,得到不同頻率下的建模誤差參見表1.

表1 模型誤差

(14)

(15)

式中:N是數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),y是實(shí)際輸出,yi是模型輸出。

由圖3-圖6的模型檢驗(yàn)曲線可以直觀的看出,所建高斯過程回歸模型可以很好的擬合壓電作動(dòng)器不同頻率激勵(lì)下的遲滯曲線。表1的建模數(shù)據(jù)得到,高斯過程回歸模型的均方根誤差最大為0.532 9 μm,相對(duì)誤差均小于4%.相比經(jīng)典Bouc-Wen模型,建模誤差降低約15%～72%.所建GP模型能有效的描述(1～100)Hz頻率范圍內(nèi)的單一頻率下的遲滯曲線,符合工程上的需要。

4 結(jié)論

針對(duì)壓電作動(dòng)器的遲滯非線性,提出了一種基于高斯過程回歸對(duì)壓電作動(dòng)器進(jìn)行建模的方法,模型樣本數(shù)需求量較少,超參數(shù)獲取靈活,擬合效果更好。同時(shí)利用粒子群算法全局搜索高斯過程中的超參數(shù),與傳統(tǒng)共軛梯度法相比,避免了依賴初值和陷入局部最優(yōu)問題,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明模型相對(duì)誤差在1.78%～3.23%之間,遠(yuǎn)小于經(jīng)典Bouc-Wen模型,能有效描述壓電作動(dòng)器在(1～100)Hz頻率范圍內(nèi)的遲滯環(huán)。