挖掘本質(zhì),類比探究

張秋實

摘 要：借助一道有關(guān)橢圓焦點弦問題的解決與分析，回歸問題本質(zhì)，歸納拓展結(jié)論，從橢圓角度全面推廣到雙曲線、拋物線，以及更具一般的圓錐曲線問題，得到圓錐曲線焦點弦的一個優(yōu)美定值，全面深化解題效益，提升解題品質(zhì)與數(shù)學(xué)能力，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：橢圓；直線；焦點；雙曲線；拋物線

涉及圓錐曲線的焦點弦及其相關(guān)的定值或取值范圍問題，一直是圓錐曲線問題中比較常見的考查點之一，也是高考中?？汲Ｐ碌臒狳c問題之一，倍受各方關(guān)注.特別，涉及圓錐曲線的焦點弦的定值問題，往往“數(shù)”“形”融合、“動”“靜”兼?zhèn)?，情境?chuàng)新，“動感十足”，更是“變量”與“定值”完美融合的一大場所，借助創(chuàng)新情境合理創(chuàng)設(shè)，實現(xiàn)不同情境、不同知識之間的融會貫通，較好體現(xiàn)試題的選拔性與區(qū)分度.

結(jié)論2、3、4的證明過程可以參照以上模擬題的解析過程，或結(jié)論1的極坐標思維證明過程來展開與證明，這里不多加以敘述.

由單一的橢圓焦點弦問題，進一步拓展到雙曲線、拋物線的焦點弦問題，使得此類涉及圓錐曲線的焦點弦的定值問題的研究更有價值，更有普遍性，更有推廣性.

5 教學(xué)啟示

5.1 “動”“靜”結(jié)合，定值探究

涉及圓錐曲線中的定值問題是歷年高考和競賽中的一個熱點問題，合理從“動”中取“靜”，在“動”中找規(guī)律，在“動”中取“定”，變化中取“定值”.具體解決問題時，合理利用“動”“靜”結(jié)合，借助解析幾何的問題背景，從解析幾何視角、平面幾何視角、解三角形視角、極坐標視角或特殊思維視角等來切入與分析，實現(xiàn)定值問題的探究與確定.

5.2 方法總結(jié)，思想歸納

解決圓錐曲線問題的常見思維方式有：解析幾何思維、平面幾何思維、解三角形思維、參數(shù)方程或極坐標方程思維，以及特殊思維等，借助解析幾何的坐標法、解三角形法以及特殊法等來解決.在實際解題過程中，可以嘗試借助以上幾類比較常見的思維方式加以合理切入，并結(jié)合實際問題選擇行之有效的技巧與方法來分析與處理，真正達到全面發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 韓文美.公共焦點離心率，巧借結(jié)論妙解題［J］.中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)），2019（Z1）：13-15.

［2］ 金鐵強.圓錐曲線焦半徑公式的進一步推導(dǎo)及應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（17）：53-54.

［3］ 黃麗.橢圓焦點弦的一類性質(zhì)探究［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（14）：2-3.