隨動推力作用下細長體結(jié)構(gòu)振動模態(tài)特性及穩(wěn)定性分析

李海東，沈奕哲，侯凱宇，夏 鵬，劉陸廣，管耀耀

（1.上海機電工程研究所，上海 201109；2.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109；3.上海航天精密機械研究所，上海 201600）

0 引 言

新一代飛行器向超高速、大攻角、高機動、大長細比和輕量化方向發(fā)展，其結(jié)構(gòu)特性發(fā)生顯著改變，更加柔性，受到擾動后更易產(chǎn)生彈性變形［1］。傳統(tǒng)飛行器各系統(tǒng)孤立設計、分段驗證的方法已經(jīng)不能適應其發(fā)展的需要［2］。尤其是飛行器采用的固體火箭發(fā)動機的輸出推力矢量方向始終與結(jié)構(gòu)的尾端相切，飛行過程中隨著細長體飛行器振動變形，軸線發(fā)生變形，推力方向也隨著振動改變。這種隨著結(jié)構(gòu)振動改變作用方向的力稱為隨動推力。

早在20 世紀60 年代，細長體導彈的彈性效應問題就開始受到學者關注，更是當前航天工程中的熱點問題。Beal 等［3］在1965 年研究理想化為均勻自由梁的彈性導彈在隨動推力影響下的動力學穩(wěn)定性問題，并考慮脈動推力和簡單的方向反饋控制系統(tǒng)的影響。Mladenov 等［4］研究鉸接自由梁結(jié)構(gòu)的振動穩(wěn)定性問題。Joshi 等［5］研究大推力對彈體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響。宋?。?］研究空氣阻力和推力同時作用時，火箭橫向振動的模態(tài)特性，并對火箭模態(tài)頻率降低的原因進行解釋。許赟等［7］將彈箭飛行器簡化為非均勻梁模型，采用有限元法分析隨動力作用下彈箭結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性和穩(wěn)定性，研究彈箭結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性（模態(tài)頻率和模態(tài)振型）及穩(wěn)定性受隨動力的影響。羅夢翔等［8］假設推力阻力平衡，研究推力以及軸向運動共同作用下彈體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。Esbati 等［9］研究三級運載火箭在隨動推力作用下的模態(tài)特性以及穩(wěn)定性。Ahmadia 等［10］對隨動推力作用下兩端自由的鉸接梁動力學穩(wěn)定性的變化展開研究。滕兆春等［11］建立了梁在軸向載荷作用下過屈曲橫向自由振動的精確模型，獲得線性振動的響應，發(fā)現(xiàn)軸向力對過屈曲前后梁的各階固有頻率均有影響。Pourtakdoust 等［12］研究推力對柔性導彈彎曲特性的影響，發(fā)現(xiàn)質(zhì)量減小增加導彈振動頻率，推力作用減小振動頻率。

關于隨動推力是否可以作為隨動載荷加載在結(jié)構(gòu)上，并影響結(jié)構(gòu)的振動特性及動力學穩(wěn)定性一直存在爭議［1，13］。Sugiyama 等［14-16］開展固體火箭發(fā)動機推力作用于懸臂梁自由端切線的相關試驗，驗證了工程應用中考慮隨動推力的必要性。但是關于隨動推力是怎么影響導彈細長體結(jié)構(gòu)模態(tài)特性和穩(wěn)定性的具體問題，前文學者多數(shù)只考慮隨動推力軸向分量的影響，未考慮隨動推力橫向分量的影響，部分引入隨動推力橫向分量僅進行定性分析，對橫向分量對導彈模態(tài)特性和穩(wěn)定性的影響未進行定量對比分析。

本文將開展隨動推力作用下細長體結(jié)構(gòu)振動特性數(shù)值仿真研究，對引入隨動推力橫向分量后細長體結(jié)構(gòu)模態(tài)特性、穩(wěn)定性進行分析，并與僅考慮隨動推力軸向分量作用時的情況進行對比，定量分析有無隨動推力橫向分量對模態(tài)特性的影響。

1 結(jié)構(gòu)動力學模型

隨動推力作用下的細長體結(jié)構(gòu)示意如圖1 所示。圖中：F為隨動推力；Ff為隨動推力橫向分量；FN為隨動推力軸向分量；w為橫向位移；x為細長體結(jié)構(gòu)軸向以及其運動方向坐標。將該細長體結(jié)構(gòu)劃分為n個梁單元，考察其中長為l、密度為ρ、截面積為A、抗彎剛度為EI的第e個梁單元。

圖1 隨動推力作用下細長體Fig.1 The diagram of the slender body under follower thrust

該梁單元動能T表達式為

設梁單元兩端節(jié)點分別為i、j，梁單元節(jié)點位移w(e)是兩端節(jié)點的撓度和轉(zhuǎn)角，即

式中：wi、wj為梁單元兩端節(jié)點的橫向位移；θi、θj為梁單元兩端節(jié)點的轉(zhuǎn)角，θi、θj為小量。

梁單元的橫向位移為

將式（3）代入式（1），得

式中：M(e)為梁單元質(zhì)量矩陣。

由于引入隨動推力，該梁單元勢能V表示為

式中，P(x)為隨動推力軸向分量在梁軸向的分布函數(shù)。

將式（3）、式（8）代入式（7），得

式中：K(e)s為梁單元結(jié)構(gòu)剛度矩陣；K(e)p為梁單元初應力矩陣。

由式（11）可見，梁單元的初應力矩陣由隨動推力軸向分量引入。關于隨動推力的影響，均只考慮了隨動推力的軸向分量FN，但隨動推力在橫向也存在分量Ff，如圖2所示。

圖2 隨動推力分解Fig.2 The decomposition of follower thrust

由圖2可得

Ff作用在最后一個單元的j節(jié)點上，因此，廣義力f(e)為

式中，K(e)f為隨動推力橫向分量引入的剛度矩陣。

應用拉格朗日方程建立振動方程為

式中：qj為廣義坐標；f(e)j為對應于廣義坐標的廣義力函數(shù)。

將式（1）、式（7）帶入式（16）得

由式（13）、式（16）、式（17）可得隨動推力作用下梁單元的橫向運動方程為

整理得

式（20）中，隨動推力橫向分量作為剛度項引入。根據(jù)各個單元之間的變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件，得到整個細長體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣K，從而得到整個細長體結(jié)構(gòu)的橫向振動方程為

解式（21）的廣義特征值，得到隨動推力作用下細長體結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性。

2 模態(tài)特性及穩(wěn)定性研究

對于不同的發(fā)動機隨動推力F，求解其作用下細長體結(jié)構(gòu)的橫向振動方程，得到一系列廣義特征值。如果某個特征值出現(xiàn)了正實部，且此時某階特征頻率f降為0 或者某兩階頻率f1、f2重合，稱此時的隨動推力為臨界推力，記為Fcr。

設計一個1 200 mm×30 mm×9 mm 的細長體鋁桿，對隨動推力F作用下該細長體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進行分析，結(jié)果見表1。由表1 中可見，不考慮隨動推力橫向分量情況下，細長體鋁棒的不穩(wěn)定屈曲問題是經(jīng)典的壓桿穩(wěn)定問題，此時細長體系統(tǒng)的屈曲臨界軸向力為180 N；考慮隨動推力橫向分量情況下，細長體鋁棒的不穩(wěn)定問題是動力學失穩(wěn)問題，此時細長體系統(tǒng)的臨界推力Fcr為1 620 N。在隨動推力橫向分量作用下，該細長體系統(tǒng)的動力學失穩(wěn)臨界值明顯高于靜態(tài)屈曲的臨界值。

表1 細長體系統(tǒng)不同情況下的臨界力值Tab.1 The critical force of the slender body structure

該細長體系統(tǒng)不考慮隨動推力橫向分量、考慮隨動推力橫向分量情況下的頻率與推力關系如圖3和圖4 所示。不考慮隨動推力橫向分量情況的屈曲問題中，推力作用方向始終沿著未變形前的細長體軸線。由圖3 可見，這種情況下模態(tài)頻率f1、f2只會依次單調(diào)下降至0，不會出現(xiàn)系統(tǒng)頻率相互接近、模態(tài)耦合的現(xiàn)象。由圖4 可見，在考慮隨動推力橫向分量情況下，隨著隨動推力逐漸增大，細長體系統(tǒng)1階頻率f1逐漸上升，2 階頻率f2逐漸下降，兩者呈相互靠近的趨勢，在臨界點上1、2 階頻率重合，證實隨著細長體彎曲振動，隨動推力作為隨動載荷始終作用于細長體自由端切線方向，其橫向分量引起了模態(tài)間的剛度耦合。

圖3 細長體系統(tǒng)頻率與推力關系曲線（不考慮隨動推力橫向分量）Fig.3 Frequency-thrust curve of the slender body （no thrust transverse component）

圖4 細長體系統(tǒng)頻率曲線（考慮隨動推力橫向分量）Fig.4 Frequency-thrust curve of slender body （considering thrust transverse component）

3 結(jié)束語

1） 隨動推力軸向分量為保守力，引起細長體軸向剛度的削弱；細長體彎曲振動引起的隨動推力橫向分量為非保守力，引起系統(tǒng)模態(tài)間的耦合，容易產(chǎn)生動力學失穩(wěn)。

2） 對于一個給定的細長體結(jié)構(gòu)，在隨動推力作用下，系統(tǒng)的動力學失穩(wěn)臨界值高于靜態(tài)屈曲的臨界值；在動力學失穩(wěn)的臨界點上，細長體系統(tǒng)的1、2階頻率重頻。