具有容錯性能的線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)固定時間滑模控制

潘公宇,劉思青

(江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)(SBW)是汽車底盤線控系統(tǒng)的重要組成,其取消了方向盤與車輪之間的機(jī)械連接,采用轉(zhuǎn)向電機(jī)直接驅(qū)動車輪轉(zhuǎn)向,為汽車轉(zhuǎn)向功能的多樣化設(shè)計提供了更多可能[1]。利用轉(zhuǎn)向電機(jī)控制車輪轉(zhuǎn)向,并對期望轉(zhuǎn)角進(jìn)行快速精確的跟蹤是線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的重要研究內(nèi)容[2],其對駕駛安全性具有重要意義。

現(xiàn)階段已有多種控制方案被用于車輪轉(zhuǎn)角跟蹤控制。經(jīng)典的PID控制器[3-4]和LQR控制器[5],由于其簡單的控制結(jié)構(gòu),常被用于線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng),但該類控制器往往基于線性無干擾模型進(jìn)行設(shè)計,在應(yīng)對復(fù)雜轉(zhuǎn)向工況下的參數(shù)攝動和力矩擾動時響應(yīng)特性較差。為提高系統(tǒng)抗擾能力,學(xué)者們引入魯棒性更強(qiáng)的滑?？刂破?典型的如線性滑模控制器[6-7]、快速終端滑模控制器[8-9]和積分滑?？刂破鱗10-11]。上述控制器可以有效抵抗系統(tǒng)擾動和參數(shù)攝動,但其響應(yīng)速度較慢,且在轉(zhuǎn)向電機(jī)出現(xiàn)轉(zhuǎn)矩故障[2]和飽和時,不能進(jìn)行有效的補償,難以滿足轉(zhuǎn)向安全性需求。為應(yīng)對轉(zhuǎn)向電機(jī)潛在的故障可能,主流方案是采用雙冗余控制[12-13]或輪轂電機(jī)補償控制[14],其能夠有效提高轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的可靠性,但該方案增加了控制算法的復(fù)雜度以及冗余裝置的成本。

針對線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中車輪轉(zhuǎn)角跟蹤響應(yīng)速度慢、容錯性能不足的問題,本文中首先建立了具有轉(zhuǎn)矩故障及飽和的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型;然后,為提高控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度,引入了一種具有固定時間穩(wěn)定特性的非奇異滑?？刂品桨?并結(jié)合容錯控制思想,設(shè)計了具有不確定故障補償?shù)幕？刂破?接著,給出了一種自適應(yīng)方案,以解決控制器中的參數(shù)上界的預(yù)估問題,并構(gòu)建李亞普諾夫函數(shù),證明了閉環(huán)控制系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性;最后,通過聯(lián)合仿真驗證算法的有效性。

1 線控前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)模型

1.1 線控前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與原理

典型的L3級線控前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)如圖1所示[15],其包含方向盤子系統(tǒng)和前輪轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)。線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)摒棄了傳動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中方向盤到轉(zhuǎn)向輪的機(jī)械連接方式,而采用轉(zhuǎn)向電信號傳遞方式,即底層轉(zhuǎn)向子系統(tǒng),通過間接方式被駕駛員操控。方向盤子系統(tǒng)獲取駕駛員施加轉(zhuǎn)角信號,該信號經(jīng)過虛擬轉(zhuǎn)向傳動比后傳遞給轉(zhuǎn)向電機(jī)控制系統(tǒng),由轉(zhuǎn)向電機(jī)控制前輪轉(zhuǎn)動,以跟蹤該期望轉(zhuǎn)角信號。

圖1 線控前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)示意圖

前輪轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)采用經(jīng)典的梯形轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu),其結(jié)構(gòu)如圖2所示。前輪轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)由轉(zhuǎn)向電機(jī)、減速器、齒輪齒條轉(zhuǎn)向器、轉(zhuǎn)向橫拉桿、轉(zhuǎn)向節(jié)臂及車輪組成。轉(zhuǎn)向電機(jī)輸出轉(zhuǎn)向力矩經(jīng)減速器后推動齒條橫向運動,齒條經(jīng)過轉(zhuǎn)向橫拉桿和轉(zhuǎn)向節(jié)臂推動前輪轉(zhuǎn)向。

圖2 前輪轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 線控前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)理想動力學(xué)模型

轉(zhuǎn)向執(zhí)行器為表貼式永磁同步電機(jī),設(shè)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角為θm,則轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型為

(1)

式中：Jm、Bm為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量及粘滯系數(shù);Tr2m為齒條通過減速器施加給電機(jī)轉(zhuǎn)子的反作用力矩(即電機(jī)轉(zhuǎn)子負(fù)載);Tdm為電機(jī)轉(zhuǎn)子上的擾動力矩;Te為電機(jī)轉(zhuǎn)子輸出電磁轉(zhuǎn)矩。表貼式永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩與定子交軸電流成正比,即

Te=Ktiq,Kt=1.5pψf

(2)

式中：Kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù);iq為永磁同步電機(jī)交軸電流;p為電機(jī)磁極對數(shù);ψf為電機(jī)轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈。

設(shè)z為齒條橫向位移,則建立齒條橫向移動動力學(xué)模型：

(3)

式中：Fw2r為轉(zhuǎn)向輪通過轉(zhuǎn)向節(jié)臂及轉(zhuǎn)向橫拉桿施加給齒條的反作用力;mr為齒條質(zhì)量;Br為齒條橫向移動的粘滯系數(shù);Fdr為齒條上的擾動力矩;Fm2r為轉(zhuǎn)向電機(jī)經(jīng)過減速器施加給齒條的驅(qū)動力。

設(shè)雙車輪等效前輪轉(zhuǎn)角為θw,則建立車輪轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型[12]：

(4)

式中：Jw、Bw分別為單側(cè)車輪系統(tǒng)對主銷軸的轉(zhuǎn)動慣量和粘滯系數(shù);Tdw為主銷軸上其他不確定負(fù)載轉(zhuǎn)矩(未建模及擾動轉(zhuǎn)矩);Tr2w為齒條通過轉(zhuǎn)向節(jié)臂及轉(zhuǎn)向橫拉桿施加給轉(zhuǎn)向輪的作用力矩;TL為地面對輪胎反作用力折合到主銷軸上的轉(zhuǎn)向阻力矩,其主要由輪胎受地面?zhèn)认蛄?、垂向力和摩擦力矩引?分別記作TLx、TLy、TLf,即：TL=TLx+TLy+TLf。根據(jù)經(jīng)驗公式,三分阻力矩分別計算為

(5)

式中：ky、α、Fz分別為輪胎側(cè)偏剛度、側(cè)偏角和垂向力;t0、tp分別為輪胎機(jī)械拖距和氣胎拖距;rw為輪胎半徑;σ、τ分別為主銷內(nèi)傾角和后傾角;ro為主銷內(nèi)傾偏心距;μ為輪胎與路面間的摩擦系數(shù),一般取0.8;P為輪胎胎壓。根據(jù)2自由度車輛模型及經(jīng)驗公式,式(5)中前輪輪胎側(cè)偏角α、垂向力Fz、機(jī)械拖距t0和氣胎拖距tp可分別計算為

(6)

式中：β、ω、v分別為車輛質(zhì)心側(cè)偏角、橫擺角速度和車速,三者均通過傳感器獲取;rw為輪胎有效半徑;lp為輪胎接地印痕長度;Gc為整車質(zhì)量;a、b分別為前、后軸到質(zhì)心距離。

設(shè)減速器傳動比為gm,減速器終端與齒條連接的小齒輪分度圓半徑為rg,轉(zhuǎn)向節(jié)臂長度為rT,則由動力傳動關(guān)系可得如下近似表達(dá)：

(7)

綜合式(2)—式(4)及式(7),可得線控前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)等效動力學(xué)模型：

(8)

式中：Jeq、Beq分別為系統(tǒng)的等效轉(zhuǎn)動慣量和粘滯系數(shù);TL、Td分別為系統(tǒng)可建模等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩以及不確定負(fù)載轉(zhuǎn)矩;u為系統(tǒng)輸入。各等效參量表達(dá)式如下：

(9)

1.3 考慮參數(shù)時變及轉(zhuǎn)矩故障和飽和的轉(zhuǎn)向模型

式(8)所示的等效動力學(xué)模型為理想模型,其未將實際系統(tǒng)中的參數(shù)變化以及潛在的轉(zhuǎn)矩故障情況考慮在內(nèi)。本節(jié)將對理想模型進(jìn)一步完善。

對實際轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的參數(shù)變化進(jìn)行分析。首先,實際梯形轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中,齒條與車輪之間的傳動比并非定值,其可表達(dá)為l·rT,其中,l表示實際傳動比與rT的比值,為有界時變參數(shù),滿足0

轉(zhuǎn)向電機(jī)轉(zhuǎn)矩故障屬于控制系統(tǒng)中執(zhí)行器故障的一種,其主要表現(xiàn)為3種形式,即卡死故障、轉(zhuǎn)矩部分失效故障和轉(zhuǎn)矩完全失效故障。其中,轉(zhuǎn)矩部分失效故障主要表現(xiàn)為：電機(jī)仍然保有部分工作能力,但輸出轉(zhuǎn)矩?zé)o法達(dá)到應(yīng)有水平[2],該故障類型主要是由于電機(jī)內(nèi)部參數(shù)變化或電機(jī)某相斷路造成的,是最常見的一種故障形式。介于此,本文主要考慮轉(zhuǎn)矩部分失效的故障情形,將電機(jī)轉(zhuǎn)矩故障及飽和的數(shù)學(xué)表達(dá)描述為[17]：Te=fKtsat(iq),其中,f為故障因子,滿足0

(10)

式中：(·)max為飽和值。故而,電機(jī)輸出電磁轉(zhuǎn)矩的故障及飽和模型為Te=fQ(iq)iq,則上述轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的實際輸入轉(zhuǎn)矩為fQ(lu)lu。

綜上所述,考慮到線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的參數(shù)時變性以及轉(zhuǎn)矩故障和飽和,模型 (8) 可進(jìn)一步完善為

(11)

式中：ΔJeq、ΔBeq、Td、f、l均為有界時變參量。

2 轉(zhuǎn)角跟蹤固定時間滑?？刂破髟O(shè)計

線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)車輪轉(zhuǎn)角跟蹤控制主要包含內(nèi)環(huán)電流控制和外環(huán)機(jī)械控制。其中,外環(huán)機(jī)械控制器以車輪轉(zhuǎn)角為被控狀態(tài)量,根據(jù)理想轉(zhuǎn)角和理想轉(zhuǎn)速,獲取需求交軸電流。內(nèi)環(huán)電流控制器根據(jù)電機(jī)理想電流,獲取電機(jī)定子電壓需求值以驅(qū)動系統(tǒng)運動。本節(jié)基于固定時間穩(wěn)定理論設(shè)計具有抗擾及容錯性能的機(jī)械外環(huán)滑模控制器。

為更好地說明固定時間滑?？刂破髟O(shè)計的理論依據(jù),首先給出如下2則引理[17]：

引理1：對于自洽動態(tài)系統(tǒng)

(12)

若滿足：α>0,β>0,m、n、p、r均為正奇數(shù),且m>n,p

(13)

(14)

(15)

式中：0<ι<1,t為固定有界時間,滿足

(16)

2.1 非奇異固定時間滑模容錯控制器設(shè)計

(17)

根據(jù)引理1構(gòu)造如下固定時間穩(wěn)定滑模面[18]：

(18)

式中：α1,β1>0,m1、n1、r1、p1均為正奇數(shù),且滿足m1>n1,p11;以(·)[ζ]=|·|ζsign(·)代替(·)ζ作運算是為了避免輸入信號中出現(xiàn)復(fù)數(shù)。

然而,對式(18)的滑模面s求導(dǎo)會出現(xiàn)e[p1/r1-1]項,當(dāng)e=0時,該項趨于∞,因此,該形式的滑模面存在奇異現(xiàn)象。為避免該問題,將式(18)中的滑模面改寫為

(19)

于是,設(shè)計控制率為

(20)

式中：α2,β2>0;m2、n2、p2、r2均為正奇數(shù),且滿足m2>n2,p2

(21)

(22)

由于控制率中包含符號函數(shù)sign(s),因此,在滑模面s=0的鄰域內(nèi),系統(tǒng)輸入不連續(xù),會引起不必要的抖震。為削弱抖震現(xiàn)象,采用邊界層技術(shù),即以飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù),飽和函數(shù)sat(s)為

(23)

式中,ε>0為邊界層。

2.2 參數(shù)自適應(yīng)控制方案

上節(jié)中設(shè)計的滑模控制器需要提前明確輸入增益的下界g、等效慣性系數(shù)變化量的上界λj、等效粘滯系數(shù)變化量上界λb和不確定負(fù)載的上界λd,而實際車輛轉(zhuǎn)向工況的復(fù)雜性導(dǎo)致這4個界限值很難直接給定,且如果界限值給的過于極端,則補償增益g-1Γ過大,導(dǎo)致系統(tǒng)抖震和執(zhí)行器負(fù)擔(dān)加劇,嚴(yán)重時會出現(xiàn)失穩(wěn)情況。本節(jié)中將結(jié)合非奇異滑模面,給出一種自適應(yīng)控制方案。該方案無需提前指定不確定界限值,可根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)量,對綜合不確定性界限進(jìn)行預(yù)估。

(24)

則控制率相應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(25)

(26)

則有：

(27)

由引理2可知,基于所設(shè)計自適應(yīng)率的閉環(huán)系統(tǒng)在固定時間內(nèi)穩(wěn)定。

3 仿真分析

為驗證所設(shè)計具有容錯性能的控制器的有效性,以某款乘用車為測試對象,聯(lián)合電機(jī)內(nèi)環(huán)控制系統(tǒng)及Carsim整車模型在Sumulink中進(jìn)行仿真測試,聯(lián)合仿真測試過程框圖如圖3所示。

圖3 聯(lián)合仿真測試過程框圖

電機(jī)內(nèi)環(huán)控制器采用經(jīng)典的雙PI控制策略[19],即：

(28)

式中：eq為理想交軸電流與實際值之差;Rs、Ls分別為定子電阻及電感;ud、uq分別為直軸和交軸輸入電壓;γ為雙PI控制器可調(diào)參數(shù)。仿真所需電機(jī)參數(shù)、車輛及轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

(29)

方案3是無容錯性能的固定時間滑模控制方案,其控制率為

(30)

3.1 無轉(zhuǎn)矩故障情形仿真

在無轉(zhuǎn)矩故障G=1情形下,為系統(tǒng)設(shè)置前述不確定負(fù)載轉(zhuǎn)矩Td及時變參數(shù)ΔJeq、ΔBeq,在3種工況下進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖4所示。

圖4 無轉(zhuǎn)矩故障情形仿真結(jié)果

由結(jié)果分析可知,在無轉(zhuǎn)矩故障的情形下,3種控制方案在階躍和正弦轉(zhuǎn)向工況下,均具有較好的抗擾性能和響應(yīng)特性。但就響應(yīng)速度而言,基于所設(shè)計固定時間滑?？刂频姆桨?和3可在固定時間內(nèi)穩(wěn)定到期望值,其在工況1、2和3中的響應(yīng)時間分別在0.1、0.18和0.04 s左右;而基于傳統(tǒng)滑?？刂频姆桨?可漸進(jìn)穩(wěn)定于期望值,在工況1、2和3中的響應(yīng)時間則分別在0.4、0.68和0.15 s左右。前者較后者在響應(yīng)時間上平均縮短了70%,這對提升線控汽車的行駛安全性具有十分重要的意義。

3.2 定常轉(zhuǎn)矩故障情形仿真

在定常轉(zhuǎn)矩故障G=G1情形下,為系統(tǒng)設(shè)置前述不確定負(fù)載轉(zhuǎn)矩Td時變參數(shù)ΔJeq、ΔBeq,在3種工況下進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖5所示。

由結(jié)果分析可知,在具有恒定轉(zhuǎn)矩故障系數(shù)G1的情形下,相較于無故障情形,3種控制方案的動態(tài)響應(yīng)特性均有一定程度的降低,主要體現(xiàn)在響應(yīng)時間增加,響應(yīng)波動增大,其中在工況2下,控制方案1出現(xiàn)了5%的超調(diào),但很快穩(wěn)定下來。在容錯性能方面,無容錯控制的方案3在各工況下均不能勝任轉(zhuǎn)角跟蹤任務(wù),其動態(tài)響應(yīng)慢且最終存在10%左右的穩(wěn)態(tài)誤差;而具有所設(shè)計容錯補償?shù)墓潭〞r間滑模控制方案1在定常轉(zhuǎn)矩故障情形下,依然能夠維持系統(tǒng)穩(wěn)定,并保證轉(zhuǎn)角跟蹤精度。此外,由于傳統(tǒng)滑模的響應(yīng)速度不及固定時間滑模的響應(yīng)速度,方案2不能及時對故障進(jìn)行有效補償,導(dǎo)致響應(yīng)曲線出現(xiàn)波動。

圖5 定常轉(zhuǎn)矩故障情形仿真結(jié)果

3.3 正弦時變轉(zhuǎn)矩故障情形仿真

在正弦時變轉(zhuǎn)矩故障G=G2情形下,為系統(tǒng)設(shè)置前述不確定負(fù)載轉(zhuǎn)矩Td時變參數(shù)ΔJeq、ΔBeq,在3種工況下進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖6所示。

由結(jié)果分析可知,在具有時變轉(zhuǎn)矩故障系數(shù)G2的情形下,3種控制方案的動態(tài)響應(yīng)特性與定常轉(zhuǎn)矩故障情形下類似?；诒疚闹锌刂撇呗缘姆桨?具有更快的響應(yīng)速度,在固定時間內(nèi)完成收斂,且在時變故障情形下仍保證轉(zhuǎn)角跟蹤精度。方案2采用傳統(tǒng)滑模策略,受其本身響應(yīng)速度的影響,動態(tài)特性出現(xiàn)波動,控制精度下降。而對于無容錯控制的方案3,其控制精度和響應(yīng)速度均受到嚴(yán)重影響,無法勝任線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角跟蹤任務(wù)。

圖6 時變轉(zhuǎn)矩故障情形仿真結(jié)果

4 結(jié)論

針對具有不確定性的線控前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)轉(zhuǎn)角跟蹤控制問題,建立了考慮參數(shù)時變以及轉(zhuǎn)矩故障和飽和的前輪轉(zhuǎn)向模型,設(shè)計了一種具有容錯性能的非奇異固定時間滑模控制器,并給出一種自適應(yīng)方案預(yù)估不確定上界,保證系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性。

1) 采用所設(shè)計非奇異固定時間滑模控制方法,可有效提高前輪轉(zhuǎn)角跟蹤的響應(yīng)速度,其響應(yīng)時間較傳統(tǒng)滑模的響應(yīng)時間平均縮短70%。

2) 當(dāng)存在轉(zhuǎn)矩故障時,所提具有容錯性能的控制器依然能夠有效維持系統(tǒng)穩(wěn)定,并保證轉(zhuǎn)角跟蹤精度,這對提升線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的可靠性以及線控汽車的行駛安全性具有重要意義。