成春彥,李亞安
(西北工業(yè)大學 航海學院,陜西 西安,710072)
純方位目標跟蹤是典型的被動聲吶目標跟蹤系統(tǒng),它在不使用發(fā)射裝置的情況下,僅利用目標輻射出的聲波信號的方位信息來求得目標的位置和速度等運動參數(shù),跟蹤目標過程中不易被發(fā)現(xiàn)和打擊,可以在隱蔽自己的狀態(tài)下完成對期望目標的攻擊,作戰(zhàn)安全性高,在跟蹤領(lǐng)域具有重要的研究價值[1]。
純方位目標跟蹤的基本原理是利用觀測站傳感器獲得目標相對觀測站的方位角信息,結(jié)合基于一定的先驗信息建立的目標運動模型,采用適合的跟蹤算法,實時估計出目標的連續(xù)運動狀態(tài)。靜止單觀測站純方位跟蹤系統(tǒng)具有不可觀測性,要使目標可觀測,那么觀測站要作比目標運動形式更復雜的機動運動或者采用多個靜止觀測站跟蹤目標。而在復雜海洋環(huán)境下,觀測站通常是不允許機動運動的,那么采用成本較低、實現(xiàn)較容易且能夠獲得較好跟蹤效果的靜止雙觀測站系統(tǒng)是實現(xiàn)目標狀態(tài)可觀測的最佳選擇。
靜止雙觀測站系統(tǒng)可以在同一時刻獲得2 個方位角信息,解決靜止單觀測站純方位跟蹤系統(tǒng)的距離模糊問題,實現(xiàn)對目標的實時跟蹤。為了得到目標的實時狀態(tài),需要采用遞歸的濾波算法。目前廣泛適用于水下純方位目標跟蹤量測方程非線性特點的遞歸濾波算法有擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)[2]和無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter,UKF)[3-5]。
近年來,為了提高雙觀測站系統(tǒng)跟蹤目標的精度,有關(guān)跟蹤算法方面的研究不斷深入: 蔚婧等[6]提出了改進的輔助變量算法,理論上可獲得目標參數(shù)的無偏估計;趙振軼[7]、Li[8]等將EKF、UKF 算法與交互式多模型算法(interacting multiple model,IMM)相結(jié)合,提出了IMM-EKF 和IMM-UKF 算法;李曉花[9]研究了基于方位-多普勒量測信息的EKF跟蹤算法,將量測信息的維數(shù)由一維擴展到二維。這些算法都是在EKF 和UKF 算法基礎上發(fā)展起來的,雖然有助于提高跟蹤精度,但文章中既沒有研究分析雙觀測站系統(tǒng)固有屬性,例如雙站距離對跟蹤效果的影響,也沒有在此基礎上研究方位角測量誤差對跟蹤效果的影響。
文中將EKF 和UKF 算法應用于靜止雙站純方位目標跟蹤系統(tǒng)中,并且通過仿真研究了雙站距離和方位角量測誤差對跟蹤效果的影響,結(jié)果表明雙站距離和方位角測量誤差均會影響純方位目標跟蹤的效果。
將目標與觀測站設定在同一平面內(nèi)運動,兩者在x-y坐標平面內(nèi)的幾何關(guān)系如圖1 所示,觀測站A位于坐標原點,觀測站B在x軸方向上與A站距離為d,目標在初始位置(x(0),y(0))處以恒定速度沿著確定航向K作直線運動,在任意時刻t處,目標的狀態(tài)向量表示為X(t)=兩觀測站在該時刻的量測方位角為
圖1 目標與觀測站幾何態(tài)勢Fig.1 Geometrical situation between target and observation stations
觀測站傳感器獲得的量測信息只有目標方位角 β,則雙站在t時刻獲得的量測方位角為
方差為RV的高斯白噪聲。
量測方程是關(guān)于目標和觀測站位置的反正切函數(shù),具有非線性特點。
由于雙站純方位跟蹤系統(tǒng)具有非線性特點,采用標準線性卡爾曼濾波算法無法對目標狀態(tài)進行濾波,文中將研究在標準卡爾曼濾波算法基礎上提出的非線性濾波算法。
EKF 算法的基本思想是截取非線性函數(shù)泰勒展開式的1 階項,忽略其余高階項,將非線性函數(shù)近似線性化,從而在滿足線性系統(tǒng)、高斯白噪聲和隨機變量服從高斯分布這3 個假設條件下使用標準卡爾曼濾波算法對目標狀態(tài)進行估計。
定義系統(tǒng)目標狀態(tài)空間模型
式中:Wk和Vk分別是k時刻服從高斯分布的系統(tǒng)狀態(tài)噪聲和測量噪聲,Wk和Vk相互獨立,且Wk~N(0,Qk)、Vk~N(0,Rk);f(*)和h(*)分別是系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)和量測函數(shù),水下純方位目標跟蹤的量測函數(shù)具有非線性特點。
利用式(4)和式(5)中的非線性函數(shù)f(*)、h(*)分別對濾波值作1 階泰勒級數(shù)展開,得到線性化后的狀態(tài)方程和觀測方程分別為
EKF 算法的實現(xiàn)過程如下。
1) 時間更新
2) 量測更新
UKF 算法通過無跡變換(unscented transform,UT)使得非線性系統(tǒng)方程適用于線性假設下的標準卡爾曼濾波算法。
UT 的原理是: 按某種規(guī)則選取一些在原先的n維隨機變量x分布中的Sigma 點,這些點的均值和協(xié)方差與原先狀態(tài)分布的均值x和協(xié)方差P分別相等,將這些Sigma 點代入非線性函數(shù)中,得到相應的非線性函數(shù)值點集,再通過這些點集求出變換后的均值和協(xié)方差。
下面給出UKF 算法的基本流程。
1) 初始化
2) 用集合形式表示選取2n+1 個Sigma 點
3) 時間更新
4) 量測更新
5) 狀態(tài)和協(xié)方差估計
其中: 式(19)表示UT 中將Sigma 點代入非線性函數(shù)h(*)得到的點集Zk|k-1;式(20)和(21)分別為UT 中Zk|k-1加權(quán)處理后非線性函數(shù)的均值和協(xié)方差;Wi,e、Wi,c分別是UT 中計算得到的Sigma 點對應的均值和協(xié)方差的權(quán)值,定義如下
式中:l=α2(n+m)-n為縮放比例參數(shù),其中,m為比例因子,當x為多維變量時,則取m=3-n;α控制由非線性函數(shù)產(chǎn)生的高階影響,取值為正數(shù)[10];β為非負的權(quán)系數(shù)。
水下純方位目標跟蹤可利用的信息只有目標的方位角信息,系統(tǒng)可觀測性低,同時模型非線性程度嚴重,容易出現(xiàn)濾波發(fā)散的情況。另外,水下被動探測接收陣接收到目標輻射噪聲信號后,通過陣列信號處理技術(shù)可以提取出目標的方位量測信息,而該信息存在估計誤差,通過對目標進行純方位跟蹤,可以獲得更加精確的方位信息。文中基于這一事實,建立了目標的狀態(tài)方程和方位信息的量測方程,采用MATLAB 仿真技術(shù),在方位角基礎上加上均值為零、方差不為零的高斯白噪聲來仿真水下的實際方位角量測,這種假設在水下被動探測系統(tǒng)環(huán)境中不失一般性。
通過仿真比較EKF 和UKF 算法的雙觀測站純方位目標跟蹤效果,并分別研究雙站之間的距離d和方位角量測誤差R對這2 種算法跟蹤目標的影響,并將均方根誤差(root mean square error,RMSE)作為每個時刻目標跟蹤誤差大小的評價標準[11]。
目標空間位置均方根誤差
速度均方根誤差
x方向的位置均方根誤差
x方向的速度均方根誤差
設觀測站A和B分別位于平面直角坐標系的(0,0) 和 (900,0) 處,目標與觀測站A的初始距離和初始方位角分別為5 km 和15°,目標沿著K=130°的航向作速度為30 kn 的勻速直線運動,過程噪聲和量測噪聲均為零均值高斯白噪聲,方位角量測誤差的方差R=1°,過程噪聲方差為Q=0.01,UT 變換參數(shù)分別設定為n=4,β=2,α=1,l=-1,經(jīng)過50 次蒙特卡羅實驗,每次仿真時間為400 s,采樣間隔T=1 s,初值設置為目標x和y方向真實位置基礎上各增加100 m。仿真結(jié)果見圖2~圖4。
圖2 R=1°時EKF 和UKF 目標跟蹤航跡圖Fig.2 Target tracking trajectory of EKF and UKF with R=1°
圖2 是EKF 和UKF 的目標跟蹤航跡圖。從圖中可以看出,隨著仿真的進行,經(jīng)過UKF 濾波形成的估計航跡會更快地到達真實航跡周圍,UKF算法的收斂速度快于EKF 算法,且UKF 算法跟蹤目標的效果優(yōu)于EKF 算法。
圖3 和圖4 分別是EKF、UKF 算法在目標跟蹤過程中x、y方向位置和速度的RMSE 圖。從圖3可以看出,UKF 算法在位置估計方面的收斂速度快于EKF 算法,且前者的魯棒性好于后者,UKF算法趨于穩(wěn)定時在x方向上的位置RMSE 與EKF算法相近,但在y方向上的位置RMSE 小于EKF 算法。從圖4 可以看出,UKF 算法在水平和豎直方向上的速度RMSE 波動均小于EKF 算法,反映出UKF 算法在速度估計方面具有更好的魯棒性。造成UKF 算法在速度和位置的RMSE 總體小于EKF算法的原因在于這2 種算法處理非線性函數(shù)的方式不同。EKF 算法在處理方位角量測函數(shù)這類非線性程度較強的函數(shù)時,忽略了泰勒展開式的高階項對狀態(tài)后驗分布的估計影響,導致產(chǎn)生較大誤差[12],進而降低了系統(tǒng)跟蹤目標的效果;UKF算法是對非線性函數(shù)的概率密度分布進行近似,EKF 算法采用忽略泰勒展開式高階項的方式對非線性函數(shù)進行近似,因而UKF 算法在處理非線性函數(shù)方面的誤差小于EKF 算法,在相同的仿真條件下,UKF 跟蹤誤差小于EKF 算法。
圖3 R=1°時EKF 和UKF 目標位置RMSEFig.3 RMSE of position of EKF and UKF with R=1°
圖4 R=1°時EKF 和UKF 目標速度RMSEFig.4 RMSE of velocity of EKF and UKF with R=1°
研究2 個觀測站之間的距離d對目標跟蹤效果的影響,假設A站和B站都位于水平方向,且A站固定于坐標原點,觀測站B與站A的距離以100 m 的間隔依次從100 m 增加到1 500 m,對每個距離分別獨立運行3 次EKF 和UKF 跟蹤程序,其他參數(shù)設置與實例1 相同,計算位置和速度的RMSE 平均值,結(jié)果如表1~表4 所示。
表1 EKF 位置RMSE 平均值Table 1 Average of position RMSE with EKF
將表1 中的位置RMSE 平均值繪制成折線圖,如圖5 所示。
圖5 EKF 位置RMSE 平均值折線圖Fig.5 Curves of average of position RMSE with EKF
結(jié)合表1 和圖5 可以看出,位置平均RMSE與x方向的分量平均RMSE 變化趨勢相近,總體都呈現(xiàn)出先減少后增加的趨勢,在兩站距離800~900 m 時RMSE 處于較小值;y方向平均RMSE 在兩站距離小于800 m 時上下波動,在大于800 m 后呈現(xiàn)出上升的趨勢。總體而言,EKF 跟蹤算法在2個觀測站距離800~900 m 時有較好的跟蹤效果。
將表2 中的速度RMSE 平均值繪制成折線圖,如圖6 所示。
表2 EKF 速度RMSE 平均值Table 2 Average of velocity RMSE with EKF
圖6 EKF 速度RMSE 平均值折線圖Fig.6 Curves of average of velocity RMSE with EKF
結(jié)合表2 和圖6 可以看出,x方向和y方向的速度平均RMSE 總體趨勢相反,前者呈上升趨勢且跟蹤結(jié)束時平均RMSE 值相較初始時刻增加了約2 倍,后者呈下降趨勢,總體變化較小;速度平均RMSE 總體比較平穩(wěn),有微小增加,在兩站距離800 m 處均方根誤差較小。
結(jié)合表1、表2、圖5 和圖6 可知,在這種跟蹤場景下,EKF 算法在兩站距離800 m 時可以獲得最佳的跟蹤效果,此時目標位置平均RMSE 和速度平均RMSE 均較小。
將表3 中的位置RMSE 平均值繪制成折線圖,如圖7 所示。
表3 UKF 位置RMSE 平均值Table 3 Average of the position RMSE with UKF
圖7 UKF 位置RMSE 平均值折線圖Fig.7 Curves of average of position RMSE with UKF
結(jié)合表3 和圖7 可知,位置平均RMSE 和x方向位置平均RMSE 近似呈現(xiàn)“v”字形,在兩站距離800 m 時兩者取值最小,此時y方向的位置平均RMSE 較小
將表4 中的速度RMSE 平均值繪制成折線圖,如圖8 所示。
表4 UKF 速度RMSE 平均值Table 4 Average of velocity RMSE with UKF
圖8 UKF 速度RMSE 平均值折線圖Fig.8 Curves of average of velocity RMSE with UKF
結(jié)合表4 和圖8 可以看出,UKF 算法的x方向和y方向的速度平均RMSE 總體趨勢相反,前者呈上升趨勢;速度平均RMSE 總體變化較小,在兩站距離800 m 處速度平均RMSE 較小。
結(jié)合表3、表4、圖7 和圖8,綜合考慮UKF 算法的位置平均RMSE 和速度平均RMSE 可知,在這種跟蹤場景下,在兩站相距800 m 時,UKF 算法可以得到更好的跟蹤效果。
相對于目標與觀測站的距離而言,2 個觀測站距離較近時,目標相對2 個觀測站的方位角差別很小,可近似認為是單觀測站純方位目標跟蹤系統(tǒng),此時會獲得較大的跟蹤誤差;2 個觀測站距離較遠時,根據(jù)式(3)可知,可能導致目標相對某個觀測站的方位角為零、方位角變化率很小,進而產(chǎn)生較大的跟蹤誤差,因此設置恰當?shù)碾p站距離有利于得到較好的跟蹤效果。
在2 種算法獲得較好跟蹤效果的雙站距離的基礎上,研究方位角測量誤差的方差R對2 種算法跟蹤效果的影響。將基于EKF 和UKF 算法的雙觀測站系統(tǒng)的雙站距離d均設定為800 m,將R以1°的間隔從1°增加到10°,對每個R分別獨立運行3 次EKF 和UKF 跟蹤程序,其他參數(shù)與實例1 相同,得到靜止雙觀測站情況下基于EKF 和UKF算法的目標位置和速度平均RMSE 分別如表5~表8 所示;特別地,當R=4°和R=8°時,分別采用2 種算法進行仿真,結(jié)果如圖9~圖13 所示。
表5 不同方位角量測誤差時EKF 位置平均RMSETable 5 Average of position RMSE with different bearing measurement errors in EKF
表6 不同方位角量測誤差時EKF 速度平均RMSETable 6 Average of velocity RMSE with different bearing measurement errors in EKF
表7 不同方位角量測誤差時UKF 位置平均RMSETable 7 Average of position RMSE with different bearing measurement errors in UKF
表8 不同方位角量測誤差時UKF 速度平均RMSETable 8 Average of velocity RMSE with different bearing measurement error in UKF
圖9 R=4°時EKF 和UKF 目標跟蹤航跡Fig.9 Target tracking trajectory of EKF and UKF with R=4°
圖10 R=4°時EKF 和UKF 位置和速度RMSEFig.10 Position and velocity RMSE of EKF and UKF with R=4°
結(jié)合表5~表8 可以看出,隨著R增大,EKF 算法仿真得到的位置平均RMSE 和速度平均RMSE以及它們在x、y方向上的分量平均RMSE 都嚴格增大;UKF 算法仿真得到的位置平均RMSE 和速度平均RMSE 以及它們在x、y方向上的分量平均RMSE 總體增大,平均RMSE 值越大,跟蹤效果越差。說明R值會對雙站純方位系統(tǒng)的跟蹤效果產(chǎn)生影響,這是由于該系統(tǒng)利用的量測信息只有方位角,R值越大,利用的方位角與真實方位角相差越大,得到的結(jié)果越不準確,從而使跟蹤效果越差。
從圖9~圖11 可以看出,R=4°時EKF 算法的位置RMSE 約為UKF 算法的1.3 倍;與實例1 中R=1°時的跟蹤航跡圖相比,R=4°的EKF 和UKF算法的收斂速度和魯棒性都有所降低,且估計航跡到達真實航跡周圍所需時間均有所增加,在跟蹤后半階段2 種算法都出現(xiàn)了估計航跡偏離真實航跡的情況,但經(jīng)過一段時間的跟蹤,UKF 能夠重新靠近并到達真實航跡周圍,EKF 出現(xiàn)了跟丟目標的情況,EKF 算法跟蹤效果明顯降低。
圖11 不同方位角量測誤差時EKF 和UKF 位置平均RMSEFig.11 Position average RMSE in EKF and UKF with different bearing measurement errors
圖9 與圖12 相比,R=8°時EKF 算法的目標估計航跡偏離真實航跡較大,存在“距離模糊”的現(xiàn)象,跟蹤效果差,在這種情況下EKF 無法完成對目標的跟蹤;UKF 算法在R=8°時隨著跟蹤的進行目標估計航跡與真實航跡的偏差逐漸縮小,收斂到真實航跡周圍的時間落后于R=4°時的相應情況。
圖12 R=8°時EKF 和UKF 目標跟蹤航跡Fig.12 Target tracking trajectory of EKF and UKF with R=8°
對比圖10 和圖13 可知,R增大時,EKF 的位置和速度RMSE 明顯增大,R=8°時EKF 算法跟蹤結(jié)束的位置RMSE 略高于初始RMSE,UKF 算法在不同R值時位置RMSE 都以下降趨勢逐漸收斂到某值附近,不同R值時EKF 算法的速度RMSE明顯高于UKF 算法。以上說明在方位角量測誤差增大時,EKF 跟蹤性能下降,但UKF 仍然具有較高的跟蹤能力,在實際中有著更加廣泛的應用。
圖13 R=8°時EKF 和UKF 位置和速度RMSEFig.13 Position and velocity of RMSE in EKF and UKF with R=8°
文中將EKF 和UKF 算法應用到雙觀測站純方位目標跟蹤系統(tǒng)中,研究2 種算法分別在雙站間距和方位角量測誤差改變情況下的跟蹤性能。仿真結(jié)果表明,UKF 算法具有更快的收斂速度和更高的魯棒性,并且雙站間距和方位角量測誤差都會影響2 種算法的跟蹤效果,雙站之間的距離不宜過近或過遠,雙站距離為800 m 時2 種算法能夠獲得較好的跟蹤效果;方位角量測誤差增大,2 種算法的跟蹤性能都會下降,但UKF 算法在EKF 算法跟蹤失效時仍具有一定的跟蹤效果。此外,在選擇合適的雙站距離和恰當?shù)姆轿唤橇繙y誤差的基礎上,采用更高估計精度的非線性濾波算法將是今后研究的方向。