航空弧齒錐齒輪低敏感度齒面優(yōu)化設(shè)計(jì)

董紅濤，任鴻飛，游志偉，薛成

（1.中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南株洲 412002；2.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072）

弧齒錐齒輪作為航空動(dòng)力推進(jìn)系統(tǒng)中的重要部件，其接觸性能直接影響輪齒的承載能力及傳動(dòng)的可靠性。航空結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)導(dǎo)致齒輪副的支承剛度降低，在高速重載工作過程中，弧齒錐齒輪副的支承會(huì)發(fā)生變形，導(dǎo)致齒輪副安裝距發(fā)生偏差，安裝距偏差會(huì)影響齒面接觸印痕的大小與方位，進(jìn)而影響弧齒錐齒輪的承載能力，為保證航空附件傳動(dòng)弧齒錐齒輪在不同工況下都具有良好的接觸性能，開展低敏感度齒面優(yōu)化設(shè)計(jì)是十分必要的。

Litvin 等[1-2]應(yīng)用局部綜合等方法，通過預(yù)置的傳動(dòng)誤差來降低線性傳動(dòng)誤差的大小，以提高齒輪傳動(dòng)的耐久性。文獻(xiàn)[3-4]確定出計(jì)及誤差的輪齒接觸分析的精確初始點(diǎn)。Ding 等[5]提出一種6σ 健性多目標(biāo)優(yōu)化方法，以獲得低敏感性的機(jī)床加工調(diào)整參數(shù)。Liu 等[6]通過改進(jìn)的ICP 算法來精確補(bǔ)償齒輪偏心和傾斜誤差。方宗德等[7]通過設(shè)計(jì)高重合度傳動(dòng)誤差曲線，既提高了弧齒錐齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性，又保證了齒輪副的嚙合質(zhì)量，同時(shí)降低了齒輪性能對(duì)誤差的敏感性。Fraňová等[8]通過齒廓修型減小傳動(dòng)誤差，以降低齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)與噪聲。蘇進(jìn)展等[9]通過預(yù)設(shè)接觸跡線沿齒長(zhǎng)方向來提高齒輪副的重合度，以改善齒輪副嚙合性能。Zhou 等[10]提出一種補(bǔ)償測(cè)量齒面與理論齒面偏差量的一種方法，顯著提高了齒輪測(cè)量機(jī)的精度。劉光磊等[11]提出了一種針對(duì)接觸印痕位置參數(shù)的分析方法，為確定弧齒錐齒輪副安裝誤差的變動(dòng)范圍提供了參考。唐進(jìn)元等[12]基于加載接觸有限元分析原理，綜合分析了誤差及變形對(duì)弧齒錐齒輪接觸特性的影響。彭山東等[13]考慮軸的變形與傳動(dòng)誤差數(shù)值間的關(guān)系，通過改變軸系支撐形式改善傳動(dòng)誤差曲線。牟彥銘等[14]通過建立齒面曲率修正模型對(duì)預(yù)設(shè)的高階傳動(dòng)誤差進(jìn)行優(yōu)化，以改善齒輪間嚙合性能。

以一對(duì)航空附件傳動(dòng)弧齒錐齒輪為例，通過分析安裝誤差的產(chǎn)生過程，對(duì)安裝誤差進(jìn)行等效處理，基于錯(cuò)位量對(duì)接觸印痕進(jìn)行量化，研究印痕與錯(cuò)位量之間的定量關(guān)系，基于計(jì)及安裝誤差的齒面接觸分析（ELTCA）確定接觸印痕對(duì)安裝誤差的敏感度矩陣，建立以靈敏度矩陣絕對(duì)值之和為目標(biāo)函數(shù)的穩(wěn)健性優(yōu)化模型，采用基于遺傳算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立輸入輸出之間的映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)弧齒錐齒輪齒面的低敏感度優(yōu)化設(shè)計(jì)，也稱穩(wěn)健性。

1 安裝誤差

1.1 安裝誤差的產(chǎn)生

本文所研究的安裝誤差是指在實(shí)際工況下弧齒錐齒輪副在嚙合過程中，接觸區(qū)域中心點(diǎn)偏離理論參考點(diǎn)的程度，主要由加工誤差、裝配誤差、熱變形、支撐變形等產(chǎn)生，無論從理論上還是從實(shí)踐中來看，這幾部分誤差均是不可避免。

1.2 等效安裝誤差

為了研究安裝誤差對(duì)傳動(dòng)的影響，如圖1 所示進(jìn)行等效[15]。將各錯(cuò)位量正負(fù)號(hào)方向規(guī)定如下：小輪軸向錯(cuò)位量Hp為“?”時(shí)移向小端，為“+”時(shí)移向大端；大輪軸向錯(cuò)位量Hg移向與小輪相同；軸間距錯(cuò)位量規(guī)定齒輪副錐頂重合處為參考位置，從大輪小端向大端看去，小輪在大輪的右邊且大輪向上移動(dòng)時(shí)，V為“+”，大輪向下移動(dòng)時(shí)，V為“?”；軸交角錯(cuò)位量Σ為“?”時(shí)軸交角減小，為“+”時(shí)軸交角增大。

圖1 弧齒錐齒輪的錯(cuò)位量

2 齒面印痕的量化

齒面印痕是衡量弧齒錐齒輪嚙合質(zhì)量的關(guān)鍵指標(biāo)，由于齒面印痕比較直觀，使之成為目前對(duì)弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)、制造和檢驗(yàn)的主要方法。同時(shí)，接觸中心的信息也反映在接觸印痕中，因此，安裝誤差對(duì)接觸印痕的影響，就顯得尤為重要。但是，由于接觸印痕的形狀不規(guī)則，要研究安裝誤差對(duì)接觸印痕的影響，就必須對(duì)印痕進(jìn)行量化處理。圖2 為齒面接觸印痕劃分模型。

圖2 齒面接觸印痕劃分模型

圖3 為接觸印痕面積計(jì)算示意圖，齒面印痕的量化參數(shù)分別為：齒面印痕的面積、方向和位置。將所有接觸橢圓圍成的區(qū)域作為印痕的面積，接觸跡線的方向作為印痕方向，齒面印痕的中心作為印痕的位置。

圖3 接觸印痕面積計(jì)算

齒面印痕的量化參數(shù)具體定義如下：

1）印痕的面積。連接所有接觸橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，得到近似齒面印痕的多邊形，將他們的面積可以近似為齒面印痕的面積，該多邊形的面積可以處理為有限個(gè)三角形單元的面積之和，設(shè)有n個(gè)。

根據(jù)圖4 的接觸印痕中心定義，設(shè)p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)為第i個(gè)三角形的3 個(gè)頂點(diǎn)及相應(yīng)坐標(biāo)，依據(jù)文獻(xiàn)[16]，可得三角形單元的面積為

圖4 接觸印痕中心定義

所以印痕多邊形面積為

2）印痕的中心。將由接觸橢圓組成的多邊形按逆時(shí)針方向排序p1,p2,···,pn，其坐標(biāo)為(xi,yi)，i=1，2，...，n，則多邊形的中心為：

3）印痕方向。為簡(jiǎn)化起見，將進(jìn)入嚙合點(diǎn)的接觸橢圓中心和退出嚙合的接觸橢圓中心連線作為印痕方向。用來和齒面2 階接觸參數(shù)進(jìn)行聯(lián)系。

印痕量化之后，既可以研究齒面印痕與錯(cuò)位量之間的定量關(guān)系，進(jìn)而分析齒面印痕對(duì)誤差的敏感性；也可用于后續(xù)優(yōu)化加工參數(shù)，提高齒輪副嚙合穩(wěn)定性。

3 敏感度分析

在研究弧齒錐齒輪嚙合質(zhì)量關(guān)于安裝誤差的敏感度問題時(shí)，是將弧齒錐齒輪安置在已經(jīng)存在一定安裝誤差的條件下進(jìn)行的。理論錯(cuò)位量情況下印痕中心位置、印痕面積和印痕方向?yàn)槔碚撚『蹍?shù)。錯(cuò)位量在一定范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)，實(shí)際得到齒面印痕必將偏離理論齒面印痕。實(shí)際印痕參數(shù)與理論印痕參數(shù)之間的誤差，稱之為印痕誤差。Δx、Δy、ΔS、Δd分別表示理論齒面印痕和實(shí)際齒面印痕中心水平位置誤差、垂直位置誤差、面積誤差和方向誤差，可表示為：

簡(jiǎn)記為向量函數(shù)

本文靈敏度是基于齒面接觸印痕進(jìn)行的理解，即齒面接觸印痕相關(guān)量的變化相對(duì)于安裝誤差的變化是否十分靈敏，從而展開穩(wěn)健度（靈敏度）的定義。基于這樣的想法，取弧齒錐齒輪安裝誤差的初始值為E0，對(duì)式（4）進(jìn)行Taylor 展開，得：

根據(jù)式（6）可以看出齒面接觸印痕相關(guān)量的變化相對(duì)于安裝誤差的變化的靈敏程度，但是由于計(jì)算過程復(fù)雜，對(duì)其進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化。

依據(jù)相關(guān)理論研究，采用1階量進(jìn)行計(jì)算可以保證精度。本文采用本質(zhì)為向量函數(shù)S=(fx,fy,fS,fd)的雅可比（Jacobian）矩陣，用以描述向量函數(shù)與其自變量之間的變化關(guān)系。故齒面印痕相對(duì)于錯(cuò)位量的敏感度定義為：印痕中心位置、印痕面積和印痕方向?qū)? 個(gè)錯(cuò)位量的變化率，其幾何意義是接觸印痕質(zhì)量對(duì)安裝錯(cuò)位量的敏感程度，絕對(duì)值越大表示對(duì)該錯(cuò)位量相對(duì)敏感。

齒面接觸印痕相對(duì)于錯(cuò)位量的靈敏度矩陣S可表示為：

用矩陣形式來表示印痕誤差與靈敏度及安裝誤差之間的關(guān)，即

令其他影響因素e1,e2,···,ei?1,ei+1不變，其中的一個(gè)影響因子ei在其原值附近發(fā)生擾動(dòng)產(chǎn)生變化，擾動(dòng)范圍一般處于可接受的±10%鄰域內(nèi)。為了保證一定的計(jì)算精度，利用中差分公式進(jìn)行計(jì)算，精度較前、后差分公式有所提高。得到4 個(gè)印痕誤差函數(shù)參數(shù)對(duì)該影響因素的變化率（即1 階計(jì)算量）為

以此來反映影響因素ei對(duì)印痕參數(shù)的敏感程度。另外，靈敏度Si的數(shù)值有正、負(fù)之分，正值表示相對(duì)于理論印痕參數(shù)，印痕質(zhì)量參數(shù)的值是增加，負(fù)值表示是減小的。但需要指出的是，軸交角錯(cuò)位量Σ是一個(gè)角度微量（單位為rad），與其它3 個(gè)錯(cuò)位量（小輪軸向錯(cuò)位量Hp、大輪軸向輪位錯(cuò)位量Hg及中心距錯(cuò)位量V均為長(zhǎng)度微量，單位為mm）不同，他們之間屬不同量綱不能直接進(jìn)行比較。這里將軸夾角錯(cuò)位量轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)度量綱，具體做法為：將軸交角的誤差與大輪中點(diǎn)錐距的乘積作為軸交角誤差的等效物理量。等效后就可以比較各錯(cuò)位量對(duì)印痕參數(shù)的敏感程度。

4 低敏感度優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 設(shè)計(jì)變量

基于局部綜合法[17]的弧齒錐齒輪主動(dòng)設(shè)計(jì)選取設(shè)計(jì)變量為2 階接觸參數(shù)，即接觸跡線與根錐之間的夾角 β、傳動(dòng)比1 階導(dǎo)數(shù) η及接觸橢圓長(zhǎng)軸與齒寬比δ。因此，在對(duì)弧齒錐齒輪進(jìn)行低靈敏度設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)變量取x=[x1,x2,x3]T=[β,η,δ]T。

4.2 目標(biāo)函數(shù)

考慮到使用靈敏度矩陣的計(jì)算不便性，在此將雅可比矩陣元素絕對(duì)值之和作為目標(biāo)函數(shù)來使用，簡(jiǎn)化計(jì)算且保證一定的準(zhǔn)確性。

4.3 優(yōu)化計(jì)算模型

根據(jù)上述分析，選此為優(yōu)化計(jì)算模型：

式中：β為接觸跡線與根錐之間的夾角；η為傳動(dòng)比一階導(dǎo)數(shù)；δ為接觸橢圓長(zhǎng)軸與齒寬比。

4.4 優(yōu)化模型求解

考慮到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)僅借助實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)，便可建立輸入輸出間的映射關(guān)系，同時(shí)使用遺傳算法作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要補(bǔ)充，以優(yōu)化和改善BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。本文擬采用基于遺傳算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[18]對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。

其中：24 h連續(xù)運(yùn)行設(shè)備的日平均耗電量為三鑒/微波探測(cè)器日平均耗電量、光口交換機(jī)日平均耗電量、網(wǎng)絡(luò)繼電器日平均耗電量三者之和。

由于目標(biāo)函數(shù)是隱函數(shù)，不同于其他隱函數(shù)的是，其值需通過ELTCA 與差分法計(jì)算得出，依據(jù)此特性，使用以下的算法：

1）選取n組不同的設(shè)計(jì)變量值Ei（i=1,2,3,···,n），E=[β,η,δ]，并計(jì)算出在Ei處的敏感度Si，作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本。

2）建立BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并將設(shè)計(jì)變量作為輸入，敏感度作為輸出，利用上一步得到的訓(xùn)練樣本對(duì)其進(jìn)行訓(xùn)練；此處按照神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的默認(rèn)劃分，75%的樣本用來訓(xùn)練，15%的用來檢驗(yàn)。

3）將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為目標(biāo)函數(shù)，提取公式，為避免初值選取的不便性，利用遺傳算法對(duì)其進(jìn)行分析和優(yōu)化，搜尋在設(shè)計(jì)范圍內(nèi)的最低敏感度；依據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算原理，提取訓(xùn)練目標(biāo)函數(shù)，即

4）利用上一步的目標(biāo)函數(shù)值（即利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算得到的敏感度的最小值），反求設(shè)計(jì)變量，經(jīng)過主動(dòng)設(shè)計(jì)步驟，即可設(shè)計(jì)出滿足要求的低靈敏度弧齒錐齒輪副。

穩(wěn)健性齒面主動(dòng)設(shè)計(jì)流程框圖如圖5 所示。

圖5 算法流程框圖

5 數(shù)值算例

以一對(duì)航空附件傳動(dòng)弧齒錐齒輪為例，其基本參數(shù)如表1 所示，對(duì)應(yīng)的動(dòng)力與安裝誤差參數(shù)如表2所示。綜合考慮重合度以及實(shí)際加工中靈敏度的問題，對(duì)比不同2 階接觸參數(shù)下時(shí)的靈敏度矩陣與優(yōu)化后結(jié)果之間的差異：①傳統(tǒng)的弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)基于Gleason 齒制，其設(shè)計(jì)接觸路徑與根錐垂直，但是同時(shí)考慮算法的穩(wěn)定性，這里將2 階接觸參數(shù)置為75°；②高重合度設(shè)計(jì)的弧齒錐齒輪，重合度系數(shù)有所提高，弧齒錐齒輪的接觸跡線與根錐夾角較小，這里將2 階接觸參數(shù)置為45°；③穩(wěn)健性優(yōu)化后的弧齒錐齒輪。3 種工況下的2 階接觸參數(shù)如表3所示。

表1 弧齒錐齒輪輪齒基本參數(shù)

表2 動(dòng)力與安裝誤差參數(shù)

表3 優(yōu)化前后2 階接觸參數(shù)

3 種工況下的靈敏度矩陣分別為：

對(duì)比S1與S3可以看出，雖然這種設(shè)計(jì)弧齒錐齒輪的接觸跡線與根錐夾角較大，但是其靈敏度確相對(duì)較大，即穩(wěn)健性較低。

對(duì)比S2與S3可以看出，雖然高重合度設(shè)計(jì)弧齒錐齒輪的重合度有所增加，但是同時(shí)增大了弧齒錐齒輪齒面接觸印痕對(duì)于安裝誤差的靈敏程度。

基于全量誤差，計(jì)算得出相應(yīng)優(yōu)化前后弧齒錐齒輪副的齒面接觸印痕以及其相關(guān)特性參數(shù)，進(jìn)一步對(duì)于接觸印痕對(duì)于安裝誤差的靈敏度的對(duì)比，圖6～ 圖8 分別為全量誤差3 種工況的接觸印痕。

圖6 全量誤差下75°接觸印痕

圖7 全量誤差下45°接觸印痕

圖8 全量誤差下優(yōu)化后接觸印痕

根據(jù)接觸印痕的定性對(duì)比，在全量誤差的作用下，兩者的齒面接觸印痕均比較明顯的向齒輪大端移動(dòng)，明顯看出優(yōu)化前兩種參數(shù)下加工的弧齒錐齒輪齒面接觸印痕對(duì)于安裝誤差較為敏感。同時(shí)對(duì)于傳動(dòng)會(huì)產(chǎn)生不利的影響。對(duì)比優(yōu)化后的結(jié)果，在全量誤差的作用下，齒面接觸印痕沒有明顯的移動(dòng)狀態(tài)，效果較優(yōu)化前有較大的提升。根據(jù)上述對(duì)于齒面接觸印痕的量化，計(jì)算其印痕特征誤差量，對(duì)比優(yōu)化前后誤差變化情況，如圖9～ 圖11 所示。

圖9 75°下印痕特征參數(shù)誤差

圖10 45°下印痕特征參數(shù)誤差

圖11 優(yōu)化后印痕特征參數(shù)誤差

6 結(jié)論

1）對(duì)比優(yōu)化前后印痕特性參數(shù)誤差的變化，首先可以看出對(duì)于同一種安裝誤差，齒面接觸印痕特征參數(shù)的變化趨勢(shì)相同，其中變化量最大的是印痕中心的軸向坐標(biāo)，其次是印痕的面積，變化最小的是印痕的徑向坐標(biāo)以及印痕跡線方向，這與上述依據(jù)敏感度矩陣分析結(jié)果一致。

2）第一種2 階接觸參數(shù)下的最大變化量為 ?x=1.143 1 mm；第二種2 階接觸參數(shù)下的最大變化量為 ?x=1.105 4 mm；優(yōu)化后的二階接觸參數(shù)下的最大變化量為 ?x=0.539 1 mm。定量的可以得出印痕特性參數(shù)誤差的最大變化量，優(yōu)化后結(jié)果較優(yōu)化前有52%的降低，優(yōu)化效果較好，一定程度上提高了傳動(dòng)的平穩(wěn)性。

3）第一種2 階接觸參數(shù)下的次大變化量為 ?S=0.489 3 mm；第二種2 階接觸參數(shù)下的次大變化量為 ?S=0.327 5 mm；優(yōu)化后的二階接觸參數(shù)下的次大變化量為 ?S=0.103 4 mm。定量的可以得出印痕特性參數(shù)誤差的次大變化量，優(yōu)化后結(jié)果較優(yōu)化前有78.87%的降低，優(yōu)化效果較好。