數(shù)控內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒珩削力的預(yù)測(cè)

韓 江, 許孕博, 田曉青, 夏 鏈

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省智能數(shù)控技術(shù)及裝備工程實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230009)

齒輪在機(jī)械傳動(dòng)中是非常重要的基礎(chǔ)部件,廣泛應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域。隨著制造業(yè)的不斷發(fā)展,對(duì)齒輪傳動(dòng)零部件的精度、強(qiáng)度和噪聲都提出了更高的要求。內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒工藝加工后齒面具有較高的齒面質(zhì)量和殘余應(yīng)力,且在工件齒面產(chǎn)生一種“人”字形的特殊紋理,能夠降低齒輪傳動(dòng)過(guò)程中的噪聲,因此被廣泛地應(yīng)用在齒輪加工工藝過(guò)程中[1]。

相較于其他齒輪硬精加工工藝,珩齒加工過(guò)程中前道工序加工質(zhì)量的微小偏差,如幾何形狀偏差或表面硬度,對(duì)工藝系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響比蝸桿砂輪磨削和成型磨削更大。工藝系統(tǒng)不穩(wěn)定不僅會(huì)使被加工齒輪的質(zhì)量不合格,還會(huì)加劇珩磨輪磨損,甚至報(bào)廢。珩削力較高是珩齒工藝魯棒性較低的主要原因,由于在加工過(guò)程中被加工工件和珩磨輪之間的接觸條件不斷變化,珩削力在方向和大小上也不斷變化。這些不斷變化的珩削力會(huì)導(dǎo)致自激振動(dòng),而再生激勵(lì)的作用使其難以達(dá)到所要求的質(zhì)量[2]。文獻(xiàn)[3]通過(guò)珩磨實(shí)驗(yàn)證明,珩磨加工過(guò)程中珩削力是不斷變化的,且僅考慮平均珩削力對(duì)珩齒工藝系統(tǒng)的影響是不夠的。因此,建立珩削力的數(shù)學(xué)模型對(duì)工藝系統(tǒng)穩(wěn)定性?xún)?yōu)化、切削參數(shù)優(yōu)化、避免切削顫振具有重要意義。

文獻(xiàn)[4]將工件與刀具之間的可變接觸條件轉(zhuǎn)化為局部平穩(wěn)過(guò)程,將局部磨削過(guò)程類(lèi)比為外圓磨削,依據(jù)實(shí)驗(yàn)建立了經(jīng)驗(yàn)解析力模型,并通過(guò)數(shù)值仿真將局部力轉(zhuǎn)移到了整個(gè)珩齒中;文獻(xiàn)[5]通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析了進(jìn)給珩削方式對(duì)于珩削力的影響,認(rèn)為采用力控制法進(jìn)給方式有利于提高磨削質(zhì)量;文獻(xiàn)[6]研究了工件直徑對(duì)接觸條件的影響,分析了不同工件直徑下珩齒接觸線(xiàn)隨轉(zhuǎn)角的變化,推導(dǎo)出不同接觸比和不同嚙合狀態(tài)下產(chǎn)生的加工力引起的波動(dòng);文獻(xiàn)[7]通過(guò)有限元仿真過(guò)程得到了珩削區(qū)域的單位珩削力,并結(jié)合珩削數(shù)學(xué)模型,計(jì)算出單條接觸線(xiàn)上珩削力的大小;文獻(xiàn)[8]通過(guò)對(duì)滾齒切削過(guò)程的幾何仿真,基于微分離散的思想,將滾刀看作多個(gè)微小的切削刃的集合,構(gòu)建了滾齒的切削力模型。綜上所述,目前國(guó)內(nèi)外研究直接對(duì)珩削力進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的研究較少,大多是通過(guò)實(shí)驗(yàn)或仿真對(duì)珩削力進(jìn)行建模,對(duì)珩削力形成機(jī)理的研究較少。本文從珩齒加工機(jī)理出發(fā),結(jié)合珩齒加工嚙合過(guò)程,建立珩削力數(shù)學(xué)模型,對(duì)不同工藝參數(shù)加工下的珩削力進(jìn)行預(yù)測(cè)。

本文通過(guò)對(duì)珩齒嚙合運(yùn)動(dòng)分析,建立珩齒加工過(guò)程中的接觸線(xiàn)數(shù)學(xué)模型。將珩齒加工過(guò)程中的嚙合區(qū)域離散化,珩磨輪的離散為微元磨削刃,每個(gè)微元磨削刃上的磨削力通過(guò)投影的方式累加到珩磨輪上,建立珩齒珩削力預(yù)測(cè)模型;并在瑞士Daetwyler公司生產(chǎn)的型號(hào)為Fassler HMX-400數(shù)控內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒機(jī)上進(jìn)行珩削力測(cè)量實(shí)驗(yàn),以驗(yàn)證該珩削力預(yù)測(cè)模型的有效性。

1 內(nèi)嚙合珩齒接觸線(xiàn)和切削厚度建模

1.1 內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒加工原理

內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒是一種常見(jiàn)的齒輪精加工工藝,其加工過(guò)程中工件與內(nèi)齒珩輪以確定的傳動(dòng)比進(jìn)行強(qiáng)制嚙合運(yùn)動(dòng),形式上與交錯(cuò)軸斜齒輪嚙合運(yùn)動(dòng)相似,如圖1所示。

圖1 內(nèi)嚙合珩齒加工示意圖

工件表面金屬在強(qiáng)制嚙合過(guò)程中,與內(nèi)齒珩輪表面的磨粒產(chǎn)生相互擠壓、滑移,被磨掉一層極薄的金屬,并通過(guò)徑向和軸向進(jìn)給完成整個(gè)齒面加工。加工過(guò)程機(jī)床的運(yùn)動(dòng)主要有工件齒輪軸C1和珩磨輪軸C2強(qiáng)制嚙合運(yùn)動(dòng)、徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)、珩磨輪沿軸向的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

1.2 齒面接觸線(xiàn)數(shù)學(xué)模型

為建立珩削力預(yù)測(cè)模型,需要先對(duì)珩削力嚙合過(guò)程進(jìn)行分析。首先建立珩削接觸線(xiàn)模型,根據(jù)珩齒加工工藝中珩磨輪與工件之間的位置關(guān)系建立珩齒空間坐標(biāo)系,如圖2所示。

圖2 珩齒空間坐標(biāo)系

坐標(biāo)系Og-xgygzg為工件齒輪固定坐標(biāo)系,是工件初始位置處對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系;O1-x1y1z1為工件齒輪運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系,跟隨工件繞工件軸同步轉(zhuǎn)動(dòng);Oh-xhyhzh為珩磨輪固定坐標(biāo)系,與珩磨輪初始位置處對(duì)應(yīng);O2-x2y2z2為珩磨輪運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系,跟隨珩磨輪繞珩磨輪軸同步轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖2中:ahg為珩磨輪與工件之間的中心距;φ1、φ2分別為工件和珩磨輪的轉(zhuǎn)角;Σ為珩磨輪軸與工件軸之間的夾角。Σ的計(jì)算公式為:

Σ=β2-β1

(1)

其中:β1為工件螺旋角;β2為珩磨輪螺旋角。

珩齒加工工藝中,被加工齒面一般為標(biāo)準(zhǔn)螺旋漸開(kāi)面,齒面方程在工件運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系(O1-x1y1z1)下的表達(dá)式為:

(2)

其中:rb1為基圓半徑;σ0為漸開(kāi)線(xiàn)起始角度;λ為漸開(kāi)線(xiàn)展開(kāi)角度;θ為漸開(kāi)線(xiàn)旋轉(zhuǎn)角;p為螺旋線(xiàn)的螺旋參數(shù)。

在工件齒輪與內(nèi)齒珩磨輪的嚙合接觸過(guò)程中,根據(jù)齒輪嚙合原理[9],2個(gè)齒面共軛接觸過(guò)程中在嚙合接觸點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度在兩曲面的公法線(xiàn)方向的分量為0。因此,內(nèi)齒珩輪齒面與工件齒面在嚙合點(diǎn)處應(yīng)滿(mǎn)足的條件為:

v12×n=0

(3)

其中:v12為任意接觸點(diǎn)處工件齒面與內(nèi)齒珩輪相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度;n為工件齒面在接觸點(diǎn)上的法向量。

工件齒輪與珩磨輪分別繞其轉(zhuǎn)動(dòng)軸z1、z2以角速度ω1、ω2轉(zhuǎn)動(dòng),根據(jù)圖2所示坐標(biāo)系,可以推出在工件固定坐標(biāo)系中,任意嚙合點(diǎn)處相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度[10]為:

(4)

由(2)式可得,齒面上任一點(diǎn)處工件齒面的法向量在工件運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中(O1-x1y1z1)中可表示為:

(5)

其中,r1為齒面上任一點(diǎn)的位置矢量。將相對(duì)速度方程(4)和齒面法向量方程(5)代入(3)式中,化簡(jiǎn)并整理得到珩齒共軛嚙合條件為:

(pcosΣ-asinΣ-i12p)rb1=0

(6)

(6)式含有θ、λ、φ13個(gè)變量,可簡(jiǎn)記為:

f(θ,λ,φ1)=0

(7)

在任意轉(zhuǎn)角φ1處,工件齒面與珩磨輪齒面上保持共軛的接觸點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足(7)式所示共軛嚙合條件,則齒面方程(2)與共軛嚙合條件(7)式聯(lián)立可以得到工件齒面上的接觸線(xiàn)方程,即

(8)

對(duì)任意轉(zhuǎn)角φ1,求解方程(8)即可得到另外2個(gè)參數(shù)θ、λ。通過(guò)求解發(fā)現(xiàn),在給定轉(zhuǎn)角φ1處有一組θ、λ,即珩齒加工過(guò)程中的接觸線(xiàn)。

在工件運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系(O1-x1y1z1)下,工件齒輪上各齒面可以看作由基礎(chǔ)齒面旋轉(zhuǎn)得到,因此相鄰齒面的變換矩陣由圖2所示坐標(biāo)系可得,即

(9)

其中,φ0為齒輪的齒距角,即端面齒距所對(duì)應(yīng)的圓心角。由于珩齒加工過(guò)程中重疊系數(shù)一般大于2,即存在多對(duì)齒輪同時(shí)嚙合,由嚙合運(yùn)動(dòng)過(guò)程可知,前一個(gè)齒輪的接觸與后一個(gè)齒輪接觸狀態(tài)相同,僅有一個(gè)齒距角的相位差,即

ri-1(φ)=MO1ri(φ-φ0)

vi-1(φ)=MO1vi(φ-φ0)

ni-1(φ)=MO1ni(φ-φ0)

(10)

其中:ri為當(dāng)前齒的接觸線(xiàn)矢量坐標(biāo);ri-1為后一個(gè)齒的接觸線(xiàn)矢量;vi、vi-1為前、后齒面接觸點(diǎn)的相對(duì)速度;ni、ni-1為前、后齒面接觸點(diǎn)法向量。

聯(lián)立(8)～(10)式求解可以得到珩齒過(guò)程中同時(shí)嚙合的接觸線(xiàn)分布,如圖3所示。圖3中標(biāo)號(hào)1～標(biāo)號(hào)4為左齒面接觸線(xiàn),標(biāo)號(hào)5～標(biāo)號(hào)7為右齒面接觸線(xiàn)。

圖3 齒面嚙合接觸線(xiàn)分布

1.3 珩磨過(guò)程中切削厚度計(jì)算

在珩齒實(shí)際加工過(guò)程中,珩磨輪做徑向進(jìn)給時(shí),進(jìn)給方向?yàn)殓衲ポ喒潭ㄗ鴺?biāo)系(Oh-xhyhzh)的xh軸正向,而工件不做移動(dòng),為方便計(jì)算將其等效為珩磨輪不做移動(dòng)而工件沿工件固定坐標(biāo)系(Og-xgygzg)的xg軸正向進(jìn)給。由1.2節(jié)可知,珩齒加工過(guò)程中嚙合線(xiàn)上的各點(diǎn)在齒面上的不同位置處,因此各點(diǎn)處的切削厚度是不同的。

xg方向進(jìn)給量fx和端截面法向進(jìn)給量f1示意圖如圖4所示。

圖4 xg向進(jìn)給量fx和端截面法向進(jìn)給量f1示意圖

由圖4可知,在某一接觸點(diǎn)C處,沿xg軸正向的進(jìn)給量fx與端截面法向的進(jìn)給量f1之間的關(guān)系為:

f1=fxcosα

(11)

其中,α為漸開(kāi)線(xiàn)起始角σ0與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線(xiàn)展角λ之和的余角,即

α=π/2-ξ=π/2-(λ+σ0)

(12)

因?yàn)楣ぜ顽衲ポ喚鶠閺椥泽w,所以端截面法向進(jìn)給量f1并不是實(shí)際的切削厚度。在接觸點(diǎn)處將工件與珩磨輪簡(jiǎn)化為串聯(lián)的彈簧模型,以工件在接觸位置的形變量作為實(shí)際切削厚度f(wàn)1′,如圖5所示。

圖5 工件和珩磨輪的端面接觸

由圖5可知,接觸點(diǎn)C處的實(shí)際切削厚度f(wàn)1′可表示為:

(13)

其中,EH、EW分別為工件和珩磨輪的彈性模量。

2 珩削力預(yù)測(cè)模型

2.1 平面磨削力模型

珩齒珩削過(guò)程本質(zhì)上就是珩磨輪上的磨粒與工件之間發(fā)生的磨削過(guò)程,因此在建立珩削力預(yù)測(cè)模型之前,需要先建立磨削力模型。以往學(xué)者們所提出的磨削力模型大多忽略了犁耕和變摩擦系數(shù)的影響,認(rèn)為犁耕的影響與切屑形成力相比非常小。但珩齒加工過(guò)程中進(jìn)給量較小,因此犁耕力的影響必須要考慮進(jìn)去。

本文采用文獻(xiàn)[11]建立的Werner磨削力模型,以此模型為基礎(chǔ)建立一種新的磨削力模型。該模型考慮了犁耕力和變摩擦系數(shù)的影響,其單位長(zhǎng)度磨削力公式[11]為:

(14)

(15)

其中:Fn′為單位長(zhǎng)度法線(xiàn)磨削力;Ft′為單位長(zhǎng)度切線(xiàn)磨削力;K、K′、K1、K2、K3、K4、K5、Cs為磨削參數(shù),與工件和砂輪的性質(zhì)有關(guān);Vw為進(jìn)給速度;Vc為磨削相對(duì)速度;a為磨削深度;de為砂輪當(dāng)量直徑;a0、b0、c0為犁耕力模型常數(shù)。

2.2 珩削力離散化建模

因?yàn)殓颀X加工切削過(guò)程比較復(fù)雜,無(wú)法通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方式直接對(duì)珩削力進(jìn)行求解,所以本文采用2.1節(jié)中介紹的文獻(xiàn)[11]中建立的磨削力模型,將珩齒接觸過(guò)程看作多個(gè)平面磨削過(guò)程的集合。珩磨過(guò)程離散示意圖如圖6所示,將接觸線(xiàn)離散成一系列的微元切削刃,每個(gè)微元磨削刃的磨削視為單獨(dú)的平面磨削過(guò)程,則每個(gè)微元所受到的珩削力與單位長(zhǎng)度的磨削力公式為:

dFn(k,i)=Fn′dl

(16)

dFt(k,i)=Ft′dl

(17)

其中:dFn(k,i)、dFt(k,i)分別為珩磨輪第k個(gè)齒的磨削刃上第i個(gè)微元磨削刃的法向和切線(xiàn)磨削力;Fn′為該微元磨削刃單位長(zhǎng)度法向磨削力大小,由(14)式求得;Ft′為微元磨削刃單位長(zhǎng)度切向磨削力大小,由(15)式求得;dl為該微元磨削刃的長(zhǎng)度。

珩磨過(guò)程離散示意圖如圖6所示。每個(gè)微元磨削力的方向不相同,這與參與磨削的微元磨削刃的位置有關(guān),微元磨削刃受到的法向力沿著該離散線(xiàn)段的法向量方向,微元磨削刃的切向力沿著工件和珩磨輪的相對(duì)速度方向。因此可以將微元磨削力分解到珩磨輪固定坐標(biāo)系中,即

dF(k,i)=(Fn′dl)ni+(Ft′dl)v12i

(18)

其中,ni、v12i分別為微元磨削刃的法向量和相對(duì)速度單位矢量,可由(10)式求出。

將珩齒加工過(guò)程中的接觸線(xiàn)離散成許多的微小切削刃,在每個(gè)切削刃上其相對(duì)速度(由(10)式可得)、進(jìn)給速度(z軸的軸向往復(fù)速度)、等效砂輪直徑(齒面上的曲率半徑)和切削厚度(由(13)式求得)看作是不變的,將每個(gè)離散線(xiàn)段處的等效磨削參數(shù)代入到(16)、(17)式中,即可求出該微元磨削刃上的單位長(zhǎng)度磨削力。沿著接觸線(xiàn)對(duì)每個(gè)微元上的磨削力按照(18)式所示分解并累加求和,求出該接觸線(xiàn)上產(chǎn)生的珩削力,將m個(gè)參與磨削的珩磨磨削刃進(jìn)行累加求和,可以得到整個(gè)珩磨輪在工件固定坐標(biāo)系下的珩削力,即整個(gè)珩磨輪所受的珩削力的矢量可表示為:

(19)

3 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真與實(shí)驗(yàn)參數(shù)

為驗(yàn)證所建立的珩齒珩削力模型的有效性,本文進(jìn)行了相關(guān)的數(shù)值計(jì)算和珩削實(shí)驗(yàn)。數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)所采用的珩磨輪和工件齒輪的幾何參數(shù)以及切削參數(shù)見(jiàn)表1所列。其中:z1、z2分別為工件齒輪和珩磨輪齒數(shù);m1、m2分別為工件齒輪和珩磨輪模數(shù);αn1、αn2分別為工件齒輪和珩磨輪法向壓力角;β2、β2分別為工件齒輪和珩磨輪螺旋角;b1、b2分別為工件齒輪和珩磨輪齒寬;EW、EH分別為工件齒輪和珩磨輪彈性模量。

表1 加工工件珩磨輪相關(guān)參數(shù)

3.2 珩削力實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文采用瑞士Daetwyler公司生產(chǎn)的Fassler HMX-400數(shù)控內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒機(jī)進(jìn)行珩削力測(cè)量實(shí)驗(yàn)。測(cè)力裝置是珩齒機(jī)床內(nèi)部自帶的Kistler力傳感器,無(wú)需外加傳感器,珩齒加工過(guò)程中的徑向力(即x方向珩削力)可由機(jī)床面板直接讀出。Fassler HMX-400主要技術(shù)性能參數(shù)和加工范圍參見(jiàn)表2所列。實(shí)驗(yàn)加工現(xiàn)場(chǎng)圖如圖7所示。

表2 Fassler HMX-400主要技術(shù)性能

圖7 Fassler HMX-400 數(shù)控珩齒機(jī)現(xiàn)場(chǎng)加工圖

3.3 結(jié)果分析

按照上述珩削力預(yù)測(cè)模型和實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行分析和實(shí)驗(yàn)。在珩齒加工工藝中,主軸轉(zhuǎn)速n2、珩輪徑向進(jìn)給量fx是影響珩削力的主要工藝參數(shù),實(shí)驗(yàn)選取n2、fx為實(shí)驗(yàn)變量,珩磨輪的軸向往復(fù)速度保持不變,取為60 mm/min。

為了便于分析,取珩齒加工過(guò)程中一個(gè)周期的徑向珩削力的均方值作為分析對(duì)象,將珩削力的模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 珩削力與轉(zhuǎn)速關(guān)系

圖9 珩削力與進(jìn)給量關(guān)系

從圖8、圖9可以看出,珩削力的模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值在數(shù)值和隨工藝參數(shù)的變化趨勢(shì)上基本一致。隨著進(jìn)給量的增大,x向珩削力線(xiàn)性增加;隨著轉(zhuǎn)速的增大,珩削力不斷減少,與轉(zhuǎn)速大致成反比例趨勢(shì)。

由圖8可知,當(dāng)其他工藝參數(shù)一致時(shí),隨著工件徑向進(jìn)給量fx的增加,徑向珩削力預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值之間的誤差逐漸增大。這主要是由于隨著進(jìn)給量的變化,珩磨輪和工件齒輪的材料性質(zhì)發(fā)生變化,使得彈性模量發(fā)生改變,導(dǎo)致變化規(guī)律不能線(xiàn)性表達(dá)。

由圖9可知,當(dāng)其他工藝參數(shù)一致時(shí),隨著工件軸轉(zhuǎn)速的增加,模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的偏差基本不變。這說(shuō)明該預(yù)測(cè)模型對(duì)工件轉(zhuǎn)速的建模較為準(zhǔn)確。

由圖8b、圖9可知,模型預(yù)測(cè)值較實(shí)驗(yàn)值偏大。這主要是由于徑向進(jìn)給量增大后,實(shí)際切削厚度比模型預(yù)測(cè)值大,使得整體模型預(yù)測(cè)值偏大。

總體來(lái)看,珩削力實(shí)驗(yàn)值與模型預(yù)測(cè)值吻合良好,證明了本文珩削力預(yù)測(cè)模型的有效性與準(zhǔn)確性。

4 結(jié) 論

(1) 本文通過(guò)對(duì)內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒加工過(guò)程的分析,基于珩齒加工共軛嚙合條件推導(dǎo)了珩齒加工接觸線(xiàn)方程和珩磨的切削厚度模型,建立了珩齒加工過(guò)程中的接觸幾何模型。

(2) 基于文獻(xiàn)[11]建立平面磨削模型,將珩齒加工過(guò)程離散為多個(gè)平面磨削過(guò)程的集合,珩磨輪的磨削刃離散為微元磨削刃,每個(gè)微元磨削刃上的磨削力通過(guò)投影的方式累加到珩磨輪上,從而推導(dǎo)出珩齒珩削力預(yù)測(cè)模型。

(3) 通過(guò)Fassler HMX-400數(shù)控內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒機(jī)及其內(nèi)置的Kistler力傳感器對(duì)不同工件轉(zhuǎn)速和進(jìn)給量下的珩削力進(jìn)行測(cè)量,并與本文仿真模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的預(yù)測(cè)模型能夠很好地?cái)M合珩齒加工過(guò)程中的珩削力及其隨加工參數(shù)的變化規(guī)律。