二五混水平U型設(shè)計(jì)的Lee偏差下界

李偉，汪政紅

（中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074）

均勻設(shè)計(jì)［1］是一種重要的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)，它能使試驗(yàn)周期大大縮短從而節(jié)省大量的費(fèi)用.在均勻設(shè)計(jì)的發(fā)展史上，不同的偏差被相繼提出，其中最早使用的是星偏差［1］，隨后HICKERNELL提出了Lp-星偏差［2-3］，廣泛用于度量連續(xù)型因子設(shè)計(jì)的均勻性，QIN和FANG基于Hamming距離提出了離散偏差［4］，用于度量類別型因子設(shè)計(jì)的均勻性，ZHOU基于Lee距離提出了Lee偏差［5］.Lee偏差具有優(yōu)良的性質(zhì)，克服了離散偏差中使用Hamming距離僅能判斷兩個(gè)因子的取值是否相等的弱點(diǎn).

偏差的下界一直是人們關(guān)心的問(wèn)題，在使用門(mén)限接受法搜索近似均勻設(shè)計(jì)時(shí)，下界起著關(guān)鍵作用，因此許多文獻(xiàn)都在研究各種設(shè)計(jì)的各種偏差的下界. 眾所周知，在Lee偏差的表達(dá)式中，二三水平因子取不同水平時(shí)的表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單，因此此類研究也較多，如文獻(xiàn)［6-8］，而對(duì)三水平以上的因子設(shè)計(jì)的研究，尤其是既有偶數(shù)水平因子又有奇數(shù)水平因子的研究較少.本文試圖以二五混水平U型設(shè)計(jì)為例，研究Lee偏差的較高水平下的混水平設(shè)計(jì)的下界問(wèn)題.

1 基本概念及符號(hào)介紹

設(shè)U(n；q1q2…qm)表示具有n次試驗(yàn)，m個(gè)因子的U型設(shè)計(jì)，第i個(gè)因子具有qi個(gè)水平，且qi個(gè)不同水平在每列出現(xiàn)的次數(shù)相同，i=1，2，…，m.令U(n；q1q2…qm)為全體該類設(shè)計(jì)構(gòu)成的集合.任意一個(gè)設(shè)計(jì)d∈U(n；q1q2…qm)用矩陣X=(xik)n×m表示，對(duì)于第i列中的元素，取自集合｛0，1，…，qi-1｝.若某些qi相同，記該設(shè)計(jì)類為其中有關(guān)系式m1+m2+…+mt=m；若全部qi都相同，即q1=q2=…=qm=q時(shí)，該設(shè)計(jì)為對(duì)稱U型設(shè)計(jì)，并記該設(shè)計(jì)類為U(n；qm).

2 主要結(jié)果

首先定義以下符號(hào)，#｛A｝表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，

根據(jù)U型設(shè)計(jì)的定義，結(jié)合文獻(xiàn)［4］中的Lemma1，容易得到如下結(jié)論.

將（2）式進(jìn)行變形，改寫(xiě)成僅含有參數(shù)φij，τij，αij的形式，有以下結(jié)論.

證畢.

文獻(xiàn)［5］利用FANG［9］一文中的方法對(duì)任意混水平U型設(shè)計(jì)給出了Lee偏差的下界（見(jiàn)文中Theorem 4），將這一下界應(yīng)用到設(shè)計(jì)中，有如下引理2.

引理2 對(duì)任意設(shè)計(jì)有[LD(d)]2≥LB1(d)，其中：

證明根據(jù)定理1和泰勒展式，有：

利用受控理論中的Schur凸函數(shù)不等式，有：

證畢.

引理2和定理2中的下界雖然采用不同的方法得到，但引理2和定理2中使用的核心不等式均為受控理論中的Schur凸函數(shù)不等式，因此二者區(qū)別很小.這兩個(gè)下界均只與n，m1，m2有關(guān)，取n=10·i，i=1，2，…，10，m1=1，2，…，50，m2=1，2，…，50，共有25000種情況，發(fā)現(xiàn)在23734種情況下，LB1(d)=LB2(d)，即95%的概率下，二者是相同的.

HU［11］將CHATTERJEE中的Lemma 2做了進(jìn)一步推廣，給出了一個(gè)新的引理（詳見(jiàn)文獻(xiàn)［11］中Lemma 4），并結(jié)合設(shè)計(jì)本身不同行的相遇數(shù)，給出了二、三、四混水平U型設(shè)計(jì)的Lee偏差下界.本文使用這一新方法，對(duì)二五混水平U型設(shè)計(jì)的Lee偏差下界進(jìn)行推導(dǎo). 首先將HU文中的Lemma 4推廣為如下引理3.

引理3 設(shè){x1，x2，…，xn}，{y1，y2，…，yn}和{z1，z2，…，zn}是三組非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足定義si=axi+byi+czi，i=1，2，…，n，d=ac1+bc2+cc3，其中a＞0，b＞0，c＞0.令s(1)，s(2)，...，s(l)表示s1，s2，…，sn中所有不同元素的升序排列，k是滿足s(k)≤d/n＜s(k+1)的最大整數(shù)，則對(duì)于任意正整數(shù)t，有：

其中p，q為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足p+q=n，ps(k)+qs(k+1)=d.

結(jié)合引理3和定理1，得到如下定理3.

證畢.

定理3給出的下界LB3(d)不僅與n，m1，m2有關(guān)，且與當(dāng)前設(shè)計(jì)的相遇數(shù)有關(guān)，推測(cè)應(yīng)比引理2中的LB1(d)和定理2中的LB2(d)更精確，后文的數(shù)值案例可以驗(yàn)證這一觀點(diǎn)是正確的.

推論1 對(duì)任意設(shè)計(jì)d∈U(n；qm)，

（1）當(dāng)q=2時(shí)，有：

3 數(shù)值案例

將設(shè)計(jì)d的效率記為Eff(d)，Eff(d)可表示為L(zhǎng)B(d)/[LD(d)]2，再通過(guò)Eff(d)的值對(duì)設(shè)計(jì)d的優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)判.

例1 考慮以下4個(gè)設(shè)計(jì)：d1∈U(10；2555)，d2∈U(10；21055)，d3∈U(10；25510)，d4∈U(10；21255)，其中，n=10，m1分別為5，10，5，12；m2分別為5，5，10，5.設(shè)計(jì)矩陣見(jiàn)表1，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2.

表1 設(shè)計(jì)d1-d4Tab.1 Design d1 to d4

表2 d1-d4的Lee偏差平方，下界及效率值Tab.2 Values of squared Lee discrepancy， lower bounds and efficiency for d1 to d4

由表2可知，設(shè)計(jì)d1，d2，d3，d4的效率Eff(d)都近似等于1，故它們都是近似均勻設(shè)計(jì).注意到，對(duì)這4個(gè)設(shè)計(jì)而言，都有LB1(d)=LB2(d)＜LB3(d)，可見(jiàn)定理3給出的下界優(yōu)于引理2和定理2給出的下界.顯然，綜合下界LB(d)是最優(yōu)的.

例2 當(dāng)m1或m2等于0時(shí)，即d∈U(n；2m)或d∈U(n；5m)，考慮設(shè)計(jì)d5∈U(4；26)，d6∈U(5；55)，設(shè)計(jì)矩陣見(jiàn)表3，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4.

表3 設(shè)計(jì)d5-d6Tab.3 Design d5 to d6

表4 d5-d6的Lee偏差平方、下界及效率值Tab.4 Values of squared Lee discrepancy， lower bounds and efficiency for d5 to d6

由表4可知，按照本文定理4中給出的最新下界，Eff(d5)=Eff(d6)=1，故d5和d6分別為L(zhǎng)ee偏差下的二水平和五水平均勻設(shè)計(jì).注意到，LB1(d5)=LB2(d5)=LB3(d5)，LB1(d6)=LB2(d6)＜LB3(d6)，可見(jiàn)，本文給出的下界是緊的，且定理3給出的下界優(yōu)于引理2和定理2給出的下界.顯然，綜合下界LB(d)是最優(yōu)的.