能量?jī)?yōu)化分配再入軌跡快速規(guī)劃方法

薛光偉,辛萬(wàn)青,傅 瑜

(1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076;2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院,北京 100076)

升力式再入飛行器是一種由火箭發(fā)動(dòng)機(jī)助推到一定高度、速度后,利用氣動(dòng)升力在大氣層內(nèi)進(jìn)行遠(yuǎn)距離無(wú)動(dòng)力飛行的新型飛行器,具有速度快、機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)、飛行距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn),受到各國(guó)的廣泛關(guān)注。飛行器在再入過(guò)程中面臨著諸多干擾,包括參數(shù)和環(huán)境的不確定性、可能存在的敵對(duì)攔截,需要不斷進(jìn)行軌跡調(diào)整,甚至是博弈對(duì)抗。因此,為了提高飛行器應(yīng)對(duì)干擾攔截的能力、減小能量消耗,合理規(guī)劃飛行器能量沿再入軌跡的分布具有重要意義。

升力體再入軌跡規(guī)劃最早起源于航天飛機(jī)的再入制導(dǎo)問(wèn)題。HARPOLD等[1]在1979年詳細(xì)介紹了航天飛機(jī)的軌跡規(guī)劃方法,首先基于熱防護(hù)需求確定攻角-速度剖面,然后將過(guò)載、熱流等約束轉(zhuǎn)化為阻力加速度-速度(D-E)剖面上的再入走廊,在走廊內(nèi)進(jìn)行軌跡規(guī)劃。這種規(guī)劃方法被后續(xù)許多學(xué)者進(jìn)一步繼承和發(fā)展。文獻(xiàn)[2]在D-E剖面內(nèi)通過(guò)再入走廊的上下邊界插值得到軌跡,通過(guò)調(diào)節(jié)插值系數(shù)和傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)位置滿(mǎn)足射程和航向約束。文獻(xiàn)[3]直接在高度-速度(H-V)剖面內(nèi)進(jìn)行規(guī)劃,考慮了飛行路徑角的變化,獲得了更加準(zhǔn)確和直觀的軌跡。文獻(xiàn)[4]通過(guò)譜分解把能量變化曲線(xiàn)擬合為二次多項(xiàng)式,推導(dǎo)得到模型解析解,進(jìn)而通過(guò)規(guī)劃傾側(cè)角幅值和翻轉(zhuǎn)時(shí)機(jī)滿(mǎn)足縱向約束與橫側(cè)向約束。上述方法都需要預(yù)先確定攻角剖面,采取可以解析計(jì)算的曲線(xiàn)形式,曲線(xiàn)參數(shù)根據(jù)飛行熱流約束確定。

文獻(xiàn)[5]基于準(zhǔn)平衡滑翔條件,推導(dǎo)了以航程為自變量的解析公式,通過(guò)滑翔起、終點(diǎn)約束條件和禁飛區(qū)分布,直接求解攻角傾側(cè)角曲線(xiàn)。文獻(xiàn)[6]假設(shè)高度隨能量線(xiàn)性變化,將D-E剖面軌跡設(shè)計(jì)為二次函數(shù),將軌跡約束轉(zhuǎn)化為攻角約束,在約束范圍內(nèi)通過(guò)調(diào)節(jié)攻角擴(kuò)大再入走廊的范圍。文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)了射程、高度和速度的解析公式,通過(guò)調(diào)整平衡滑翔的高度滿(mǎn)足末端速度需求。文獻(xiàn)[5-7]提出的規(guī)劃方法中,攻角剖面的設(shè)計(jì)更加靈活,但面臨從再入起點(diǎn)開(kāi)始就在為滿(mǎn)足末端約束而調(diào)整軌跡的問(wèn)題。當(dāng)目標(biāo)射程小于最大可達(dá)射程時(shí),多余的能量將分散在再入全程消耗,當(dāng)飛行器遇到未知干擾攔截時(shí),前期消耗的能量將會(huì)降低其調(diào)節(jié)能力。

文獻(xiàn)[8]基于最優(yōu)化理論和簡(jiǎn)化模型,推導(dǎo)了存在禁飛區(qū)情況下耗能最小的飛行軌跡。文獻(xiàn)[9]針對(duì)升力飛行器全程軌跡優(yōu)化問(wèn)題提出了多種規(guī)劃方法。文獻(xiàn)[8-9]中的軌跡能量?jī)?yōu)化以飛行過(guò)程能耗最小、終點(diǎn)速度最大為優(yōu)化目標(biāo),不適用于處理終點(diǎn)速度給定下的能量?jī)?yōu)化分配問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]研究了存在終點(diǎn)速度約束時(shí)的機(jī)動(dòng)軌跡規(guī)劃問(wèn)題,通過(guò)對(duì)經(jīng)由點(diǎn)位置和速度進(jìn)行搜索規(guī)劃,優(yōu)化了軌跡前后段的能量分配。這種方法通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)飛行器的機(jī)動(dòng)能力進(jìn)行預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度取決于樣本庫(kù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效果。

近年來(lái),越來(lái)越多的學(xué)者嘗試將軌跡規(guī)劃轉(zhuǎn)化為軌跡優(yōu)化問(wèn)題,通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[11]將軌跡分段,利用分段高斯偽譜法對(duì)軌跡規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[12]利用偽譜法將軌跡規(guī)劃離散為NLP問(wèn)題后,通過(guò)無(wú)損凸化技術(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題,提高了求解效率。文獻(xiàn)[13]針對(duì)二維平面內(nèi)的簡(jiǎn)化模型,通過(guò)引入指數(shù)衰減的信賴(lài)域?qū)挾群蛻土P系數(shù)上界,改進(jìn)了基于偽譜凸優(yōu)化的彈道規(guī)劃算法的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)了高度和剩余射程的函數(shù)關(guān)系式,將軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)為在特定剩余射程處的高度設(shè)計(jì)問(wèn)題,基于改進(jìn)的粒子群算法設(shè)計(jì)了一種協(xié)同軌跡的快速規(guī)劃方法。這些數(shù)值方法通過(guò)合理設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo),能夠得到滿(mǎn)足特定性能需求的軌跡,但針對(duì)飛行器復(fù)雜的非線(xiàn)性模型時(shí),求解算法的穩(wěn)定性和快速性仍存在一定問(wèn)題。

為提高飛行器應(yīng)對(duì)未知干擾攔截的能力,本文提出了一種能量?jī)?yōu)化分配軌跡(Energy Allocation Optimized Trajectory,EAOT),將EAOT分為三段:初始下降段、能量最優(yōu)段和能量管理段。EAOT與現(xiàn)有文獻(xiàn)中的軌跡的主要區(qū)別在于,不再把多余能量分散消耗到飛行全程,而是集中在飛行后期的能量管理段,從而使能量最優(yōu)段具有盡可能多的能量應(yīng)對(duì)干擾。本文設(shè)計(jì)了初始下降段、能量最優(yōu)段的規(guī)劃方法,推導(dǎo)了能量管理段最短射程解析計(jì)算公式,在此基礎(chǔ)上提出了一種迭代算法,用于求解能量最優(yōu)段與能量管理段的平滑切換位置。最后,構(gòu)建了EAOT一體化生成方法,并通過(guò)仿真分析驗(yàn)證了EAOT對(duì)于干擾攔截的適應(yīng)性,以及所設(shè)計(jì)規(guī)劃算法的有效性和快速性。

1 再入模型與軌跡分段

1.1 再入數(shù)學(xué)模型

考慮地球偏心率和自轉(zhuǎn)的影響,建立飛行器再入數(shù)學(xué)模型如下:

(1)

式中:V為相對(duì)大地的速度,γ為飛行路徑角,ψ為航向角,r為從地心到飛行器質(zhì)心的距離,θ為經(jīng)度,φ為地心緯度;m為飛行器質(zhì)量,gr為引力加速度沿地心矢徑方向的分量,gωe為引力加速度沿地球自轉(zhuǎn)角速度方向的分量,ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度,D為氣動(dòng)阻力,L為氣動(dòng)升力,σ為傾側(cè)角。

氣動(dòng)阻力和升力的計(jì)算公式如下:

(2)

式中:Aref為飛行器參考面積;Cd、Cl分別為氣動(dòng)阻力系數(shù)和氣動(dòng)升力系數(shù);ρ為大氣密度,可采用指數(shù)函數(shù)形式進(jìn)行近似計(jì)算:

ρ=ρ0exp(-H/HC)

(3)

式中:ρ0為海平面大氣密度常數(shù),H為飛行器海拔高度,HC為標(biāo)準(zhǔn)高度。

1.2 軌跡分段設(shè)計(jì)

再入軌跡從再入點(diǎn)開(kāi)始,到下壓段為止。本文提出的EAOT將再入軌跡分為初始下降段(Initial Descent Phase,IDP)、能量最優(yōu)滑翔段(Energy Optimal Phase,EOP)和能量管理段(Energy Manage Phase,EMP),如圖1所示。AB段為IDP,飛行器在這一段從再入起始狀態(tài)平穩(wěn)過(guò)渡到滑翔飛行狀態(tài);BC段為EOP,飛行器在該段按照能量最優(yōu)軌跡飛行,使得遇到未知干擾攔截時(shí),擁有更多能量用于調(diào)整軌跡;CD段為EMP,飛行器在該段需消耗多余的能量,調(diào)整狀態(tài)至滿(mǎn)足再入終點(diǎn)的射程、高度、速度及航向角約束。

圖1 能量?jī)?yōu)化分配軌跡分段示意圖Fig.1 Phases of energy allocation optimized trajectory

在IDP階段,飛行高度較高,大氣密度小,控制力較弱,因此采用固定攻角和零傾側(cè)角飛行模式。同時(shí)為了盡快拉平軌跡,為后續(xù)飛行創(chuàng)造較好的條件,采用最大攻角飛行。

飛行器在EOP段按照能量最優(yōu)軌跡飛行。由文獻(xiàn)[15]可知,當(dāng)初、末能量確定時(shí),飛行器平衡滑翔射程主要取決于飛行過(guò)程中的升阻比,升阻比越大,射程越遠(yuǎn)。飛行器的能量在飛行過(guò)程中單調(diào)遞減,射程最遠(yuǎn)代表飛行過(guò)程中能量消耗最慢,最大升阻比對(duì)應(yīng)的軌跡為能量最優(yōu)軌跡。因此,EOP以最大升阻比攻角飛行。

EMP是再入軌跡的最后一個(gè)階段,其任務(wù)是調(diào)整飛行器的能量,使其滿(mǎn)足再入段到下壓段的交班條件,主要包括射程、高度、速度和航向角等方面的約束。為實(shí)現(xiàn)能量的優(yōu)化分配,EOP射程應(yīng)盡可能長(zhǎng),EMP需在最短的航程內(nèi)完成能量耗散。因此,EAOT規(guī)劃的核心是確定EOP和EMP的切換位置。

1.3 能量管理段射程解析解

為使EOP射程最長(zhǎng),EMP射程需取最小值。EMP最小射程的實(shí)質(zhì)是在起、終點(diǎn)的高度和速度給定的條件下,飛行器采用平衡滑翔方式所能實(shí)現(xiàn)的最小射程。

為了分析EMP的射程,對(duì)式(1)所示的再入模型進(jìn)行一定簡(jiǎn)化。EMP射程較短,可近似忽略地球偏心率和自轉(zhuǎn)?？紤]到無(wú)動(dòng)力飛行的過(guò)程中,飛行器的能量單調(diào)遞減,且直觀反映了飛行器的飛行能力,選擇能量作為自變量。以無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn),定義飛行器單位質(zhì)量的能量E:

(4)

式中:μ為地球引力常數(shù)。

將能量對(duì)時(shí)間微分,可得:

(5)

將式(5)代入式(1),忽略地球偏心率和自轉(zhuǎn)的影響,得到以能量為自變量的飛行器模型:

(6)

式中:g為不考慮地球偏心率的地球引力加速度。

飛行器的軌跡長(zhǎng)度微元dS可分解在極坐標(biāo)系的三個(gè)方向上,并存在如下關(guān)系:

(7)

將式(6)代入式(7),可化簡(jiǎn)得到軌跡長(zhǎng)度相對(duì)于能量的微分:

(8)

假設(shè)EMP起點(diǎn)處的能量為E1,速度為V1,高度為H1;終點(diǎn)處能量為E2,速度為V2,高度為H2。則EMP的軌跡長(zhǎng)度SEMP可由式(8)積分為

(9)

將式(2)和式(3)代入,整理得:

(10)

為了降低控制難度,減小峰值熱流,再入飛行器需要滿(mǎn)足平衡滑翔條件,即飛行路徑角γ保持為一個(gè)較小的常數(shù)γ*[16],此時(shí)可近似認(rèn)為高度和速度隨能量線(xiàn)性變化[6]。當(dāng)EMP初、末狀態(tài)確定時(shí),高度和速度隨能量的變化關(guān)系也隨之確定。假設(shè)高度隨能量線(xiàn)性變化的關(guān)系式為

H=kE+b

(11)

(12)

將式(4)、式(11)和式(12)代入式(10)可得:

(13)

設(shè)a=E+μ/r,并認(rèn)為r在飛行過(guò)程中基本保持不變,有:

(14)

(15)

此級(jí)數(shù)的收斂條件是a為實(shí)數(shù)且a≠0,這一條件在軌跡規(guī)劃問(wèn)題中一般均可滿(mǎn)足。為進(jìn)一步分析此級(jí)數(shù)的收斂速度,選取4組不同長(zhǎng)度的SEMP。將通過(guò)數(shù)值積分計(jì)算得到每個(gè)SEMP的準(zhǔn)確值,與不同階數(shù)的級(jí)數(shù)近似計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如表1所示。從表中可以看出,20階級(jí)數(shù)的計(jì)算結(jié)果誤差不超過(guò)10 m,10階誤差不超過(guò)100 m。具體分析時(shí),可以根據(jù)實(shí)際精度需求選取不同階數(shù)。

表1 不同SEMP的積分計(jì)算和級(jí)數(shù)近似結(jié)果Table 1 Compute results of integration and progression for different SEMP

至此,即可得到EMP軌跡長(zhǎng)度的近似解析計(jì)算公式:

(16)

式中:p為根據(jù)精度需求選取的級(jí)數(shù)階數(shù)。

需要注意的是,式(16)只用于軌跡長(zhǎng)度的初步估算,軌跡積分依然采用較為精確的式(1)進(jìn)行求解。

2 再入軌跡快速規(guī)劃

2.1 初始下降段

再入起點(diǎn)并不滿(mǎn)足平衡滑翔條件,因此需要通過(guò)IDP的調(diào)整,使飛行器平穩(wěn)過(guò)渡到平衡滑翔狀態(tài)。設(shè)置傾側(cè)角為零,攻角為最大攻角,對(duì)軌跡進(jìn)行積分,檢測(cè)飛行器狀態(tài)是否滿(mǎn)足如式(17)所示的平衡滑翔條件。當(dāng)條件滿(mǎn)足時(shí),切換到EOP。

(17)

2.2 能量最優(yōu)段

采用最大升阻比攻角α1飛行,為了更平穩(wěn)地進(jìn)行平衡滑翔,參考文獻(xiàn)[15,18],采用一種軌跡震蕩抑制技術(shù),在標(biāo)準(zhǔn)攻角上附加調(diào)整攻角:

(18)

如果目標(biāo)射程等于最大射程,EOP結(jié)束后沒(méi)有多余能量,不需設(shè)置EMP,飛行器直接進(jìn)入下壓段;如果目標(biāo)射程小于最大射程,EOP結(jié)束時(shí)飛行器的狀態(tài)不滿(mǎn)足再入終點(diǎn)約束,必須通過(guò)EMP調(diào)整。記錄按照最大升阻比飛行至再入終點(diǎn)的軌跡,稱(chēng)為能量最優(yōu)軌跡,其上某一點(diǎn)將作為EMP的起點(diǎn),如圖2 所示。

圖2 能量最優(yōu)段軌跡示意圖Fig.2 Schematic diagram of energy manage phase

2.3 能量管理段規(guī)劃方法

由2.2節(jié)分析可知,EMP射程與起點(diǎn)位置互相影響,本文提出一種迭代方法進(jìn)行求解,結(jié)合傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)技術(shù)構(gòu)建了EMP軌跡快速規(guī)劃方法。

根據(jù)幾何關(guān)系求出飛行路徑角:

(19)

(20)

(21)

(22)

圖3 傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)位置規(guī)劃流程Fig.3 Bank angle reversal location programming process

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文提出的EAOT軌跡性能及快速規(guī)劃方法,將EAOT與固定攻角軌跡、最大射程軌跡進(jìn)行對(duì)比。固定攻角軌跡在整個(gè)再入段按照零傾側(cè)、分段固定攻角飛行,通過(guò)調(diào)整初始下降段攻角和平衡滑翔攻角滿(mǎn)足再入終點(diǎn)約束。最大射程軌跡不考慮再入終點(diǎn)約束,初始下降段結(jié)束后始終保持最大升阻比攻角飛行。

表2 仿真初末狀態(tài)Table 2 The initials and final state of simulation

軌跡對(duì)比結(jié)果如圖4～圖6所示。其中,迭代得到從EOP到EMP的過(guò)渡點(diǎn)的縱向射程(歸一化)為377.34,兩次傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)位置分別為382.15、388.61,最終到達(dá)位置為391.33。

圖4 高度、速度、射程隨時(shí)間變化Fig.4 Height,velocity and range change over time

從圖4和圖5可以看出,本文設(shè)計(jì)的EAOT軌跡滿(mǎn)足了再入終點(diǎn)的各種約束。飛行器在EOP的速度相較固定攻角軌跡更慢,在EMP通過(guò)大攻角飛行快速降低速度,通過(guò)調(diào)整傾側(cè)角維持飛行路徑角穩(wěn)定,迅速調(diào)整了飛行器狀態(tài),滿(mǎn)足了再入終點(diǎn)的高度、速度和射程約束。橫側(cè)向通過(guò)傾側(cè)角的兩次翻轉(zhuǎn)滿(mǎn)足了橫向誤差和航向角約束。

圖5 攻角、傾側(cè)角、飛行路徑角、航向角隨時(shí)間變化Fig.5 Angle of attack,bank angle,fly path angle and heading angle change over time

從圖5中可以看出,EAOT由于在前段保持了更快的速度,整個(gè)飛行過(guò)程的平均速度大于固定攻角軌跡,同等射程條件下總飛行時(shí)間少于固定攻角軌跡,這也是EAOT的一個(gè)優(yōu)勢(shì)。

圖6的能量變化情況對(duì)比可以更清楚地體現(xiàn)出EAOT在軌跡能量分配方面的優(yōu)點(diǎn)。與最大射程軌跡相比,固定攻角軌跡的能量從飛行起點(diǎn)開(kāi)始就在以更快的速度衰減,整個(gè)飛行全程能量基本按照恒定的速率下降;EAOT在EOP能量下降速率較慢,與最大射程軌跡下降速率相同,是一種能量最優(yōu)的飛行軌跡,在EMP迅速消耗了多余的能量。

圖6 能量隨時(shí)間和射程的變化Fig.6 Energy change over time and range

為了進(jìn)一步分析EAOT軌跡的抗干擾效果,假設(shè)飛行器在飛行過(guò)程中遭遇了一次突發(fā)的干擾攔截,飛行器被迫進(jìn)行了持續(xù)一段時(shí)間的機(jī)動(dòng),其間攻角保持最大攻角,傾側(cè)角不斷翻轉(zhuǎn)。機(jī)動(dòng)結(jié)束后,飛行器重新以當(dāng)前位置為起點(diǎn),規(guī)劃新的EAOT軌跡繼續(xù)飛行至終點(diǎn)。仿真結(jié)果如圖7所示。

從圖7中可以看到,飛行器在機(jī)動(dòng)時(shí)消耗了能量,得益于前期節(jié)省的能量,仍然在終點(diǎn)處滿(mǎn)足了終端的能量約束。相比于固定攻角軌跡,EAOT在飛行前段保留了更多能量,從而為飛行器適應(yīng)未知干擾攔截提供了更好的能量條件。

4 結(jié)論

①本文提出了一種能量?jī)?yōu)化分配軌跡模式,把多余能量集中在能量管理段內(nèi)消耗。通過(guò)仿真對(duì)比,證實(shí)這種軌跡增大了再入飛行前段的能量裕度,為飛行器在飛行過(guò)程中實(shí)時(shí)調(diào)整軌跡或提供了基礎(chǔ),提升了飛行器應(yīng)對(duì)未知干擾攔截的能力。②本文推導(dǎo)了初末狀態(tài)確定條件下的平衡滑翔最短射程的解析計(jì)算公式,在此基礎(chǔ)上提出了能量管理段射程的快速迭代計(jì)算方法,結(jié)合傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)技術(shù),構(gòu)建了能量?jī)?yōu)化分配軌跡的一體化生成方法,通過(guò)仿真驗(yàn)證了方法的可行性。③本文研究的軌跡快速規(guī)劃方法,能夠快速規(guī)劃得到能量?jī)?yōu)化分配軌跡,可以滿(mǎn)足飛行器遇到干擾攔截時(shí)軌跡在線(xiàn)重規(guī)劃的實(shí)時(shí)性需求,具有較大的工程應(yīng)用潛力。