基于高精度衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)的漂移誤差分析與研究

李知非，湯儒峰，翟東升，3，4，李祝蓮，3，4，伏紅林，4，黃凱，曹進(jìn)，，李語強(qiáng)，3，4

（1 中國科學(xué)院云南天文臺(tái)，昆明 650216）

（2 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

（3 中國科學(xué)院空間目標(biāo)與碎片觀測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210023）

（4 云南省太陽物理與空間目標(biāo)監(jiān)測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，昆明 650216）

（5 樂山師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，樂山 614000）

0 引言

衛(wèi)星激光測距（Satellite Laser Ranging， SLR）是通過精確測定激光脈沖從地面觀測站發(fā)送到衛(wèi)星的往返時(shí)間間隔來測量觀測站與衛(wèi)星距離的技術(shù)，其測距精度可達(dá)厘米級(jí)。SLR 主要應(yīng)用于精密確定衛(wèi)星軌道、精確測量地球自轉(zhuǎn)參數(shù)、精密建立地球參考系等［1］。這些科學(xué)應(yīng)用也推動(dòng)著SLR 技術(shù)向獲得高質(zhì)量、高精度的數(shù)據(jù)發(fā)展。

目前，國內(nèi)外大多數(shù)激光測距站采用的探測器是單光子雪崩二極管（Single Photon Avalanche Diode，SPAD）［2-5］。SPAD 量子效率高，時(shí)間響應(yīng)快速，且靈敏度高，可以探測到最少為單光子量級(jí)的激光脈沖回波［1］，這對(duì)于回波微弱但又需要獲得高精度數(shù)據(jù)的SLR 來說十分合適，所以在SLR 系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。但由于SPAD 的探測特性，其在工作時(shí)會(huì)在測距結(jié)果中引入漂移誤差（Walk Error）［6］，該誤差會(huì)對(duì)激光測距的精度產(chǎn)生影響。針對(duì)漂移誤差，國內(nèi)外科研人員已經(jīng)做了諸多研究。2010年，OH M S 等對(duì)基于SPAD 的激光雷達(dá)做了探測概率模型描述，并對(duì)基于SPAD 的激光雷達(dá)測量結(jié)果中的漂移誤差進(jìn)行分析與改正［7］。2013年，徐璐等針對(duì)基于SPAD 的激光雷達(dá)系統(tǒng)提出了一種新的回波信號(hào)處理方法來抑制漂移誤差［8］。2015年，OTSUBO T 等對(duì)于激光測距不同回波光子數(shù)對(duì)質(zhì)心修正的影響做了統(tǒng)計(jì)，其中也包含了對(duì)漂移誤差抑制方法的討論［9］。2018年，黃科等利用SPAD 的探測概率模型計(jì)算漂移誤差，并對(duì)激光測距結(jié)果進(jìn)行了修正［10］。

目前國內(nèi)外的研究主要針對(duì)基于SPAD 探測器的激光雷達(dá)，從探測器的探測模型出發(fā)對(duì)漂移誤差進(jìn)行分析與研究，但對(duì)于衛(wèi)星激光測距領(lǐng)域的漂移誤差分析較少，對(duì)于實(shí)際測距數(shù)據(jù)在漂移誤差分析與研究中的應(yīng)用也較少，且目前結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)對(duì)漂移誤差的研究較少，缺乏針對(duì)性。在衛(wèi)星激光測距精度向毫米級(jí)甚至亞毫米級(jí)進(jìn)軍的今天，這個(gè)問題需要被考慮和討論。對(duì)于實(shí)際測距數(shù)據(jù)進(jìn)行針對(duì)性分析，可以更準(zhǔn)確地減小測距數(shù)據(jù)中的漂移誤差，從而進(jìn)一步提高測距數(shù)據(jù)的質(zhì)量。本文將對(duì)衛(wèi)星激光實(shí)際測距數(shù)據(jù)的分析加入到漂移誤差的補(bǔ)償過程中，通過實(shí)際測距數(shù)據(jù)與仿真模型相結(jié)合，有效減小衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)中的漂移誤差，從而提高數(shù)據(jù)質(zhì)量，提高測距精度。

1 理論分析

1.1 漂移誤差產(chǎn)生的原因

在衛(wèi)星激光測距測量處在某一特定位置的目標(biāo)時(shí)，由于人為因素或者環(huán)境因素，回波能量會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)，測量數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的距離值分布也會(huì)隨之波動(dòng)，這些波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致測量距離出現(xiàn)誤差，即漂移誤差。漂移誤差產(chǎn)生的根本原因在于回波能量的波動(dòng)，所以首先推導(dǎo)出由實(shí)際測距數(shù)據(jù)計(jì)算回波能量，即回波光子數(shù)的方法。

1.1.1 平均回波光子數(shù)的計(jì)算方法

衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)接收端常用的探測器SPAD 無法直接測量到平均回波光子數(shù)，但是其探測概率計(jì)算公式中包含平均回波光子數(shù)，所以可以通過統(tǒng)計(jì)實(shí)際測距數(shù)據(jù)結(jié)果得到探測概率，再由探測概率反推平均回波光子數(shù)，進(jìn)一步可以計(jì)算得到漂移誤差。對(duì)于SPAD 探測器來說，當(dāng)平均回波光子數(shù)為n0時(shí)，探測器探測到n個(gè)光電子的概率為［11］

由于對(duì)SPAD 來說，當(dāng)光電子的數(shù)量不為0 時(shí)即為被觸發(fā)狀態(tài)，所以探測器被觸發(fā)的概率即為n≥1 的概率，而探測器不被觸發(fā)的概率即為n=0 的概率。設(shè)信號(hào)到來前噪聲回波光子數(shù)量為nn1，那么探測器被噪聲觸發(fā)的概率Pfa（噪聲觸發(fā)概率）為

設(shè)在回波持續(xù)時(shí)間內(nèi)，信號(hào)回波光子數(shù)量為ns，噪聲回波光子數(shù)量為nn2（ns遠(yuǎn)大于nn2)，那么探測器在該段時(shí)間被觸發(fā)的概率Ps（信號(hào)觸發(fā)概率）為

因?yàn)樵谝粋€(gè)距離門時(shí)間內(nèi)，SPAD 只能被觸發(fā)一次，故信號(hào)探測概率Pe應(yīng)為

所以，對(duì)實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到信號(hào)到來前的噪聲觸發(fā)概率為Pfa，信號(hào)探測概率為Pe時(shí)，可反推信號(hào)回波光子數(shù)ns為

同理，噪聲回波光子數(shù)nn1為

因?yàn)樵肼曔M(jìn)入到探測器在時(shí)間上為均勻分布，所以，若第一段時(shí)間長度為Tn，第二段時(shí)間長度為Ts，則第二段時(shí)間的噪聲回波光子數(shù)nn2為

由以上分析可知，對(duì)衛(wèi)星激光測距結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，就可以反推出平均回波光子數(shù)，進(jìn)一步可以通過仿真計(jì)算對(duì)應(yīng)的漂移誤差，修正誤差項(xiàng)，進(jìn)而提高衛(wèi)星激光測距的數(shù)據(jù)質(zhì)量和精度。

1.1.2 仿真不同回波光子數(shù)的探測概率分布情況

將式（1）進(jìn)一步寫為［12］

式中，P(m；ti，tk)表示在ti到tk這段時(shí)間內(nèi)探測器觸發(fā)了m個(gè)光電子的概率，m表示在這段時(shí)間內(nèi)觸發(fā)光電子的數(shù)量，M(ti，tk)表示在ti到tk這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入到探測器內(nèi)的光子數(shù)量。那么在一個(gè)距離門的時(shí)間內(nèi)，如果探測器在第j個(gè)時(shí)隙被觸發(fā)，那就要求在前j?1個(gè)時(shí)隙內(nèi)不被觸發(fā)。故探測器在第j個(gè)時(shí)隙被觸發(fā)的概率為

這樣可以計(jì)算出在一個(gè)距離門事件內(nèi)，探測器在每個(gè)時(shí)隙的觸發(fā)概率，從而得到探測概率曲線；改變平均回波光子數(shù)量，就可以得到不同平均回波光子數(shù)對(duì)應(yīng)的探測概率曲線。由1.1.1節(jié)的計(jì)算方法可得，衛(wèi)星激光測距的平均回波光子數(shù)為0～10個(gè)，則仿真得到該范圍內(nèi)不同平均回波光子數(shù)的探測概率分布情況如圖1所示。

圖1 不同回波光子數(shù)對(duì)應(yīng)的探測概率分布Fig.1 Detection probability distribution of different echo photon numbers

由圖1 可知，當(dāng)回波光子數(shù)增加時(shí)，探測概率的峰值前移，意味著測量數(shù)據(jù)分布中，更近的位置將會(huì)有更多的探測點(diǎn)，導(dǎo)致衛(wèi)星激光測距的解算距離更近。

1.2 漂移誤差的仿真計(jì)算方法

當(dāng)對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行分析、解算距離時(shí)，所依賴的正是基于探測概率所得到的探測情況。由探測概率解算激光飛行距離Rc的計(jì)算公式為

式中，0～T為信號(hào)回波持續(xù)的時(shí)間段長度，p(t)為該時(shí)間段內(nèi)信號(hào)的探測概率，r(t)為該時(shí)間段內(nèi)每一個(gè)探測概率所對(duì)應(yīng)的距離值。用此式（10）計(jì)算出加權(quán)平均值作為探測概率解算距離值。設(shè)目標(biāo)實(shí)際距離值為R，則漂移誤差Rw的計(jì)算公式為

因衛(wèi)星激光測距的平均回波光子數(shù)為單光子量級(jí)，故對(duì)0.1～10 個(gè)回波光子進(jìn)行仿真計(jì)算，解算得到的激光飛行距離如圖2 所示，漂移誤差如圖3 所示。

圖2 解算得到的激光飛行距離與平均回波光子數(shù)的關(guān)系Fig.2 Relationship between calculated distance and average echo photon number

圖3 漂移誤差與平均回波光子數(shù)的關(guān)系Fig.3 Relationship between walk error and average echo photon number

1.3 常規(guī)測距系統(tǒng)中系統(tǒng)時(shí)延標(biāo)校過程中的漂移誤差分析

衛(wèi)星激光測距過程通常會(huì)采用地靶測量的方法標(biāo)校系統(tǒng)延時(shí)［13］。在進(jìn)行地靶測量時(shí)，往往會(huì)人為衰減激光能量，這是為了將地靶回波信號(hào)能量大小盡可能與衛(wèi)星回波信號(hào)能量大小相匹配，從而減少兩者的漂移誤差差值。但由于對(duì)激光能量無法做到精細(xì)控制，所以漂移誤差在激光測距中仍然存在。由激光雷達(dá)方程估算測量LAGEOS 衛(wèi)星和地靶時(shí)的回波光子數(shù)［14］為

式中，Nr為脈沖平均回波光子數(shù)，E0為每一束激光脈沖的能量，N為每焦耳能量激光包含的光子數(shù)，Te為發(fā)射系統(tǒng)光路的透過率，Am為目標(biāo)的橫截面積，ρ為目標(biāo)的反射率，Ar為接收望遠(yuǎn)鏡的有效接收面積，Tr為接收系統(tǒng)的光學(xué)效率，η為探測器的量子效率，Ta為單程大氣透過率，Ω為激光反射發(fā)散角，θe為激光出射發(fā)散角，D為激光發(fā)射的光束的直徑。按照表1 的參數(shù)，計(jì)算測量LAGEOS 衛(wèi)星和地靶時(shí)的回波光子數(shù)，再將計(jì)算結(jié)果輸入到探測概率公式（9）和漂移誤差計(jì)算公式（11）中，計(jì)算漂移誤差情況，結(jié)果如圖4 所示?？芍?，由于兩者的回波光子數(shù)不同，所以漂移誤差有區(qū)別，在這種情況下，如果直接使用地靶測量結(jié)果去修正衛(wèi)星測量結(jié)果，勢必會(huì)引起誤差，使測距數(shù)據(jù)質(zhì)量下降。

表1 53 cm 雙筒激光測距系統(tǒng)參數(shù)Table 1 53 cm binocular laser ranging system parameters

圖4 LAGEOS 衛(wèi)星和地靶的回波光子數(shù)差導(dǎo)致的漂移誤差差值示意圖Fig.4 The difference of walk error caused by the difference of echo photon number between LAGEOS satellite and ground target

2 衛(wèi)星激光測距實(shí)測數(shù)據(jù)結(jié)合理論模型的漂移誤差補(bǔ)償方法

基于理論分析提出一種衛(wèi)星激光測距中由實(shí)際測距數(shù)據(jù)結(jié)合理論模型的漂移誤差補(bǔ)償方法。

2.1 地靶測量數(shù)據(jù)處理

首先，對(duì)地靶測量數(shù)據(jù)進(jìn)行信號(hào)識(shí)別［15］，識(shí)別結(jié)果如圖5 所示。再結(jié)合標(biāo)稱值計(jì)算地靶系統(tǒng)延遲；統(tǒng)計(jì)信號(hào)光子數(shù)與信號(hào)到來前的噪聲光子數(shù)，結(jié)合測量時(shí)間計(jì)算噪聲觸發(fā)概率與信號(hào)探測概率，進(jìn)而計(jì)算得到信號(hào)觸發(fā)概率，由概率計(jì)算出地靶平均回波光子數(shù)以及測量地靶對(duì)應(yīng)的漂移誤差。設(shè)由地靶測量數(shù)據(jù)的識(shí)別結(jié)果計(jì)算得到系統(tǒng)延遲為Δ，進(jìn)而得到的地靶漂移誤差為Rwalk_error(ntb)。

圖5 地靶信號(hào)識(shí)別結(jié)果Fig.5 Identified data of ground target

2.2 衛(wèi)星測量數(shù)據(jù)處理

其次，對(duì)衛(wèi)星測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。將計(jì)算得到的系統(tǒng)誤差加入到衛(wèi)星測距數(shù)據(jù)中，對(duì)衛(wèi)星測距數(shù)據(jù)進(jìn)行信號(hào)識(shí)別，識(shí)別結(jié)果如圖6 所示。由識(shí)別結(jié)果計(jì)算衛(wèi)星測量距離；統(tǒng)計(jì)信號(hào)光子數(shù)與信號(hào)到來前的噪聲光子數(shù)，結(jié)合測量時(shí)間計(jì)算噪聲觸發(fā)概率與信號(hào)探測概率，進(jìn)而計(jì)算得到信號(hào)觸發(fā)概率，由概率計(jì)算出衛(wèi)星平均回波光子數(shù)以及該測量時(shí)段對(duì)應(yīng)的漂移誤差。設(shè)由衛(wèi)星測量數(shù)據(jù)計(jì)算所得的衛(wèi)星測量距離為R，衛(wèi)星漂移誤差為Rwalk_error(nsat)。

圖6 衛(wèi)星信號(hào)識(shí)別結(jié)果Fig.6 Identified data of satellite

2.3 漂移誤差補(bǔ)償

最后，將計(jì)算得到的地靶漂移誤差和衛(wèi)星漂移誤差加入衛(wèi)星信號(hào)識(shí)別后解算的衛(wèi)星測量距離結(jié)果中進(jìn)行漂移誤差補(bǔ)償，得到修正后的距離結(jié)果。修正結(jié)果為

3 回波時(shí)變下衛(wèi)星激光測距漂移誤差的補(bǔ)償

3.1 回波時(shí)變下衛(wèi)星激光測距漂移誤差補(bǔ)償方法

在衛(wèi)星激光測距的每一圈測距數(shù)據(jù)中，也存在著回波能量隨時(shí)間波動(dòng)的情況，所以對(duì)每一圈數(shù)據(jù)，將其中的信號(hào)劃分為10 s 一段的片段進(jìn)行光子數(shù)統(tǒng)計(jì)以及漂移誤差的計(jì)算和補(bǔ)償工作；在做該數(shù)據(jù)分析時(shí)，由于衛(wèi)星和測站之間的距離是在時(shí)刻變化的，所以不能直接對(duì)計(jì)算出來的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)據(jù)（Normal Point， NP）進(jìn)行計(jì)算判斷，而是將標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)據(jù)去勢后進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于一圈數(shù)據(jù)所有劃分的片段，計(jì)算其去勢標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)據(jù)修正前和修正后的均方根（Root Mean Square，RMS）來說明數(shù)據(jù)質(zhì)量的提高。

3.2 方法應(yīng)用實(shí)例

對(duì)2019年1月18日KOMPSAT-5 衛(wèi)星的測距原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分段計(jì)算，并補(bǔ)償測距數(shù)據(jù)中的漂移誤差，得到結(jié)果如圖7 所示。圖7 中每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)均為去趨勢后的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以看到經(jīng)過漂移誤差補(bǔ)償后，整個(gè)數(shù)據(jù)的RMS 降低，說明數(shù)據(jù)離散程度更低，數(shù)據(jù)波動(dòng)更小。這表明數(shù)據(jù)中因漂移誤差導(dǎo)致的距離值波動(dòng)經(jīng)過處理后變小，數(shù)據(jù)質(zhì)量有所提高。

圖7 減小漂移誤差對(duì)衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)的影響Fig.7 SLR data with the influence of walk error reduction

3.3 批量數(shù)據(jù)處理結(jié)果分析

對(duì)2017年至2022年間持續(xù)觀測的6 個(gè)目標(biāo)衛(wèi)星：Ajisai、Jason-3、KOMPSAT-5、LARES、Stella、Swarm-B 的部分激光測距數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)償漂移誤差處理，得到結(jié)果如圖8。

圖8 減小漂移誤差前后的衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果（2017年—2022年）Fig.8 Comparison results of satellite laser ranging data before and after walk error reduction （2017—2022）

由圖8 可以看出，經(jīng)過補(bǔ)償漂移誤差后的數(shù)據(jù)，去勢標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的RMS 都有所降低，反映出數(shù)據(jù)中由于能量變化帶來的波動(dòng)被有效降低，數(shù)據(jù)質(zhì)量有所提高。對(duì)于不同衛(wèi)星來說，修正量最多的為Swarm-B 衛(wèi)星，平均修正量為450.7 ps，這是由于Swarm-B 衛(wèi)星軌道高度低（460 km），運(yùn)行速度快，在進(jìn)行常規(guī)衛(wèi)星觀測時(shí)，望遠(yuǎn)鏡會(huì)為了跟上目標(biāo)而快速移動(dòng)，導(dǎo)致激光光束無法時(shí)刻對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，使回波能量變化比較大，數(shù)據(jù)中的漂移誤差也就比較大。而軌道較高的目標(biāo)，例如Jason-3 衛(wèi)星（軌道高度1 336 km），其運(yùn)行速度較慢，過境時(shí)間長，望遠(yuǎn)鏡比較容易鎖定目標(biāo)，回波信號(hào)能量大小比較穩(wěn)定，數(shù)據(jù)中的漂移誤差也就比較小，平均修正量為28.5 ps。所以，對(duì)于軌道高度較低的目標(biāo)，漂移誤差對(duì)數(shù)據(jù)的影響較大，如果能夠?qū)ζ錅y距數(shù)據(jù)中的漂移誤差進(jìn)行有效減小或降低，將會(huì)顯著提升數(shù)據(jù)質(zhì)量。

4 結(jié)論

本文利用中國科學(xué)院云南天文臺(tái)53 cm 雙筒激光測距系統(tǒng)的實(shí)際測距數(shù)據(jù)和仿真，對(duì)衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)中存在的漂移誤差進(jìn)行了分析與補(bǔ)償。研究結(jié)果表明：在衛(wèi)星激光測距中，能量波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)中存在漂移誤差，這些漂移誤差能夠通過計(jì)算得出，將對(duì)該誤差的補(bǔ)償加入到數(shù)據(jù)處理過程后，測距數(shù)據(jù)質(zhì)量會(huì)得到提升。本方法將衛(wèi)星激光測距的實(shí)測數(shù)據(jù)加入到補(bǔ)償過程中，與單純考慮模型相比能夠更有針對(duì)性、更準(zhǔn)確且實(shí)時(shí)地對(duì)漂移誤差進(jìn)行抑制，也在一定程度上彌補(bǔ)了現(xiàn)有的對(duì)衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)處理方面的不足，能為衛(wèi)星激光測距的數(shù)據(jù)處理過程提供參考。但本文通過仿真計(jì)算出的漂移誤差沒有經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，為理論上的計(jì)算值。后續(xù)工作中，可以通過實(shí)驗(yàn)計(jì)算數(shù)值，以更精確地確定漂移誤差數(shù)值，更大程度地減小漂移誤差對(duì)實(shí)際測距數(shù)據(jù)的影響。