基于幾何設(shè)計法的航空發(fā)動機(jī)有限頻域穩(wěn)態(tài)抗擾控制器設(shè)計

陳佳杰，王繼強(qiáng)，張海波，胡忠志，陳新民

1．南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院，南京 210016

2．中國科學(xué)院 寧波材料技術(shù)與工程研究所 先進(jìn)制造技術(shù)研究所，寧波 315201

3．清華大學(xué) 航空發(fā)動機(jī)研究院，北京 100084

巡航穩(wěn)態(tài)工況一般為民航客機(jī)在整個飛行航線中時間最長的工況。飛機(jī)在保持長航時穩(wěn)態(tài)工況的過程中，航空發(fā)動機(jī)會受到各種各樣的內(nèi)部和外部干擾。外部環(huán)境干擾主要包括雨雪冰天氣干擾、大氣湍流干擾和電磁干擾等。這些環(huán)境干擾會對發(fā)動機(jī)進(jìn)口氣流場造成影響，進(jìn)而造成發(fā)動機(jī)內(nèi)部部件性能參數(shù)不穩(wěn)定；內(nèi)部干擾主要包括傳感器、執(zhí)行機(jī)構(gòu)等部件造成，以及旋轉(zhuǎn)部件性能退化等。這些干擾對飛機(jī)保持巡航穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性具有很大的隱患［1］。因此，穩(wěn)態(tài)工況下的抗干擾問題一直是發(fā)動機(jī)控制的研究熱點(diǎn)。

對于航空發(fā)動機(jī)在巡航工況下可能遇到的各類外界干擾，其能量一般只集中分布在某一個或某些有限的頻率范圍內(nèi)，如果在抗擾控制器設(shè)計時忽略干擾信號自身的有限頻域特性，設(shè)計的控制器往往具有較大的保守性?？紤]到相同的干擾對發(fā)動機(jī)不同輸出性能量的影響也不盡相同，理想的發(fā)動機(jī)抗擾控制器設(shè)計方法應(yīng)具備以下特征：① 可以在任何特定頻率或有限頻域內(nèi)定量表征抗擾控制性能指標(biāo)；② 可以在不增加反饋信號傳感器數(shù)目的情況下，對不同輸出性能量進(jìn)行全局抗擾性能的定量優(yōu)化；③ 可以直觀地在控制器設(shè)計階段基于理論進(jìn)行面向全局抗擾性能的控制器設(shè)計。

現(xiàn)階段控制理論領(lǐng)域中，經(jīng)典控制理論（PID、根軌跡法等）控制器設(shè)計方法核心是通過引入額外零極點(diǎn)來使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到期望的頻率響應(yīng)特性，整個設(shè)計過程面向的是全頻域，未能定義有限頻域指標(biāo)，也無法滿足對不同輸出性能量進(jìn)行全局抗擾性能的定量優(yōu)化要求［2］。主動抗擾控制理論主要包括基于干擾觀測器的控制（DOBC）［3］和自抗擾控制（ADRC）［4-5］，雖然可以借助狀態(tài)觀測器估計干擾特性來在反饋回路中進(jìn)行干擾補(bǔ)償，但同樣具有缺少控制器參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)范、無法直觀定義有限頻域內(nèi)控制性能指標(biāo)以及進(jìn)行面向全局抗擾性能的控制器設(shè)計的不足之處。最優(yōu)控制理論通常引入頻率加權(quán)函數(shù)來優(yōu)化有限頻域性能，例如基于混合靈敏度的H∞控制方法［6-7］，但頻率加權(quán)函數(shù)的選擇大多數(shù)還是基于經(jīng)驗，需要反復(fù)嘗試，而且基于頻率加權(quán)函數(shù)的研究方法屬于間接法，并不能提供被控對象在有限頻域性能的定量信息。有限頻Gramian 矩陣法［8］和廣義KYP 引理法［9-10］是直接基于有限頻域性能指標(biāo)建立的控制理論，但同樣無法同時滿足這些特征，由于現(xiàn)有的有限頻Gramian 矩陣法定義的是系統(tǒng)的H2性能，對于特定頻率下的控制問題，有限頻Gramian 矩陣為0，無法計算系統(tǒng)的H2性能。廣義KYP 引理雖然可以在任何特定頻率或有限頻域內(nèi)定量表征抗擾控制性能指標(biāo)，但在設(shè)計控制器時由于需要額外引入權(quán)矩陣，導(dǎo)致了控制性能的保守性，并且對于不同的輸出性能量也無法根據(jù)需求進(jìn)行全局抗擾性能的定量優(yōu)化。

考慮到上述控制方法對于解決有限頻域抗擾問題的局限性，為了盡可能同時滿足理想抗擾控制器設(shè)計方法特征需求，本文提出一種能同時具備這些特征的控制器設(shè)計方法“幾何設(shè)計法”（Geometric Design Method，GDM）［11-12］。該方法目前已在振動控制以及能量收集領(lǐng)域取得了初步應(yīng)用［13-14］，同時也為航空發(fā)動機(jī)穩(wěn)態(tài)抗擾控制器的設(shè)計提供了一種新的思路方法和方向。對標(biāo)理想發(fā)動機(jī)抗擾控制器設(shè)計方法的特征，幾何設(shè)計法控制理論的創(chuàng)新點(diǎn)可歸納為以下3 個方面：① 聚焦有限頻域內(nèi)的抗擾性能進(jìn)行控制器設(shè)計。幾何設(shè)計法提供了一種系統(tǒng)的靈敏度直觀整形方法，不引用依賴經(jīng)驗法則設(shè)計的加權(quán)函數(shù)，直觀地建立了所設(shè)計的控制器與對應(yīng)靈敏度函數(shù)頻率特性的定量關(guān)系，從而可以方便地聚焦在特定頻率或者有限頻域內(nèi)進(jìn)行抗擾控制器設(shè)計，忽略其他不重要頻域段的系統(tǒng)抗擾性能，大大降低了基于全頻段性能指標(biāo)進(jìn)行抗擾控制器設(shè)計的保守性。② 定量進(jìn)行全局抗擾性能“折衷”。在頻域內(nèi)尋求抗擾的“折衷”就是要求抗擾控制器在不同的頻率范圍內(nèi)滿足不同的性能指標(biāo)，這就意味著需要充分考慮并利用系統(tǒng)本身及干擾的頻率響應(yīng)特性。幾何設(shè)計法將不同輸出量定義的性能指標(biāo)通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上的若干個性能圓，因而可以在特定頻率或頻域下定量分析各個性能量之間的可折衷性，以及進(jìn)行滿足需求的全局抗擾性能的“最優(yōu)”“次優(yōu)”控制器設(shè)計。③ 控制器設(shè)計過程的直觀性。幾何設(shè)計法最重要的創(chuàng)新點(diǎn)是在整個抗擾控制器設(shè)計過程中都能直觀地在復(fù)平面上表示出閉環(huán)系統(tǒng)各輸出量在特定頻率下的抗擾性能，以及控制量在受限情況下的系統(tǒng)抗擾性能極限，從而使用直觀的圖解法形式來解決有限頻域抗擾控制器的求取問題。

為了探究幾何設(shè)計法在航空發(fā)動機(jī)穩(wěn)態(tài)抗擾領(lǐng)域的應(yīng)用前景，本文根據(jù)幾何設(shè)計法控制理論，以某型先進(jìn)齒輪傳動渦扇（Gear Turbofan，GTF）發(fā)動機(jī)模型為基礎(chǔ)，提出了基于幾何設(shè)計法的航空發(fā)動機(jī)穩(wěn)態(tài)抗擾控制器設(shè)計技術(shù)路線，并在頻域和時域下分別研究了混合靈敏度H∞與GDM 控制器在巡航穩(wěn)態(tài)工況馬赫數(shù)干擾作用下的抗擾效果，初步驗證了幾何設(shè)計法所具有的實(shí)現(xiàn)上述抗擾控制特征的優(yōu)勢。

1 發(fā)動機(jī)建模及抗擾問題定義

本文所研究的發(fā)動機(jī)模型是一款30 000 磅（約合13.3×104N）推力級概念型GTF 發(fā)動機(jī)［15］，結(jié)構(gòu)如圖 1 所示，相比傳統(tǒng)渦扇發(fā)動機(jī)，GTF 發(fā)動機(jī)的優(yōu)勢如下：

1） 低壓軸和風(fēng)扇軸通過齒輪箱連接，使得風(fēng)扇可以在理想的低轉(zhuǎn)速下工作的同時可以保持低壓軸的高速旋轉(zhuǎn)，解決了風(fēng)扇和低壓壓氣機(jī)不能同時在各自最佳轉(zhuǎn)速下工作的問題，提高了燃料效率并降低了燃?xì)廨啓C(jī)噪聲。

2） 引入了可變放氣活門（Variable Bleed Valve，VBV）來防止低壓壓氣機(jī)失速，以及風(fēng)扇外涵可變面積尾噴口（Variable Area Fan Nozzle，VAFN）來保證風(fēng)扇在各個工作點(diǎn)保持最佳效率，這2 個控制變量根據(jù)相應(yīng)的調(diào)度計劃開環(huán)計算得到，不參與主回路控制。

GTF 發(fā)動機(jī)部件級模型基于NASA 開源的熱力學(xué)系統(tǒng)建模和分析工具箱［16］建立，除不包括起動模型外，適用于在全飛行包線進(jìn)行仿真。模型中主燃油控制回路中的控制量為燃油流量，被控量為與推力線性相關(guān)度強(qiáng)的風(fēng)扇折合轉(zhuǎn)速。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)反饋控制結(jié)構(gòu)Fig. 2 Standard feedback control structure diagram

圖3 幾何設(shè)計法存在性問題在復(fù)平面上示意圖Fig. 3 Geometric design method schematic diagram in complex plane

圖5 復(fù)平面上對應(yīng)的魯棒控制器設(shè)計區(qū)域Fig. 5 Robust controller design scope in complex plane

圖6 復(fù)平面上不同控制器性能比較Fig. 6 Different controller performances described in complex plane

圖7 GDM 控制器設(shè)計流程Fig. 7 GDM controller design process

圖8 干擾對系統(tǒng)輸出的幅頻特性分析Fig. 8 Frequency domain analysis of transfer function from disturbance to outputs

本文研究的抗擾問題可以定義為，GTF 發(fā)動機(jī)在飛機(jī)巡航段長航時穩(wěn)態(tài)飛行的情況下，會受到大氣湍流帶來的馬赫數(shù)干擾［17］，這會造成表征推力的風(fēng)扇折合轉(zhuǎn)速的波動，然而實(shí)際發(fā)動機(jī)推力和風(fēng)扇折合轉(zhuǎn)速的頻率特性并不相同，僅進(jìn)行風(fēng)扇折合轉(zhuǎn)速的抗擾控制器設(shè)計無法同時考慮到該控制器對推力的抗擾特性。因此，抗擾問題定義為設(shè)計一種主燃油控制回路的抗擾控制器，使得能在大氣干擾能量集中的有限頻域內(nèi)，風(fēng)扇折合轉(zhuǎn)速和推力均有較好的綜合抗擾性能，且盡可能地挖掘抗擾性能極限。

2 幾何設(shè)計理論介紹

幾何設(shè)計法的理論基于標(biāo)準(zhǔn)反饋控制結(jié)構(gòu)，如圖 2 所示。

廣義被控對象P的傳遞函數(shù)矩陣可表示為

式中：

u表示控制量；w中變量表示外部輸入信號，包括各類干擾信號；y表示可用的反饋信號；z中變量是可控性能變量但不能用于反饋輸出。因此，設(shè)計目標(biāo)是僅使用u=Ky反饋來控制整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，即達(dá)到對所有性能變量y和z的控制。雖然z不可用于反饋，但是可以假設(shè)在調(diào)試或建模階段可獲得傳遞函數(shù)矩陣G。

為了方便進(jìn)行控制器設(shè)計，進(jìn)一步假設(shè)輸入信號wi(jω)=Cid(jω)。其中，ω表示頻率；Ci是相對于單位輸入信號d(jω)的復(fù)數(shù)增益；i=1，2，…，n。由此式（1）可寫為

單位輸入信號d到輸出反饋信號y以及可控性能變量信號zi的傳遞函數(shù)為

單位輸入信號d到輸出反饋信號y以及可控性能變量信號zi的開環(huán)響應(yīng)為

幾何設(shè)計法原理致力于在特定頻率點(diǎn)或有限頻域定義出性能極限的能力。對于特定頻率點(diǎn)ω或有限頻域[ω1，ω2]， 控制問題被重新定義為尋找控制器K，使得所有性能變量Tyd_c和(i=1，2，…，n) 在頻率ω處或有限頻域[ω1，ω2]上按相應(yīng)抗擾性能需求衰減。這個問題包括存在性、最優(yōu)性和控制綜合魯棒性3個子問題：

1） 存在性問題：僅使用u=Ky同時減少y(jω)和zi(jω)的可實(shí)現(xiàn)性。

2） 最優(yōu)性問題：y(jω)和zi(jω)的最優(yōu)性能。

3） 控制綜合魯棒性問題：針對給定全局抗擾性能指標(biāo)，設(shè)計并實(shí)現(xiàn)強(qiáng)鎮(zhèn)定控制器K(s)，并且對于被控對象的內(nèi)部不確定性，K(s)具有魯棒性。

為方便后續(xù)描述，定義靈敏度函數(shù)S、反饋靈敏度函數(shù)α及擾動靈敏度函數(shù)βi：

式中：

為表征控制器K作用后的抗擾性能，定義輸出量的性能指標(biāo)η為輸出量閉環(huán)幅值和開環(huán)幅值之比，由式（3）～式（7）可得：

式中：δ1、δi為性能指標(biāo)的需求，可根據(jù)實(shí)際抗擾需求進(jìn)行更改。

控制器K的選取決定了反饋靈敏度函數(shù)α(jω)在復(fù)平面上的坐標(biāo)，定義性能圓和控制量限制圓如下：

1） 性能圓（α、β圓）

由式（7）可得，滿足性能指標(biāo)的α(jω)所在區(qū)域可以在復(fù)平面表示為以（-1，0）為圓心，δ1為半徑的圓，記作α圓，將δ1為1 的圓記作單位α圓。

2） 控制量限制圓（γ圓）

本文所研究的控制量燃油流量有很多限制，包括喘振、熄火邊界、渦輪前最大溫度、轉(zhuǎn)速、壓力等。巡航穩(wěn)態(tài)工況下，定義控制量的范圍為

對于本文的控制問題，可轉(zhuǎn)化為

式中：us為穩(wěn)態(tài)工況點(diǎn)對應(yīng)的燃油流量。由u=Ky得

進(jìn)而可得

限制圓體現(xiàn)在復(fù)平面上即為以（0，0）為圓心，半徑為rγ的圓區(qū)域內(nèi)。

因此，特定頻率及有限頻域[ω1，ω2]內(nèi)的受限抗擾控制問題的存在性和最優(yōu)性問題便可通過圖形法來解決。針對引言給出的理想的抗擾控制器特征，分別提出命題如下。

命題1（存在性問題）當(dāng)且僅當(dāng)所有性能圓（α、β圓）和限制圓（γ圓）具有共同交點(diǎn)時，存在控制器u=Ky使得性能指標(biāo)ηyd及同時減少。如圖 3 所示，圖 3（a）和圖 3（b）的陰影區(qū)域分別表示特定頻率及有限頻域[ω1，ω2]下使得性能指標(biāo)ηyd及ηzid同時減少的控制器設(shè)計點(diǎn)α(jω)所在區(qū)域。

命題2（最優(yōu)性問題）若存在一組δopt，δi_opt，使得性能圓（α、β圓）相切，且相切點(diǎn)位于限制圓（γ圓）內(nèi)，則位于性能圓圓心連線所在直線上的相切點(diǎn)αopt所對應(yīng)的控制器為該頻率下使得性能指標(biāo)ηyd及能獲得最優(yōu)全局抗擾性能的控制器，最優(yōu)全局抗擾性能ηyd_opt及的分布滿足

式中：L代表兩點(diǎn)之間的距離。各抗擾性能指標(biāo)（單位：dB）的幾何表達(dá)形式為

最優(yōu)性/次優(yōu)性問題的幾何設(shè)計圖如圖 4所示。

命題2 備注1δ1、δi決定了性能圓的半徑，式（15）直觀地構(gòu)建了復(fù)平面上各輸出量的最優(yōu)抗擾性能指標(biāo)的幾何表達(dá)形式。根據(jù)性能圓圓心與控制器設(shè)計區(qū)域的位置關(guān)系，可分為如下4 種情況討論：

1）Oα和均位于控制器設(shè)計區(qū)域時，最優(yōu)設(shè)計點(diǎn)αopt分別與Oα和重合時，則ηyd和分別具有極限抗擾性能。

2） 僅Oα位于控制器設(shè)計區(qū)域時，極限抗擾性能對應(yīng)的最優(yōu)設(shè)計點(diǎn)αopt位于與單位α圓的交點(diǎn)。

4）Oα和均不位于控制器設(shè)計區(qū)域時，極限抗擾性能對應(yīng)的最優(yōu)設(shè)計點(diǎn)αopt位于與單位α圓的交點(diǎn)；ηyd極限抗擾性能對應(yīng)的最優(yōu)設(shè)計點(diǎn)αopt位于與單位βi圓的交點(diǎn)。

命題2 備注2式（14）構(gòu)建了復(fù)平面上各輸出量的最優(yōu)抗擾性能指標(biāo)的約束關(guān)系，用于直觀地描述系統(tǒng)所能達(dá)到的最優(yōu)全局抗擾性能，由式（14）可知不同αopt坐標(biāo)對應(yīng)不同的最優(yōu)全局抗擾性能，η越小代表抗擾性能越好。

命題2 備注3由于在實(shí)際工程中，最優(yōu)全局抗擾性能可能存在無法實(shí)現(xiàn)的情況。可以根據(jù)實(shí)際控制需求合理調(diào)整全局抗擾性能指標(biāo)，設(shè)計次優(yōu)控制器。如圖 4 所示，根據(jù)三角形邊長幾何關(guān)系大小可得

次優(yōu)全局抗擾性能ηyd及的分布滿足

各次優(yōu)抗擾性能指標(biāo)同樣滿足式（15）的幾何表達(dá)形式。

命題3（魯棒性問題）對于被控對象內(nèi)部的不確定性對抗擾控制性能的影響，可轉(zhuǎn)化為性能圓βi圓的變化，如圖 5 所示，具有魯棒性的控制器設(shè)計區(qū)域縮小為陰影部分區(qū)域。

命題3 備注1假設(shè)被控對象內(nèi)部的不確定性對Gi造成的乘積攝動為

β′i圓以Gi′(jω)為圓心，|為半徑，βsup為穩(wěn)定裕度，當(dāng)時，圖 5 中不存在魯棒控制器設(shè)計區(qū)域。

命題4（控制綜合問題）設(shè)計點(diǎn)α(jω)的復(fù)平面坐標(biāo)可通過式（19）來構(gòu)造相應(yīng)控制器：

并可根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)控制器K的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如傳遞函數(shù)表達(dá)式等。

命題4 備注1可以通過如下的構(gòu)造法［18］，將設(shè)計點(diǎn)α(jω)的復(fù)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為強(qiáng)鎮(zhèn)定控制器傳遞函數(shù)表達(dá)式K（s），使得K（s）在頻率ω下的表達(dá)式K(jω)滿足式（19）。

假設(shè)設(shè)計點(diǎn)α(jω) 對應(yīng)的靈敏度函數(shù)S(jω)=α(jω)-1=a+bj，a和b同號，以下分別從同正和同負(fù)為例進(jìn)行構(gòu)造。

1）a、b均為正數(shù)

2）a、b均為負(fù)數(shù)

定義，同理可構(gòu)造

式中：

其中：A＞0，c＜0，d＞0。相應(yīng)的強(qiáng)鎮(zhèn)定控制器傳遞函數(shù)形式表示為

式中：σ是一個小的正數(shù)，用于將控制器的極點(diǎn)移到左半平面，σ越小，K（s）在設(shè)計頻率ω處越近似于K(jω)。

a和b一正一負(fù)的2 種情況可同理進(jìn)行構(gòu)造。若構(gòu)造出的傳遞函數(shù)階數(shù)較大，可進(jìn)行降階處理。

命題4 備注2對于在有限頻域[ω1，ω2]內(nèi)求解控制器K的問題，可以通過如下簡化方式進(jìn)行設(shè)計：

1） 在[ω1，ω2]取N個頻率點(diǎn)，在圖 3（a）所示控制器設(shè)計區(qū)域中依據(jù)命題2 選取合適的設(shè)計點(diǎn)α，分別采用命題4 備注1 的方法構(gòu)造對應(yīng)的控制器Kp，p=1，2，…，N并實(shí)現(xiàn)。

2） 比較不同單頻控制器傳遞函數(shù)在有限頻帶[ω1，ω2]上的頻率特性，選擇頻率特性最優(yōu)的單頻控制器作為有限頻帶[ω1，ω2]內(nèi)的控制器K。

命題5（不同控制器抗擾性能對比問題）對于給定輸入輸出傳遞函數(shù)類控制器K（s），可以得到K（s）在特定頻率ω下對應(yīng)的復(fù)平面點(diǎn)α(jω)表達(dá)式：

命題5 備注1通過幾何圖示可以直觀地比較不同輸入輸出傳遞函數(shù)類控制器（例如PID 控制器、混合靈敏度H∞控制器等）的抗擾性能，如圖 6 所示，和分別表示不同控制器K（s）所對應(yīng)的復(fù)平面點(diǎn)，不同控制器作用下閉環(huán)系統(tǒng)各輸出量的抗擾性能可根據(jù)式（15）的原理直觀地從幾何圖上得到。

3 GDM 抗擾控制器性能仿真分析

本節(jié)針對第1 節(jié)定義的發(fā)動機(jī)典型抗擾問題，對巡航穩(wěn)態(tài)工況下GTF 發(fā)動機(jī)的抗擾控制器進(jìn)行設(shè)計及仿真驗證?？箶_控制器設(shè)計及仿真分析流程的總結(jié)如圖 7 所示。

3. 1 GTF 巡航點(diǎn)鄰域帶干擾影響的線性模型

GDM 控制器需要基于發(fā)動機(jī)的線性化模型進(jìn)行設(shè)計。基于2.1 節(jié)介紹的GTF 發(fā)動機(jī)部件級模型，采用小擾動辨識法得到巡航包線內(nèi)某穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)（H=28 000 ft，Ma=0.73， PLA=83.4°，1 ft=0.304 8 m）鄰域的傳遞函數(shù)矩陣模型為

式中：

式中：Nfc、F、Wf和Ma分別代表歸一化風(fēng)扇折合轉(zhuǎn)速、推力、燃油流量以及馬赫數(shù)干擾的增量。

3. 2 干擾量對輸出量的傳遞函數(shù)頻域分析

干擾量的頻率特性研究是GDM 抗擾控制器設(shè)計的關(guān)鍵。分析馬赫數(shù)干擾對轉(zhuǎn)速和推力的開環(huán)頻率響應(yīng)如圖 8 所示?？梢钥闯?，在0～10 rad/s 內(nèi)，轉(zhuǎn)速和推力幅頻特性變化基本一致；但10～100 rad/s 內(nèi)，對于該頻率段下的干擾信號，轉(zhuǎn)速的波動將呈現(xiàn)較大的衰減，但推力波動沒有。對于100 rad/s 后的干擾，2 者的波動均呈現(xiàn)較大衰減，有較強(qiáng)的濾波能力。根據(jù)文獻(xiàn)［19-20］提出的大氣湍流干擾模型的原理，可以取諧波輸入信號為

將得到的歸一化輸入馬赫數(shù)干擾信號進(jìn)行傅里葉變換，如圖9 所示。結(jié)合圖 8 和圖 9，本文選取ω在2～16 rad/s 的有限頻域進(jìn)行抗擾控制器的設(shè)計研究。

圖9 歸一化馬赫數(shù)干擾的頻譜分析Fig. 9 Normalized Mach number disturbance spectrum

圖10 復(fù)平面上GDM 控制器設(shè)計區(qū)域Fig. 10 GDM controller design area on complex plane

圖11 不同頻率下GDM 單頻控制器的抗擾性能Fig. 11 Disturbance rejection performance of GDM controller under different single frequency

圖12 不同GDM 單頻控制器作用下ηyd 在有限頻域的幅頻特性Fig. 12 Comparison of ηyd frequency domain characteristics among different GDM controllers

3. 3 GDM 抗擾控制器設(shè)計及抗擾性能驗證

首先進(jìn)行單頻抗擾控制器設(shè)計。根據(jù)命題1，分別在頻率點(diǎn)3、8、15 rad/s 處在復(fù)平面上進(jìn)行幾何分析，并根據(jù)命題3 和命題4 選取合適的α點(diǎn)進(jìn)行次優(yōu)控制器實(shí)現(xiàn)，如圖 10 所示。

根據(jù)命題2 分析圖 10 可得，在α圓心左側(cè)且位于3 個頻率下所有圓交集區(qū)域內(nèi)取設(shè)計點(diǎn)，可以得到全局抗擾性能較好的次優(yōu)控制器。以設(shè)計點(diǎn)α坐標(biāo)為（-1.15，-0.02）為例，由式（15）可得設(shè)計點(diǎn)不同頻率下對應(yīng)不同輸出量的設(shè)計抗擾性能指標(biāo)，如表 1 所示。

為驗證表 1 直觀在圖 10 中得到的各輸出量抗擾性能指標(biāo)的準(zhǔn)確性，在時域中進(jìn)行仿真算例如下。首先，根據(jù)命題4 傳遞函數(shù)構(gòu)造法實(shí)現(xiàn)相應(yīng)GDM 控制器并統(tǒng)一降階至易于實(shí)際使用的三階，假設(shè)在單位正弦馬赫數(shù)干擾作用的情況下，各頻率下GDM 控制器的閉環(huán)系統(tǒng)輸出擾動量如圖 11 所示。降階后不同頻率下各GDM 控制器傳遞函數(shù)以及從圖 11 得到的實(shí)際抗擾性能匯總在表 2。可以看出，降階后GDM 控制器傳遞函數(shù)在各自設(shè)計頻率下所對應(yīng)的α(jω)略有偏差，實(shí)際抗擾性能基本達(dá)到表 1 從圖 10 上直觀得到的設(shè)計抗擾性能指標(biāo)；從圖 11（d）可以看出圖 10 中的限制圓也有效地限制住了由于抗擾控制器的引入所帶來的燃油流量的變化。仿真結(jié)果初步驗證了理想抗擾控制器設(shè)計方法的特征1～特征3。

其次，進(jìn)行有限頻域內(nèi)抗擾控制器設(shè)計。選擇由式（28）所示諧波信號作為大氣湍流干擾模型的輸入得到的馬赫數(shù)干擾信號，來作為發(fā)動機(jī)模型的干擾輸入，從圖 9 可知，馬赫數(shù)干擾能量集中在有限頻域2～16 rad/s。比較不同GDM 單頻控制器在有限頻域下的控制性能指標(biāo)ηyd和ηzd的頻率特性，分別如圖 12 和圖 13 所示。由圖 12 可見，ω=15 rad/s 的控制器在有限頻域2～16 rad/s 相比其他2 個單頻控制器具有更好的折合轉(zhuǎn)速抗擾控制性能。由圖13 可見，各個單頻控制器在設(shè)計頻率前具有較好的抗擾性能，但在設(shè)計頻率之后抗擾性能開始快速惡化，這符合幾何設(shè)計法的原理，考慮在2～16 rad/s 的頻率段確定綜合被控量和性能量抗擾性能最佳的控制器，初步選擇在ω=15 rad/s設(shè)計的單頻控制器作為GDM 寬頻控制器。為進(jìn)行進(jìn)一步驗證，不同單頻控制器在時域下抗擾性能仿真驗證結(jié)果如圖14 和圖15 所示。

表1 不同頻率下控制器設(shè)計點(diǎn)所對應(yīng)的性能指標(biāo)ηyd 和ηzdTable 1 Design ηyd and ηzd under different single frequency

表2 不同頻率下GDM 控制器傳遞函數(shù)實(shí)現(xiàn)形式及所對應(yīng)的實(shí)際抗擾性能Table 2 Realistic performances and transfer functions designed by GDM under different single frequency

表3 不同GDM 單頻控制器在時域下穩(wěn)態(tài)抗擾性能對比Table 3 Comparison of disturbance rejection performances among GDM controllers designed in different frequency

表4 不同巡航穩(wěn)態(tài)工況下穩(wěn)態(tài)控制器的抗擾性能比較Table 4 Comparison of controller disturbance rejection performance under different cruise steady-state points

圖13 不同GDM 單頻控制器作用下ηzd 在有限頻域的幅頻特性Fig. 13 Comparison of ηzd frequency domain characteristics among different GDM controllers

圖14 不同GDM 單頻控制器作用下風(fēng)扇折合轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)擾動性能變化Fig. 14 Time domain characteristics of corrected fan speed under different GDM controllers

圖15 不同GDM 單頻控制器作用下推力的穩(wěn)態(tài)擾動性能變化Fig. 15 Time domain characteristics of thrust under different GDM controllers

圖16 混合靈敏度H∞控制器權(quán)函數(shù)及Tzw的頻率特性Fig. 16 Frequency characteristics of weight function and Tzw in mixed sensitivity H∞ controller

為了更好定量地在時域下評估不同控制器的抗擾性能，定義性能量抗擾百分比J為

式中：qc_max和qo_max分別為相同干擾輸入時，閉環(huán)控制器作用下與開環(huán)作用下輸出量的最大擾動量。各GDM 單頻控制器閉環(huán)作用下對被控量折合轉(zhuǎn)速Nfc和性能量推力F的抗擾性能定量結(jié)果如表 3 所示。仿真結(jié)果表明，ω=15 rad/s 設(shè)計的單頻控制器具有接近性能極限的折合轉(zhuǎn)速抗擾百分比以及最高的推力抗擾百分比，可作為最終選定的GDM 控制器用于GTF 發(fā)動機(jī)巡航工況下馬赫數(shù)干擾的有限頻域抗擾控制器。

3. 4 混合靈敏度H∞與GDM 控制器有限頻域抗擾性能對比

采用3.3 節(jié)設(shè)計的GDM 控制器與發(fā)動機(jī)常用的混合靈敏度H∞控制器進(jìn)行有限頻域抗擾性能對比。混合靈敏度H∞控制器設(shè)計過程參考文獻(xiàn)［2］，定義在全頻域的閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞指標(biāo)為

混合靈敏度加權(quán)函數(shù)W1和W3構(gòu)造過程為

式中：εα和εS為加權(quán)靈敏度函數(shù)矩陣的調(diào)節(jié)因子；εβ和εT為加權(quán)補(bǔ)靈敏度函數(shù)矩陣的調(diào)節(jié)因子；ωB為閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計帶寬。 本研究中取ωB=3 rad/s，εS=0.2，εT=0.2，εα=0.1，εβ=0.1。通過求解式（30）的次優(yōu)H∞問題，可以得到p為0.102 0，加權(quán)函數(shù)的頻率特性圖以及Tzw的奇異值特性如圖 16 所示?？梢钥闯?，混合靈敏度H∞控制器使得Tzw的H∞范數(shù)指標(biāo)在全頻域范圍內(nèi)小于0.102 0（-19.83 dB），保證了全頻域范圍內(nèi)的抗擾性能，但在有限頻域抗擾問題上具有一定的保守性。

對比混合靈敏度H∞和GDM 控制器抗擾性能指標(biāo)ηyd和ηzd的頻率特性，如圖17 和圖18 所示。可以看出，GDM 控制器即便在其他部分頻域段的系統(tǒng)抗擾性能不如混合靈敏度H∞控制器，但在發(fā)動機(jī)巡航抗擾所關(guān)注的有限頻帶2～16 rad/s 上，GDM 控制器作用下系統(tǒng)的抗擾性能得到顯著提升。

圖17 混合靈敏度H∞與GDM 控制器作用下ηyd 在有限頻域的幅頻特性Fig. 17 Comparison of ηyd frequency domain characteristics between H∞ and GDM controller

圖18 混合靈敏度H∞與GDM 控制器作用下ηzd 在有限頻域的幅頻特性Fig. 18 Comparison of ηzd frequency domain characteristics between H∞ and GDM controller

圖19 混合靈敏度H∞與GDM 控制器作用下風(fēng)扇折合轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)擾動性能變化Fig. 19 Time domain characteristics of corrected fan speed under H∞ and GDM controllers

圖20 混合靈敏度H∞與GDM 控制器作用下推力的穩(wěn)態(tài)擾動性能變化Fig. 20 Time domain characteristics of thrust under H∞ and GDM controller

在相同馬赫數(shù)干擾作用下，混合靈敏度H∞控制器和GDM 控制器的抗擾仿真驗證結(jié)果如圖 19 和圖 20 所示?；旌响`敏度H∞控制器的Nfc抗擾百分比和F抗擾百分比分別為29.8% 和17.6%，遠(yuǎn)小于表 2 中GDM 控制器97.7%的Nfc抗擾百分比和66.7%的F抗擾百分比，論證了頻率特性圖 16 和圖 17 分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

為進(jìn)一步驗證該GDM 抗擾控制器的設(shè)計流程的適用性，另取GTF 發(fā)動機(jī)巡航包線下2 個穩(wěn)態(tài)工況點(diǎn)，采用圖 7 的設(shè)計流程進(jìn)行抗擾控制器設(shè)計，結(jié)果如表 4 所示?？梢钥闯?，采用幾何設(shè)計法設(shè)計的抗擾控制器相比混合靈敏度H∞控制器，風(fēng)扇折合轉(zhuǎn)速抗擾百分比提升30%以上的同時，推力抗擾百分比提升了15%以上，全局抗擾性能有顯著提高，基于幾何設(shè)計法的穩(wěn)態(tài)抗擾控制器具有普遍適用性。

4 結(jié) 論

首先建立大涵道比齒輪傳動渦扇發(fā)動機(jī)部件級模型，針對傳統(tǒng)的混合靈敏度H∞抗擾控制方法缺少在控制需求指定頻率ω0或有限頻域[ω1，ω2]上定義出性能極限的能力，提出了一種可以在任何關(guān)注頻率或有限頻域上進(jìn)行性能改進(jìn)的通用方法“幾何設(shè)計法”，定義出基于幾何設(shè)計法的航空發(fā)動機(jī)抗擾控制器設(shè)計路線，為航空發(fā)動機(jī)穩(wěn)態(tài)抗擾控制器的設(shè)計提供了一種新的思路方法和方向，并在頻域和時域上進(jìn)行了分析和仿真驗證，結(jié)果表明：

1） 幾何設(shè)計法相較于傳統(tǒng)抗擾控制器設(shè)計方法，通過參數(shù)的轉(zhuǎn)化代換從而使控制器選取范圍在復(fù)平面坐標(biāo)系中體現(xiàn)為圓的交集，具有直觀性?？梢詽M足理想的發(fā)動機(jī)抗擾控制器設(shè)計方法應(yīng)具備的特征。

2） 針對擾動分量集中在ω∈[2，16] rad/s 的有限頻域馬赫數(shù)干擾，由于幾何設(shè)計法的抗擾控制原理相較于混合靈敏度H∞控制更直觀地定義了特定頻率和有限頻域內(nèi)控制器對閉環(huán)系統(tǒng)輸出量的抗擾性能，采用幾何設(shè)計法設(shè)計的抗擾控制器相比混合靈敏度H∞控制器，折合轉(zhuǎn)速抗擾百分比和推力抗擾百分比均有顯著提高。