基于張量R-Tucker分解的BCI數(shù)據(jù)分類研究

摘? 要：張量分解作為一種高維數(shù)據(jù)分析工具能夠結(jié)合多個(gè)模態(tài)的信息從而獲取具有判別信息的特征，但是在高維空間上進(jìn)行張量分解存在計(jì)算復(fù)雜度高的問(wèn)題。為了解決該問(wèn)題，研究借助隨機(jī)奇異值分解速度快的特點(diǎn)，提出基于隨機(jī)奇異值分解的張量Tucker分解（張量R-Tucker分解），并將其用于BCICIV2b數(shù)據(jù)集的特征提取和分類中。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：相比張量Tucker分解，張量R-Tucker分解特征提取速度提升22%，并且平均分類準(zhǔn)確率達(dá)到80.93%，與現(xiàn)有基于矩陣的方法相比提高10.12%。

關(guān)鍵詞：張量分解；隨機(jī)奇異值分解；運(yùn)動(dòng)想象；腦機(jī)接口

中圖分類號(hào)：TP301.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：2096-4706（2023）02-0001-07

Research on BCI Data Classification Based on Tensor R-Tucker Decomposition

ZHANG Shuai

（Taiyuan Normal University， Jinzhong? 030600， China）

Abstract： As a high-dimensional data analysis tool， Tensor Decomposition can combine the information of multiple modalities to obtain features with discriminative information， but there is a problem of high computational complexity problem for Tensor decomposition on high dimensional space. In order to solve the problem， this research takes advantage of the b fast speed of Randomized Singular Value Decomposition， and proposes the Tensor Tucker Decomposition （Tensor R-Tucker Decomposition） based on Randomized Singular Value Decomposition， and uses it for feature extraction and classification of the BCICIV2b dataset. The experimental results show that compared with the Tensor-Tucker Decomposition， the feature extraction speed of the Tensor R-Tucker Decomposition is increased by 22%， and the average classification accuracy rate reaches 80.93%， which is 10.12% higher than the existing matrix-based methods.

Keywords： Tensor Decomposition;Randomized Singular Value Decomposition;motor imagery; Brain Computer Interface

0? 引? 言

腦機(jī)接口（Brain-Computer Interface， BCI）系統(tǒng)是一種新型的高效人機(jī)交互方式[1]，該系統(tǒng)通過(guò)信號(hào)分析將大腦神經(jīng)活動(dòng)信息直接轉(zhuǎn)換成控制外部設(shè)備的命令，從而在大腦與外部設(shè)備之間建立了直接的交流通道，實(shí)現(xiàn)人與外界的交流或?qū)ν獠凯h(huán)境的控制。常見(jiàn)的用于BCI的腦電（Electroencephalogram， EEG）信號(hào)類型有視覺(jué)誘發(fā)電位（Visual Evoked Potential， VEP）[2]、事件相關(guān)電位（Eevent-related potential， ERP）[3]和運(yùn)動(dòng)想象（Motor Imagery， MI）[4]等。其中，基于運(yùn)動(dòng)想象的腦電信號(hào)作為一種經(jīng)典范例已被研究和開(kāi)發(fā)數(shù)十年。其生理學(xué)基礎(chǔ)是事件相關(guān)同步/去同步（Event-Related Synchronization/Event- Related Desynchronization， ERS/ERD）現(xiàn)象[5]，即當(dāng)人體在想象單側(cè)肢體運(yùn)動(dòng)時(shí)，同側(cè)大腦皮層的電位活動(dòng)活躍，特定頻率腦電信號(hào)對(duì)應(yīng)的振幅明顯增強(qiáng)，而對(duì)側(cè)大腦皮層的電位活動(dòng)被抑制，特定頻率對(duì)應(yīng)的腦電信號(hào)振幅減弱。MI-EEG信號(hào)在時(shí)間上是非平穩(wěn)連續(xù)的，具有信噪比（Signal-to-Noiseratio， SNR）低的特點(diǎn)，容易受到多種生物學(xué)因素（如眨眼，心跳和肌肉活動(dòng)產(chǎn)生的眼電，心電和肌電）或環(huán)境偽影（如市電和工頻噪聲）的影響；同時(shí)，MI-EEG個(gè)體樣本數(shù)據(jù)量較小，不同受試者間個(gè)體差異較大，以上因素均導(dǎo)致MI-EEG分類模型性能較差。

EEG信號(hào)是非平穩(wěn)的時(shí)域信號(hào)且主要特征反映在頻域上，因此EEG信號(hào)的時(shí)頻分析成為一種常見(jiàn)的特征提取方式[6，7]。它把時(shí)域信號(hào)在時(shí)間-頻率平面中展開(kāi)，將以時(shí)間為自變量的信號(hào)表示成以時(shí)間和頻率兩個(gè)參數(shù)為自變量的函數(shù)，以便表現(xiàn)出信號(hào)不同時(shí)間點(diǎn)的頻率成分。由此，多通道EEG信號(hào)成為一種張量形式的數(shù)據(jù)。然而在傳統(tǒng)EEG分類中，一般會(huì)將該張量展開(kāi)為矩陣的形式進(jìn)行處理，這種展開(kāi)不可避免地丟掉了一些維度內(nèi)與維度間可能存在的信息和交互作用。使用張量分解對(duì)EEG進(jìn)行分析可以從時(shí)間、空間、頻率等多個(gè)模態(tài)上提取和分類有關(guān)的投影模式，并通過(guò)投影計(jì)算得到特征，由于同時(shí)考慮多階信息，該特征具有更好的判別能力。因此很多研究人員將張量分解用于EEG數(shù)據(jù)的分析[8，9]，Zhang等使用動(dòng)態(tài)腦功能網(wǎng)絡(luò)在時(shí)間模態(tài)建立張量模型，使用帶正交約束和部分對(duì)稱約束的張量分解方法對(duì)構(gòu)造的張量進(jìn)行了分析，并使用分解得到的核心張量作為特征進(jìn)行分類，分類結(jié)果表明該方法優(yōu)于基于矩陣的方法[10]。Roáková使用張量分解檢測(cè)和分析了腦卒中偏癱患者在運(yùn)動(dòng)想象的神經(jīng)反饋訓(xùn)練中運(yùn)動(dòng)感覺(jué)區(qū)域的腦電節(jié)律激活情況，結(jié)果驗(yàn)證該方法對(duì)于檢測(cè)偏癱患者特定運(yùn)動(dòng)想象相關(guān)的腦電節(jié)律具有較好的性能[11]。Krishnan等使用短時(shí)傅里葉變換對(duì)基于運(yùn)動(dòng)想象的EEG信號(hào)建立張量結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)使用張量分解進(jìn)行分析，結(jié)果表明此方法可以得到EEG信號(hào)可區(qū)分的分量且具有更好的分類性能[12]。李潔提出判別張量分解算法并將其用于基于運(yùn)動(dòng)想象的EEG信號(hào)的特征提取中，結(jié)果表明該方法由于同時(shí)考慮多階信息，對(duì)于獲取分類特征，識(shí)別與任務(wù)相關(guān)的判別信息非常有效[13]。上述文章均對(duì)時(shí)域EEG信號(hào)建立了張量結(jié)構(gòu)，然后使用張量分解進(jìn)行分析且取得不錯(cuò)的效果，然而在高維空間進(jìn)行張量分解，存在計(jì)算復(fù)雜度高的問(wèn)題。

隨機(jī)奇異值分解（Randomized Singular Value Decomposition， RSVD）是一種高效精確的奇異值分解方法。該方法利用隨機(jī)投影的思想，通過(guò)使用隨機(jī)向量生成變換矩陣，將高維的數(shù)據(jù)映射到低維空間中實(shí)現(xiàn)降維，同時(shí)在低維空間中的數(shù)據(jù)能夠保持高維矩陣的結(jié)構(gòu)特性，通過(guò)對(duì)低維空間矩陣的分解，從而實(shí)現(xiàn)原始大規(guī)模矩陣的高效分解[14]。因此，本文提出一種基于RSVD的張量Tucker分解方法，在張量每個(gè)階矩陣化后使用RSVD構(gòu)造因子矩陣，以提高了張量Tucker分解的速度，最后將其應(yīng)用于MI-EEG信號(hào)的特征提取，并與張量Tucker分解進(jìn)行比較，驗(yàn)證了張量R-Tucker分解的有效性。

1? 基本原理

1.1? 隨機(jī)奇異值分解

為了解決大規(guī)模矩陣進(jìn)行高效精確的奇異值分解（Singular Value Decomposition， SVD）的問(wèn)題，Halko等人提出了RSVD算法[15]，其基本思想是通過(guò)生成一個(gè)高斯隨機(jī)矩陣，將原始的大規(guī)模矩陣變換為一個(gè)小矩陣，通過(guò)對(duì)該小矩陣的QR分解得到原始矩陣的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，再通過(guò)該正交基的變換實(shí)現(xiàn)原始矩陣的奇異值分解。Arvind等對(duì)該算法進(jìn)行了詳細(xì)的誤差分析，結(jié)果證明該方法具有很高的精度[16]。RSVD的計(jì)算過(guò)程如下：

（1）構(gòu)造一個(gè)服從高斯分布的隨機(jī)投影矩陣P∈Rn×r（r＜n）對(duì)原始矩陣X∈Rm×n的列空間進(jìn)行采樣：

Z=XP

然后對(duì)矩陣Z進(jìn)行低秩QR分解：

Z=QR

其中Q是一個(gè)正交矩陣，R是一個(gè)上三角矩陣。

（2）利用低秩正交基Q，將X投影到更小的空間：

Y=QTX

然后計(jì)算矩陣Y的奇異值分解：

Y=UY∑VT

因?yàn)镼是標(biāo)準(zhǔn)正交的并且近似于X的列空間，矩陣∑和V對(duì)于Y和X是一樣的。

（3）利用UY和Q可以重構(gòu)出原始矩陣X的左奇異向量U：

U=QUY

得到最終的結(jié)果：

X=U∑V

1.2? 張量Tucker分解

張量Tucker分解是主成分分析方法在高階張量的推廣，它可以將一個(gè)N階高維張量? 分解為一個(gè)核心張量g和每階乘以一個(gè)因子矩陣（A，B，C）的形式[17]，如：一個(gè)三階張量X∈RI×J×K的Tucker分解可表示為：

其中 （R1， R2， R3為張量的Tucker秩[17]）是核心張量，表示每一階成分之間的聯(lián)系，通常小于原始張量，A，B，C被稱為因子矩陣，表示每一階成分之間的聯(lián)系，它們通常是正交的，其分解形式如圖1所示。

上述分解形式可通過(guò)基于高階奇異值分解（High Order Singular Value Decomposition， HOSVD）和高階正交迭代（High Order Orthogonal Iteration， HOOI）聯(lián)立實(shí)現(xiàn)[17，18]。其中，HOSVD的思想是利用矩陣分析中的奇異值分解算法對(duì)張量的每一階展開(kāi)進(jìn)行分解，并采用低階近似處理，過(guò)濾掉一些較小的奇異值；HOOI的基本思想是使用交替投影的方法多次迭代得到最優(yōu)結(jié)果。由于HOSVD算法只對(duì)張量的每階進(jìn)行了一次奇異值分解，因此不能很好地?cái)M合原始數(shù)據(jù)，因此一般用HOSVD算法求出的投影矩陣作為HOOI算法的初值條件，然后使用HOOI算法完成張量Tucker分解。

1.3? 張量R-Tucker分解

張量Tucker分解需要計(jì)算高階張量每個(gè)階矩陣化的SVD來(lái)構(gòu)造因子矩陣，然后使用因子矩陣來(lái)構(gòu)造核心張量。但是對(duì)于大型的、高階張量的SVD是非常耗時(shí)的。為了解決該問(wèn)題，本文提出了張量R-Tucker分解，通過(guò)在張量每個(gè)階矩陣化[18]后使用RSVD構(gòu)造因子矩陣，并保持核心張量的計(jì)算方法保持不變。即在HOOI階段通過(guò)RSVD構(gòu)造左奇異向量對(duì)HOSVD階段得到的因子矩陣進(jìn)行不斷迭代，提高張量Tucker分解的計(jì)算速度。具體方法如下：

在HOSVD階段，設(shè)? 為一個(gè)張量，其在第n（n=1，2…N）階進(jìn)行張量矩陣化記作X（n），對(duì)X（n）進(jìn)行RSVD得到因子矩陣 ，由因子矩陣即可得張量得核心張量g，計(jì)算公式為：

算法1是該算法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程。一般將HOSVD算法得到的因子矩陣作為HOOI算法的初始化，在HOOI算法階段，張量R-Tucker分解可通過(guò)求解下式得到最優(yōu)解：

在最優(yōu)解時(shí)，核心張量滿足：

上述最小值問(wèn)題可等價(jià)為以下最大值問(wèn)題，文獻(xiàn)[19，20]對(duì)該過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)的說(shuō)明：

上述目標(biāo)函數(shù)寫(xiě)作矩陣形式，即：

上式中使用RSVD將A（n）設(shè)為W的n個(gè)左奇異向量， 表示Kronecker積，通過(guò)求解以上優(yōu)化問(wèn)題，即可得到R-Tucker分解的最終結(jié)果。

算法2 R-HOSVD

preocedure HOSVD（X， R1， R2，…RN）

for n=1， …N‘do

generate a gaussian random matrix

Z=X（n）P

QR decompositionZ=QR

Y=QTX

SVD decomposition

end for

return g， A（1）， A（2）， …A（N）

end procedure

算法2描述了該算法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

算法2 R-HOOI

preocedure HOOI（X， R1， R2，…RN）

initialize? for n=1，…Nusing HOSVD

repeat

for n=1， …N‘do

generate a gaussian random matrix

Z=Y（N）P

QR decompositionZ=QR

Y=QTY（N）

SVD decomposition

end for

until fit ceases to improve or maximum iterations exhausted

return g， A（1）， A（2）， …A（N）

end procedure

2? R-Tucker分解在BCI信號(hào)分類中的應(yīng)用

MI-EEG數(shù)據(jù)分類研究的整體步驟如圖2所示。主要分為三個(gè)模塊：數(shù)據(jù)預(yù)處理模塊、特征提取模塊和特征分類模塊。內(nèi)容有：

（1）預(yù)處理模塊。主要包括讀取數(shù)據(jù)、濾波、重參考和分段；

（2）特征提取模塊。對(duì)預(yù)處理后的二維EEG信號(hào)（channel×time）進(jìn)行時(shí)頻分析并建立起張量結(jié)構(gòu)（channel×frequency×time），在此基礎(chǔ)上使用基于隨機(jī)奇異值分解的Tucker分解進(jìn)行特征提?。?/p>

（3）特征分類模塊。使用支持向量機(jī)對(duì)提取的特征進(jìn)行分類。

Ⅰ是預(yù)處理模塊。Ⅱ是特征提取模塊。Ⅲ是特征分類模塊。輸入的運(yùn)動(dòng)想象原始信號(hào)有3個(gè)采樣通道，750個(gè)時(shí)間采樣點(diǎn)。

2.1? 數(shù)據(jù)集

本文的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自2008年國(guó)際BCI競(jìng)賽的數(shù)據(jù)集BCI Competition 2008-Grazdata set B（BCICIV2b）[21]，分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)，整個(gè)實(shí)驗(yàn)共有9個(gè)受試者參與，所有受試者都擁有正常視力且為右利手。每個(gè)受試者做5組實(shí)驗(yàn)，其中前2組實(shí)驗(yàn)是無(wú)反饋的，后3組實(shí)驗(yàn)是帶反饋的；前3組是訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后2組是測(cè)試數(shù)據(jù)。每個(gè)實(shí)驗(yàn)包括120個(gè)試次（60次左手運(yùn)動(dòng)想象，60次右手運(yùn)動(dòng)想象）。實(shí)驗(yàn)采用AgCl電極，數(shù)據(jù)從國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)10-20導(dǎo)聯(lián)系統(tǒng)的C3、Cz和C4三個(gè)通道獲得，采樣頻率為250 Hz，得到的腦電數(shù)據(jù)已經(jīng)進(jìn)行帶工頻陷波處理和帶通濾波（0.5～100 Hz）。

2.2? 數(shù)據(jù)預(yù)處理

原始的EEG時(shí)域圖如圖3所示。預(yù)處理可以從包含大量噪聲的原始EEG信號(hào)中獲取較為純凈的MI-EEG成分，本文使用MNE-Python[22]對(duì)原始EEG數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，首先利用0.5～45 Hz的前置帶通濾波去除包括線性漂移，心電，肌電在內(nèi)的大部分偽跡，濾波后的EEG時(shí)域圖如圖4所示。然后對(duì)連續(xù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分段（Epoch），提取出執(zhí)行運(yùn)動(dòng)想象任務(wù)時(shí)（任務(wù)開(kāi)始0～3 s）的MI-EEG信號(hào)，由于MI-EEG信號(hào)產(chǎn)生的腦電節(jié)律變化主要集中在mu節(jié)律（8～13 Hz）和beta節(jié)律（13～30 Hz），所以接下來(lái)對(duì)分段后的數(shù)據(jù)進(jìn)行8～30 Hz的后置帶通濾波。

2.3? 構(gòu)建張量

EEG時(shí)域信號(hào)是以矩陣的形式存儲(chǔ)的時(shí)間、空間上的二維數(shù)據(jù)（channel×time=3×750），為了包含空間、時(shí)間和頻率的多階信息，須將EEG信號(hào)通過(guò)時(shí)頻變換建立起張量結(jié)構(gòu)。本文中使用連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform， CWT）[23]進(jìn)行時(shí)頻變換。

對(duì)于二階EEG信號(hào)樣本X（c，t）（代表通道c和時(shí)間點(diǎn)t上的EEG信號(hào)值），通過(guò)計(jì)算和小波函數(shù)ω（ f，t）的卷積的幅值，可得三階（channel×frequency×time=3×23×750）的張量數(shù)據(jù)X c×f×t，X（c， f， t）的含義是在通道c、頻率f時(shí)間點(diǎn)t上的能量。計(jì)算公式為：

X（c， f， t）=‖ω（ f， t）×X（c，t）‖

使用小波函數(shù)為復(fù)Morlet小波，該函數(shù)為：

選擇中心頻率Ω=1，帶寬參數(shù)σ=2作為其母小波函數(shù)，因?yàn)樗粡V泛應(yīng)用在EEG數(shù)據(jù)的處理上并且取得了很好的效果[24]。

2.4? 提取特征

對(duì)于每個(gè)MI-EEG數(shù)據(jù)X c×f×t進(jìn)行基于RSVD的Tucker分解，分解形式如下所示：

其中X為原始運(yùn)動(dòng)想象EEG構(gòu)造的張量數(shù)據(jù)，A，B，C每個(gè)數(shù)據(jù)樣本在每一階的投影矩陣，矩陣之間相互正交，也可以被認(rèn)為是數(shù)據(jù)在每階的主分量。g為核心張量作為提取的特征，由原始EEG數(shù)據(jù)通過(guò)投影矩陣得到。

2.5? 特征分類

支持向量機(jī)（Support Vector Machines， SVM）是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的模式識(shí)別方法，SVM建立在VC（Vapnik-Chervonenkis）維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理的基礎(chǔ)上，根據(jù)有限樣本信息在模型復(fù)雜度和學(xué)習(xí)能力之間尋求最佳折中，能較好地解決小樣本、非線性、高維度分類問(wèn)題[25]。因此，本文采用支持SVM進(jìn)行特征分類。

同一被試者數(shù)據(jù)的80%作為訓(xùn)練集，剩余20%作為測(cè)試集，在訓(xùn)練樣本上使用10折交叉驗(yàn)證進(jìn)行SVM分類器的參數(shù)選擇。針對(duì)MI-EEG信號(hào)非線性的特點(diǎn)，選擇高斯徑向基函數(shù)（Gaussian Radial Basis Function， RBF）核函數(shù)，并使用網(wǎng)格搜索法對(duì)懲罰因子C和核參數(shù)gamma進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)。

2.6? 評(píng)估指標(biāo)

本文以基于RSVD的張量Tucker分解的時(shí)間和提取特征的分類準(zhǔn)確率為評(píng)價(jià)指標(biāo)。計(jì)算公式為：

Time=end time-start time

其中，Time是完成Tucker分解的用時(shí)，end time是Tucker分解結(jié)束時(shí)間，start time是Tucker分解開(kāi)始時(shí)間。TP是真陽(yáng)性數(shù)，TN是真陰性數(shù)，F(xiàn)P是假陽(yáng)性數(shù)，F(xiàn)N是假陰性數(shù)。

3? 結(jié)果分析與討論

EEG信號(hào)是非平穩(wěn)的時(shí)域信號(hào)且主要特征反映在頻域上，因此對(duì)于多通道EEG信號(hào)，為了包含空間、時(shí)間和頻率的多維信息，本文首先通過(guò)時(shí)頻分析對(duì)EEG信號(hào)建立三階（channel×frequency×time）張量結(jié)構(gòu)，然后使用R-Tucker分解得到其核心張量將其作為特征，最后使用SVM進(jìn)行特征分類。在對(duì)BCICIV2b數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的有效性，取得了較為可信和穩(wěn)定的結(jié)果。

為了驗(yàn)證張量R-Tucker分解對(duì)于分解速度的有效性，本文對(duì)張量Tucker分解和張量R-Tucker分解在不同Tucker秩情況下對(duì)分解時(shí)間進(jìn)行比較。如表1所示，列出了BCICIV2b數(shù)據(jù)集在一組實(shí)驗(yàn)中每個(gè)被試者張量Tucker分解和張量R-Tucker分解特征提取時(shí)間。由表1可知當(dāng)Tucker秩為[3，23，100]時(shí)，R-Tucker分解速度提升了63%；當(dāng)Tucker秩為[3，23，250]時(shí)，R-Tucker分解的平均時(shí)間提升了41%；當(dāng)Tucker秩為[3，23，500]時(shí)，R-Tucker分解的平均時(shí)間提升了22%。而且由表可知，對(duì)于每一個(gè)被試者，在相同Tucker秩的情況下，R-Tucker分解的效率均高于Tucker分解。

造成上述結(jié)果的原因是當(dāng)Tucker秩為[3，23，100]進(jìn)行Tucker分解時(shí)，Tucker分解會(huì)對(duì)張量矩陣化后69×750大小的矩陣進(jìn)行奇異值分解，然后選取分解結(jié)果的前100個(gè)左奇異向量構(gòu)成因子矩陣；而R-Tucker分解通過(guò)生成一個(gè)750×100大小服從高斯分布的隨機(jī)投影矩陣，由RSVD算法可知，通過(guò)投影矩陣與張量數(shù)據(jù)進(jìn)行矩陣乘法會(huì)生成一個(gè)69×100大小的矩陣，然后按照RSVD算法的步驟得到的左奇異向量構(gòu)成的矩陣即為因子矩陣。由于Tucker分解需要對(duì)一個(gè)69×750大小的矩陣進(jìn)行分解，而R-Tucker分解僅需對(duì)一個(gè)69×100大小的矩陣分解，因此R-Tucker分解的效率高于Tucker分解的效率，且分解時(shí)間提升了63%。同理，當(dāng)Tucker秩為[3，23，250]和[3，23，500]時(shí)，通過(guò)RSVD生成69×250和69×500大小的矩陣相比于69×750大小的矩陣，R-Tucker分解的的效率更高，同時(shí)這也導(dǎo)致Tucker秩越大，R-Tucker分解的提升效率越低。

通過(guò)上述分析可得如下結(jié)論，Tucker分解和R-Tucker分解相比，R-Tucker分解速度更快；對(duì)于同一個(gè)張量數(shù)據(jù)，它的Tucker秩越小，R-Tucker分解提升的效率越高。

為了驗(yàn)證張量R-Tucker分解提取特征的分類性能，本文對(duì)張量R-Tucker分解提取的特征使用SVM進(jìn)行了單被試分類實(shí)驗(yàn)，由于Tucker秩為[3，23，100]和[3，23，250]的張量Tucker分解生成的核心張量過(guò)于小，丟失的與分類相關(guān)的信息較多，因此選取Tucker秩為[3，23，500]進(jìn)行張量R-Tucker分解并進(jìn)行分類。將其與連續(xù)小波變換得到的張量作為特征（表中為CWT）和文獻(xiàn)[26]基于傳統(tǒng)矩陣方法的分類結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示。

表2列出不同方法每個(gè)被試者的準(zhǔn)確率以及BCICIV2b數(shù)據(jù)集的平均準(zhǔn)確率，使用CWT特征的單被試平均準(zhǔn)確率為62.07%，而張量R-Tucker分解后特征的單被試平均分類準(zhǔn)確率為80.93%，平均分類準(zhǔn)確率提高了18.86%；文獻(xiàn)[26]方法的單被試平均準(zhǔn)確率為70.81%，由表2可知，除了被試者S4和S5的分類準(zhǔn)確率略有下降，其余被試者的分類準(zhǔn)確率均顯著高于文獻(xiàn)[26]提出的方法，且平均準(zhǔn)確率提高了10.12%。

造成上述結(jié)果的原因如下：由R-Tucker分解得到的特征的分類準(zhǔn)確率高于分解前特征的準(zhǔn)確率可知，R-Tucker分解前張量數(shù)據(jù)的大小為3×23×750，R-Tucker分解后得到的核心張量的大小為3×23×500，說(shuō)明經(jīng)過(guò)R-Tucker分解后得到的核心張量可以獲取原始數(shù)據(jù)潛藏的更緊湊的模式表示，有效對(duì)EEG信號(hào)進(jìn)行降噪，從而提高了數(shù)據(jù)的信噪比。由R-Tucker分解得到的特征的分類準(zhǔn)確率高于文獻(xiàn)[26]可知，傳統(tǒng)方法通常將張量結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)展開(kāi)為矩陣的形式進(jìn)行處理，這種展開(kāi)不可避免地丟掉了一些維度內(nèi)與維度間可能存在的信息和交互作用，而張量R-Tucker分解能夠獲取EEG信號(hào)時(shí)間、空間和頻率多階的信息以及它們之間的關(guān)系，可以更有效的提取隱含在數(shù)據(jù)中的多階特征信息，從而獲取具有判別能力的特征。

通過(guò)上述分析可得如下結(jié)論，張量R-Tucker分解可以融合多個(gè)模態(tài)的信息使其提取的特征更具有判別能力，而且對(duì)于信噪比低的EEG數(shù)據(jù)可以提升其信噪比。

為了進(jìn)一步對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行分析，本文對(duì)R-Tucker和CWT獲取的特征進(jìn)行了t分布隨機(jī)領(lǐng)域嵌入（T-SNE）分析。T-SNE可以將高維數(shù)據(jù)投影到二維散點(diǎn)圖上，被廣泛用于評(píng)價(jià)特征向量的判別能力。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下：一個(gè)類的實(shí)例可以從其他類的實(shí)例中分離出的越多，相關(guān)特征的表現(xiàn)就越好。

如圖5和圖6所示，分別為受試者S1到S9在CWT和R-Tucker分解后的類別標(biāo)簽映射T-SNE圖中，其中藍(lán)色和綠色分別代表MI-EEG信號(hào)的2類別標(biāo)簽（左手和右手）。由圖可知，受試者S2、S3、S6和S9在T-SNE映射后兩類標(biāo)簽重疊部分較多，這導(dǎo)致CWT特征在這幾位受試者分類準(zhǔn)確率較低，而這幾位受試者在R-Tucker分解后經(jīng)過(guò)T-SNE映射后，兩類標(biāo)簽重疊部分有一定程度的降低，在經(jīng)過(guò)SVM核函數(shù)的映射之后，在高維空間的分類準(zhǔn)確率更高。而且通過(guò)觀察圖5和圖6，9位受試者在R-Tucker分解后兩類標(biāo)簽的重疊部分均明顯少于CWT，這也導(dǎo)致R-Tucker分解特征的平均分類準(zhǔn)確率高于CWT特征的分類準(zhǔn)確率。

如圖7所示，對(duì)BCICIV2b數(shù)據(jù)集受試者使用不同方法的分類結(jié)果使用T檢驗(yàn)進(jìn)行顯著性差異分析?；赥ucker分解提取特征的分類準(zhǔn)確率與文獻(xiàn)[26]存在顯著性差異（t=3.364 0，p＜0.01）。而基于Tucker分解提取特征相比于Tucker分解前的特征的分類準(zhǔn)確率也存在顯著性差異（t=13.986 2，p＜0.001）。而且由圖可知，基于R-Tucker分解方法的單被試分類準(zhǔn)確率方差小于其他兩種方法，說(shuō)明其分類結(jié)果更為平穩(wěn)。

綜上所述，基于RSVD的張量R-Tucker分解不僅可以提高分解效率，而且能夠獲取EEG信號(hào)時(shí)間、空間和頻率多個(gè)模態(tài)的信息以及它們之間的關(guān)系，從而獲取更緊湊、具有判別能力的特征，而且通過(guò)比較本文方法和文獻(xiàn)[26]方法的平均準(zhǔn)確率以及方差，說(shuō)明R-Tucker分解提取的特征具有更好的判別能力以及魯棒性。

4? 結(jié)? 論

本文對(duì)于兩類（左手和右手）MI-EEG數(shù)據(jù)的分類主要有三個(gè)模塊組成，分別是預(yù)處理模塊、特征提取模塊和特征分類模塊。預(yù)處理模塊主要完成了數(shù)據(jù)的濾波和分段；特征提取模塊對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)建立張量結(jié)構(gòu)并使用張量Tucker分解提取特征；分類模塊使用SVM對(duì)特征提取模塊提取的特征進(jìn)行分類。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新是使用RSVD改進(jìn)了基于HOSVD-HOOI的張量Tucker分解，并將其用于兩類（左手和右手）MI-EEG數(shù)據(jù)的特征提取。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，張量R-Tucker分解與張量Tucker分解相比，張量R-Tucker分解速度得到顯著的提升，并且使用張量R-Tucker分解提取的特征擁有更好的分類性能。

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作者簡(jiǎn)介：張帥（1995—），男，漢族，山西忻州人，碩士研究生在讀，研究方向：智能數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用。

收稿日期：2022-09-01