一類具有不同時(shí)滯的布魯氏菌病模型的穩(wěn)定性分析

吳嫚　夏米西努爾·阿布都熱合曼

摘要：建立一類同時(shí)具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的布魯氏菌病模型，研究該模型無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性和局部漸近穩(wěn)定性，并通過構(gòu)造合適的Lyapunov泛函得出各類平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.最后，通過數(shù)值模擬對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋，并探究時(shí)滯效應(yīng)對(duì)疾病傳播過程的影響.

關(guān)鍵詞：布魯氏菌病; 時(shí)滯; 穩(wěn)定性; Lyapunov泛函

中圖分類號(hào)：O175 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1001-8395（2023）05-0616-07

布魯氏菌病是布魯氏菌屬的革蘭氏陰性菌引起的一種人畜共患疾病，牛羊等家畜是布魯氏菌的主要宿主.易感動(dòng)物可能在與傳染性動(dòng)物之間的直接接觸中感染疾病，動(dòng)物患布魯氏菌病通常的癥狀是流產(chǎn)、睪丸炎等，這會(huì)對(duì)生殖和生育、新生兒存活和產(chǎn)奶量產(chǎn)生不利影響，造成經(jīng)濟(jì)損失.布魯氏菌能在流產(chǎn)的胎兒、肉類、乳制品、塵埃、糞便、水、泥漿和土壤中長(zhǎng)期存活，易感動(dòng)物因接觸到環(huán)境中的布魯氏菌而感染也成為主要疾病傳播途徑之一[1].人類常常因?yàn)榻佑|到被感染動(dòng)物污染的環(huán)境、與感染動(dòng)物直接接觸、食用未經(jīng)殺菌的牛奶或乳制品、未經(jīng)高溫殺菌的肉類和動(dòng)物肝臟等感染布魯氏菌病.人類布魯氏菌病通常表現(xiàn)為急性發(fā)熱性疾病，包含虛弱、嗜睡以及發(fā)燒，可以持續(xù)并發(fā)展為慢性致殘性疾病，伴有嚴(yán)重并發(fā)癥，例如骨關(guān)節(jié)并發(fā)癥、胃腸道并發(fā)癥和呼氣道并發(fā)癥等.布魯氏菌病在人與人之間的傳播極其罕見.

目前，越來越多的學(xué)者關(guān)注并深入研究布魯氏菌病，更多關(guān)于布魯氏菌病的數(shù)學(xué)模型被建立并用于分析疾病的傳播規(guī)律[2-6].考慮到布魯氏菌能在環(huán)境中長(zhǎng)期存活這一因素，眾多學(xué)者建立了具有間接傳播的布魯氏菌病模型[7-9].另外，由于布魯氏菌在宿主體內(nèi)的潛伏期是不可忽略的，許多帶時(shí)滯的流行病模型被建立并研究[10].關(guān)于布魯氏菌病的時(shí)滯模型主要研究了潛伏期、免疫期以及檢測(cè)和剔除感染性動(dòng)物所需的時(shí)間這一類的時(shí)滯.Hou 等[11]在布病方面做了很多工作，建立了一個(gè)動(dòng)物布魯氏菌病傳播的通用 SEIB 動(dòng)力學(xué)模型，考慮了動(dòng)物布魯氏菌病的一般發(fā)生率和潛伏期離散時(shí)滯τ并分析了模型平衡態(tài)的動(dòng)態(tài)行為; 文獻(xiàn)[12]建立了一個(gè)一般的動(dòng)態(tài)模型及其相應(yīng)的離散時(shí)滯模型，發(fā)現(xiàn)時(shí)滯對(duì)離散時(shí)滯模型的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性是沒有影響的.此外，文獻(xiàn)[13]建立了一個(gè)具有分布時(shí)滯的動(dòng)物布魯氏菌病的一般動(dòng)力學(xué)模型，通過計(jì)算和數(shù)值模擬得出在滿足假設(shè) （H2） 的前提條件下分布時(shí)滯不會(huì)改變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為這一結(jié)論; 最后數(shù)值模擬結(jié)果表明在不滿足假設(shè) （H2） 的前提下系統(tǒng)將經(jīng)歷周期振蕩.Lolika等[14]建立了一個(gè)包含2個(gè)離散延遲的布魯氏菌病模型，分析了模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).分析和數(shù)值結(jié)果表明在一定的條件下這2種時(shí)滯可以使系統(tǒng)不穩(wěn)定，并導(dǎo)致 Hopf 分支.前面提到布魯氏菌能在一定條件的環(huán)境中存活較長(zhǎng)的時(shí)間，這一性質(zhì)會(huì)導(dǎo)致環(huán)境中的布魯氏菌是一段時(shí)間內(nèi)的累積量，因此，本文將引入一個(gè)分布時(shí)滯來表示環(huán)境中布魯氏菌的量.基于上訴考慮，本文將建立一個(gè)同時(shí)具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的布魯氏菌病模型.

1模型建立

2平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定

3平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定

4數(shù)值模擬

5總結(jié)

本文建立了一個(gè)具有不同時(shí)滯的動(dòng)物布魯氏菌病SIB動(dòng)力學(xué)模型.在一般生物學(xué)意義的假設(shè)下，首先證明了系統(tǒng)（1）解的正性和有界性.然后通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)?Lyapunov 泛函，分析了系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)平衡點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)依賴于基本再生數(shù)R0：如果R0≤1，無論初始值如何，動(dòng)物布魯氏菌病最終都會(huì)滅絕; 如果R0>1，動(dòng)物布魯氏菌病的傳播是持續(xù)的，并最終達(dá)到地方性穩(wěn)定狀態(tài).這些結(jié)果表明，時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)（1）的動(dòng)態(tài)行為沒有影響.

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Stability Analysis of a Brucellosis Model with Different Time Delays

WU Man，ABDURAHMAN Xamxinur（College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi 830046， Xinjiang）

Abstract：In this paper， a Brucellosis model with both discrete and distributed time delays is established. The existence and local asymptotic stability of the disease-free equilibrium and endemic equilibrium are studied. The global asymptotic stability of all kinds of equilibrium is obtained by constructing suitable Lyapunov functional. Finally， numerical simulation was used to explain the results， and the influence of the delay effect on the process of disease transmission was explored.

Keywords：Brucellosis; delay; stability; Lyapunov functional

2020 MSC：34D20; 34D23

（編輯 陶志寧）