量子常循環(huán)碼的構(gòu)造研究

朱士信

摘要：量子糾錯碼是實(shí)現(xiàn)量子通信和量子計(jì)算的有效編碼方案，如何構(gòu)造高性能的量子糾錯碼是量子糾錯理論最基本的研究課題之一.量子常循環(huán)碼具有良好的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以通過量子線性移位寄存器進(jìn)行編譯，在未來量子通信系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用前景.本綜述將介紹量子常循環(huán)碼的構(gòu)造方法，揭示經(jīng)典常循環(huán)碼與量子糾錯碼之間的聯(lián)系，闡述經(jīng)典常循環(huán)碼在量子MDS碼和糾纏輔助量子MDS碼中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：常循環(huán)碼; 量子碼; 量子MDS碼; 糾纏輔助量子碼A

中圖分類號：O236.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：文章編號：1001-8395（2023）05-0569-12

20世紀(jì)80年代，人們發(fā)現(xiàn)利用量子物理的并行計(jì)算機(jī)制可以極大地加快計(jì)算和通信速度，量子信息理論獲得迅速發(fā)展，量子信息理論和技術(shù)成為信息領(lǐng)域研究的熱門課題.近20年來，以量子力學(xué)為基礎(chǔ)的量子通信和計(jì)算不僅在技術(shù)上取得了快速發(fā)展，而且在理論上不斷獲得突破，展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景.量子通信和量子計(jì)算在安全、速度、計(jì)算、搜索等方面相比經(jīng)典數(shù)字通信具有巨大優(yōu)勢.然而，存儲量子信息的物理系統(tǒng)不可避免會與環(huán)境相互作用，受到噪音的干擾或影響而失去量子特性，與經(jīng)典數(shù)字通信相似，出現(xiàn)量子比特錯誤.同時，在量子通信和量子計(jì)算中還存在消相干現(xiàn)象，破壞了量子信息在傳輸過程中量子態(tài)的相干疊加，致使量子信息和量子計(jì)算發(fā)生錯誤.因此，可靠的量子通信和量子計(jì)算要求對邏輯量子比特進(jìn)行編碼、譯碼和糾錯，并在糾錯保護(hù)下進(jìn)行量子邏輯門操控，從而實(shí)現(xiàn)量子信息的有效傳輸.量子糾錯碼被證明是克服量子錯誤和消相干最有效的方法，能切實(shí)保障量子通信和量子計(jì)算的可靠性和安全性[1-2].

目前，第五代移動通信系統(tǒng)5G逐漸走向商業(yè)化，5G的發(fā)展源于用戶對移動數(shù)據(jù)日益增長的需求.美國主導(dǎo)的LDPC碼、中國華為公司主導(dǎo)的Polar碼分別被采納為5G eMBB場景的數(shù)據(jù)信道編碼方案和控制信道編碼方案.無論是Turbo碼、LDPC碼，還是Polar碼，都屬于有限域上經(jīng)典的糾錯編碼.進(jìn)入21世紀(jì)，全球科技創(chuàng)新進(jìn)入空前密集活躍時期，量子信息技術(shù)也成為當(dāng)今世界科技實(shí)力和創(chuàng)新能力的一大表現(xiàn)，正在逐步影響信息產(chǎn)業(yè)發(fā)展和經(jīng)濟(jì)發(fā)展方向，世界正在由數(shù)字信息時代步入量子信息時代，而量子信息和量子計(jì)算必將成為這一時代的核心技術(shù)和科技競爭焦點(diǎn).

由于量子信道的錯誤率會限制可執(zhí)行的量子信息計(jì)算和傳輸長度.因此，如果要進(jìn)行高效可靠的量子通信和量子計(jì)算，首先必須解決好量子糾錯問題，“糾錯”是量子技術(shù)面臨的最大挑戰(zhàn).從這個意義上說，量子通信和量子計(jì)算依賴于量子糾錯編碼.解決糾錯問題是實(shí)現(xiàn)量子信息傳輸和量子計(jì)算的關(guān)鍵.量子糾錯碼是目前克服量子信道干擾最有效的編碼方案，它不僅能實(shí)現(xiàn)量子信息在帶有噪音的量子信道上可靠傳輸，而且能保證量子計(jì)算的有效進(jìn)行.隨著量子傳輸?shù)膶?shí)現(xiàn)，構(gòu)造高性能的量子糾錯碼具有十分重要的理論意義和應(yīng)用價值.量子常循環(huán)碼作為一類重要的量子糾錯碼，具有豐富的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以通過量子移位寄存器進(jìn)行編譯，它的發(fā)展對量子信息傳輸和量子并行計(jì)算的發(fā)展具有重要意義.

1基本概念

2量子常循環(huán)碼

3量子常循環(huán)BCH碼

經(jīng)典的BCH碼是一類循環(huán)碼，其參數(shù)可以通過設(shè)計(jì)距離進(jìn)行界定，成為構(gòu)造量子碼的首選碼源.文獻(xiàn)[8，26]給出了量子BCH碼的編碼和譯碼方法.文獻(xiàn)[27-28]給出了歐幾里得對偶包含BCH碼存在的充要條件，并構(gòu)造了量子BCH碼.2007年，Aly等[29]確定了歐幾里得和厄密特對偶包含BCH碼的最大設(shè)計(jì)距離，建立了量子BCH碼的一般理論框架，其結(jié)果也成為量子碼性能的參照標(biāo)準(zhǔn).通常，利用有限域上常循環(huán)碼構(gòu)造量子碼，需要確定常循環(huán)碼滿足對偶包含性的最大設(shè)計(jì)距離.一個主要目標(biāo)是選取恰當(dāng)?shù)亩x集，使得對偶包含碼的最大設(shè)計(jì)距離盡可能大，由此產(chǎn)生的量子碼具有更強(qiáng)的糾錯能力.文獻(xiàn)[30-32]研究了各種長度的厄密特對偶包含碼，由此構(gòu)造了一系列量子BCH碼.對于一般的常循環(huán)碼，歐幾里得對偶包含碼僅存在循環(huán)碼或負(fù)循環(huán)碼，而厄密特對偶包含碼存在其他類型的常循環(huán)碼.因而，量子常循環(huán)BCH碼受到了極大的關(guān)注.文獻(xiàn)[33-36]研究了各種類型量子常循環(huán)碼的參數(shù).下面主要介紹文獻(xiàn)[33]的工作.

4糾纏輔助量子MDS碼

量子穩(wěn)定子碼通過某種內(nèi)積下對偶包含碼進(jìn)行構(gòu)造，這極大地限制了量子糾錯碼的發(fā)展.早在2002年，Bowen [37] 指出在量子信道兩端預(yù)先共享糾纏態(tài)c，可以提高信道容量.2006年，Brun等[38]證明了收發(fā)端在預(yù)先共享糾纏態(tài)c的情況下，可以利用任意經(jīng)典線性碼進(jìn)行量子信息傳輸并糾錯，由此建立了糾纏輔助穩(wěn)定子碼編碼方案.這一重要發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著糾纏輔助量子碼這一新的理論分支的誕生.糾纏輔助量子碼可以直接利用經(jīng)典的線性碼進(jìn)行量子信息傳送，克服了標(biāo)準(zhǔn)量子碼對偶包含條件的限制，這不僅使得所有的經(jīng)典線性碼得以量子化，還大大簡化了量子糾錯碼的構(gòu)造理論.本節(jié)介紹糾纏輔助量子碼的相關(guān)概念和構(gòu)造方法，重點(diǎn)介紹糾纏輔助量子MDS碼方面的工作進(jìn)展.

5總結(jié)

本文從代數(shù)結(jié)構(gòu)、構(gòu)造方法、糾錯性能等方面詳細(xì)介紹了量子常循環(huán)碼的研究成果，結(jié)合實(shí)例闡述了量子常循環(huán)碼、量子MDS碼和糾纏輔助量子MDS碼的構(gòu)造方法.量子糾錯理論在近30年獲得了重大突破和快速發(fā)展，已成為計(jì)算機(jī)科學(xué)、通信、物理和數(shù)學(xué)的一個交叉前沿領(lǐng)域.隨著量子傳輸與量子計(jì)算在實(shí)驗(yàn)室中不斷得以實(shí)現(xiàn)，亟待建立系統(tǒng)而有效的量子編碼和譯碼方案.量子常循環(huán)碼是經(jīng)典常循環(huán)碼的量子推廣，目前理論研究表明，量子常循環(huán)碼具有優(yōu)良的糾錯性能，并且可以使用量子移位寄存器進(jìn)行編譯.此外，量子常循環(huán)碼具有碼長靈活和類型豐富的特點(diǎn)，理論上自然成為量子傳輸和量子計(jì)算中首選的糾錯碼源.如何真正在技術(shù)上實(shí)現(xiàn)量子常循環(huán)碼在量子信道中進(jìn)行信息傳輸并糾錯，從而降低誤碼率，是量子常循環(huán)碼應(yīng)用的關(guān)鍵，這需要從量子比特測量和量子編碼電路等方面對量子常循環(huán)碼開展深入的研究.

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Research on Construction of Quantum Constacyclic CodesZHU Shixin（School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230601， Anhui）Quantum error-correcting codes are an effective coding scheme that can realize quantum communication and computation. It is one of the most basic topics to construct quantum error-correcting codes with high error-correcting capability. Quantum constacyclic codes have good algebraic structure， which can be encoded and decoded by quantum linear shift register. Hence， they have wide application prospect in quantum communication system in the future. In this review paper， we introduce the methods of the construction of quantum constacyclic codes and reveal the relationship between classical constacyclic codes and quantum error-correcting codes. We mainly elaborate some applications of classical constacyclic codes to quantum MDS codes and entanglement-assisted quantum MDS codes.constacyclic codes; quantum codes; quantum MDS codes; entanglement-assisted quantum codes

（編輯陶 志寧）