推算作圖法在方格作圖中的應(yīng)用

殷素文

【摘 要】小學(xué)階段的方格作圖是指在已有的方格圖中，按照長(zhǎng)度、面積或平移旋轉(zhuǎn)等要求作出圖形。本文源于一次課堂上的教學(xué)意外，思考并提煉出推算作圖法，可以在原有常規(guī)思維方法的基礎(chǔ)上，用探索、逆向思維的實(shí)踐方式，挖掘方格圖中隱藏的點(diǎn)和線，解決了一些常規(guī)作圖無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊作圖問(wèn)題，拓展了作圖方法。

【關(guān)鍵詞】方格作圖 推算作圖法 隱藏

一、案例引入，“催生”推算作圖法

課堂上討論一題：

圖1中的小方格是邊長(zhǎng)為1厘米的正方形。以CD為一條邊，畫(huà)出一個(gè)三角形CDF，使三角形CDF為等腰三角形，且面積為1平方厘米。則符合條件的點(diǎn)F共有（ ）個(gè)。

課堂上先獨(dú)立完成，再小組討論，最后交流討論得出4種作圖方法：以CD為腰，底在橫線上有兩種畫(huà)法（見(jiàn)圖2①）；以CD為腰，底在豎線上有兩種畫(huà)法（見(jiàn)圖2②）。并用三角形面積公式進(jìn)行檢驗(yàn)。

少頃，學(xué)生1舉手說(shuō)還有一種方法，教師邀請(qǐng)其上講臺(tái)。學(xué)生1畫(huà)出點(diǎn)F并連線（見(jiàn)圖3①）并說(shuō)明：以CD為底，另兩條為腰，這樣三角形面積也是1平方厘米。

許多學(xué)生投來(lái)了詫異的目光，教師追問(wèn)：“是1平方厘米嗎？”經(jīng)討論得出三角形CDF的面積是1.5平方厘米，顯然點(diǎn)F的位置不符合題目要求。（用包含三角形CDF的邊長(zhǎng)為2厘米的大正方形面積，減去里面的其他3個(gè)小三角形面積。這里意外地復(fù)習(xí)鞏固了不規(guī)則圖形的另一種求面積方法）這時(shí)學(xué)生2說(shuō)：“可以的！”便快速跑到講臺(tái)上，修改了點(diǎn)F的位置（見(jiàn)圖3②）并說(shuō)明：以CD為底，只要把高變矮些，面積就可以是1平方厘米。很多學(xué)生表示認(rèn)同，教師問(wèn)：“點(diǎn)F的位置在哪兒呢？隨手一畫(huà)肯定不行。”教室里出現(xiàn)了支支吾吾的聲音，但又沒(méi)有人舉手，討論仿佛又回到了原點(diǎn)：答案只有4種！？“老師，我能找出點(diǎn)F?！睂W(xué)生3隨即沖上講臺(tái)，再次修改點(diǎn)F的位置（見(jiàn)圖3③）并說(shuō)明：點(diǎn)F是1小格的中心，三角形CDF的高是圖3①中高的2/3，面積也就是1平方厘米。其他學(xué)生向?qū)W生3投來(lái)驚奇的目光，教室里安靜了下來(lái)，教師表?yè)P(yáng)3個(gè)學(xué)生，并給予獎(jiǎng)勵(lì)。顯然，圖3③的三角形CDF的底和高同為厘米，雖然此三角形面積在小學(xué)階段無(wú)法計(jì)算，但沿著上述思路，可以很容易推算出三角形CDF的面積。這樣點(diǎn)F的位置比原先又多了2種（另一點(diǎn)在以CD為對(duì)稱(chēng)軸，已知點(diǎn)F的對(duì)稱(chēng)位置，即CD的左下方）。這里把后兩種尋找點(diǎn)F位置的方法且稱(chēng)為“推算作圖法”。

二、靈活運(yùn)用，“演繹”另一種精彩

上面例子中用推算作圖法找點(diǎn)F位置與前4種有著明顯的不同。前4種是緊扣三角形的面積公式，腦海中思考的是：（底）×（高）÷2=1（平方厘米），要用合適的底和高進(jìn)行計(jì)算，底和高的大小被限定在整數(shù)范圍之內(nèi)；推算作圖法先假設(shè)CD是三角形的底，以點(diǎn)F的合理位置為思維起點(diǎn)，思維更加傾向于有效推理，三角形CDF底和高不計(jì)入，在尋找點(diǎn)F的過(guò)程中先出錯(cuò)，再融錯(cuò)。可見(jiàn)，推算作圖法包含的先假設(shè)，再融錯(cuò)的理念與解決“雞兔同籠”的問(wèn)題時(shí)用的方法（可以先假設(shè)全是雞，發(fā)現(xiàn)腿的數(shù)量變少了，查找原因是“兔子惹的禍”，兔子的數(shù)量“暴露”了，雞的數(shù)量也就出來(lái)了）有異曲同工之妙。推算作圖法有其特有的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際操作中可充分加以利用。下面舉幾個(gè)例子說(shuō)明推算作圖的“拿手絕活”。

例1：在方格圖中畫(huà)出面積分別為2平方厘米、5平方厘米的正方形。（小方格是邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，下同）

如圖4①，左下角實(shí)線表示的正方形面積是2平方厘米，向右上方拓展，可以得到面積為4平方厘米、6平方厘米的新長(zhǎng)方形。

如圖4②，正方形的面積為5平方厘米（思考及作圖方法可參考后文舉例），同樣也可以畫(huà)出面積為8平方厘米、10平方厘米的正方形。

例2：在方格圖中畫(huà)出面積為7平方厘米的平行四邊形（高和底都大于1厘米）。

由于高和底的條件限制，使得乘法口訣里得數(shù)是7 的口訣派不上用場(chǎng)了。但通過(guò)推算作圖法的思維，可以嘗試尋找6.□×1.□=7的可能性，或者是2.□×3.□=7的可能性。通過(guò)嘗試與推算，就可以得出圖5中的兩種面積同為7平方厘米的平行四邊形。從上面的例子可以看出，推算作圖法不局限于整數(shù)類(lèi)型的計(jì)算作圖，從可能性的角度出發(fā)，嘗試并推算猜測(cè)的作圖方法是否存在，思維更靈活，更具挑戰(zhàn)性，得出的結(jié)果也更加“出人意料”。

三、有容乃大，“升級(jí)”方格圖的認(rèn)識(shí)

對(duì)圖3，大家也許會(huì)覺(jué)得似乎哪里不太對(duì)勁，下面筆者就來(lái)談一談對(duì)方格圖的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。

如圖6①，圖中的點(diǎn)和線其實(shí)只是對(duì)已有方格的部分描摹，使之更加清晰，這些直觀存在的點(diǎn)和線，也是我們平時(shí)直接利用的。

圖6②中的線段是將方格中任意兩點(diǎn)連接產(chǎn)生的，這種隱藏的線，雖然它們的長(zhǎng)度不是整厘米數(shù)，但是結(jié)合直角三角形斜邊與直角邊的大小關(guān)系，學(xué)生很容易判斷出它們的大小范圍，這將有助于學(xué)生選取合適的長(zhǎng)度用于下一步猜想。比如要畫(huà)一個(gè)面積為5平方厘米的正方形，它的邊長(zhǎng)應(yīng)取2厘米到3厘米之間，這樣的邊在哪兒呢？在一步步地引導(dǎo)、推算中，學(xué)生體會(huì)到成功的快樂(lè)。用這種隱藏的“暗線”解決問(wèn)題，有時(shí)含金量更高，說(shuō)明“暗線”也可加以利用。

圖6③是通過(guò)簡(jiǎn)單的連線產(chǎn)生的“暗點(diǎn)”，這種“暗點(diǎn)”精確地表示某一固定位置，也是方格圖自身特點(diǎn)所賦予的特征。如果學(xué)生用簡(jiǎn)單、快捷的方法找出這些隱藏的點(diǎn)（保留作圖痕跡），并且這些點(diǎn)在運(yùn)用中具有準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)含義，能解決實(shí)際的問(wèn)題，就說(shuō)明它有利用價(jià)值，也有其存在的理由。這樣看來(lái)方格圖只是我們作圖的一個(gè)參照系，在這個(gè)參照系中快速建立起來(lái)的“暗線”和“暗點(diǎn)”同樣也是這個(gè)參照系的一部分，可以作為參照物來(lái)使用，等待我們?nèi)グl(fā)掘、利用。悅納這樣的“暗線”與“暗點(diǎn)”將使作圖的世界更加精彩。

四、包容會(huì)通，不“拘泥”效率第一

過(guò)去，我們的課堂教學(xué)都緊緊圍繞著課前設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)來(lái)開(kāi)展，把能否完成教學(xué)目標(biāo)作為一節(jié)課是否成功的重要標(biāo)志。而這一預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)又大多以教師對(duì)教育教學(xué)的認(rèn)知為基礎(chǔ)，把既定的線性課堂教學(xué)過(guò)程作為參考路線，對(duì)學(xué)生“節(jié)外生枝”的想法包容度不夠，課堂教學(xué)變成了教師“引”、學(xué)生“跟”，學(xué)生很難跳出教師預(yù)設(shè)的思維框框。課堂上的意外在一定程度上還原了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的真實(shí)想法，它脫離了教學(xué)的預(yù)設(shè)目標(biāo)，但它體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)中可能性的另一種探索。教師不能因?yàn)檎n堂時(shí)間的限制等因素，把教學(xué)時(shí)效放在首位，而忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中探索精神的培養(yǎng)。正是由于課堂上學(xué)生敢闖、敢試、敢辯，才打開(kāi)了方格作圖的另一扇窗，發(fā)掘出了方格圖中的隱藏條件，用推算的方法實(shí)現(xiàn)了作圖“自由”。推算作圖法擴(kuò)展了方格作圖的外延，引領(lǐng)我們進(jìn)入了一個(gè)“不規(guī)則”的世界?；蛟S推算作圖法的“能效比”并不占優(yōu)勢(shì)，但它拓寬了學(xué)生的視野，培養(yǎng)了學(xué)生敢于估測(cè)、嘗試的精神，學(xué)生思維的質(zhì)量高，過(guò)程曲徑通幽，結(jié)果回味無(wú)窮。也許推算作圖法與一般計(jì)算作圖法的結(jié)合才是方格作圖的完美呈現(xiàn)。